$1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+......+n^{2}=$

Question

Accepted Answer

समस्या का समाधान करने के लिए हमें यह समझना होगा कि दिए गए प्रश्न में $1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+......+n^{2}$ का योगफल निकालना है। यह योगफल n तक के सभी प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का योग है। इस योगफल के लिए एक प्रसिद्ध सूत्र है:

$$
1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \ldots + n^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
$$

यह सूत्र हमें बताता है कि n तक के सभी संख्याओं के वर्गों का योग $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ के बराबर होता है। इसलिए, सही उत्तर विकल्प 2 है।

अब हम अन्य विकल्पों की गलतियों को समझते हैं:

1. **विकल्प 1: $\frac{n(n+1)}{2}$**

यह सूत्र n तक के सभी प्राकृतिक संख्याओं का साधारण योग है, न कि उनके वर्गों का। उदाहरण के लिए, $1 + 2 + 3 + \ldots + n$ का योग $\frac{n(n+1)}{2}$ होता है। इसलिए, यह विकल्प गलत है।

2. **विकल्प 3: $\frac{n(n-1)(n-2)}{6}$**

यह कोई मान्यता प्राप्त सूत्र नहीं है जो n तक के संख्याओं के वर्गों के योग को दर्शाता हो। यह विकल्प भी गलत है।

3. **विकल्प 4: $\frac{n(n-1)}{2}$**

यह सूत्र n-1 तक के संख्याओं का साधारण योग है, जो $1 + 2 + 3 + \ldots + (n-1)$ के लिए सही है। यह भी n तक के संख्याओं के वर्गों के योग के लिए सही नहीं है।

इस प्रकार, दिए गए प्रश्न के लिए सही उत्तर विकल्प 2 है, जो कि $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ है। यह n तक के सभी संख्याओं के वर्गों के योग का सही सूत्र है।