If an equilateral triangle ABC be inscribed in a circle, then the tangents at their vertices will form another triangle is :

Question

Accepted Answer

प्रश्न: यदि एक समबाहु त्रिभुज ABC को एक वृत्त में अंकित किया गया हो, तो उनके शीर्षों पर स्पर्श रेखाएँ एक अन्य त्रिभुज बनाएंगी:

सही उत्तर: विकल्प 3 (समबाहु त्रिभुज)

व्याख्या:

1. **विकल्प 3 (समबाहु त्रिभुज) क्यों सही है:**
   - जब एक समबाहु त्रिभुज ABC को एक वृत्त में अंकित किया जाता है, तो त्रिभुज के प्रत्येक शीर्ष पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ वृत्त के केंद्र से समान दूरी पर होती हैं। 
   - इन स्पर्श रेखाओं के मिलने से बनने वाला त्रिभुज भी समबाहु होता है। इसका कारण यह है कि समबाहु त्रिभुज के प्रत्येक कोण 60 डिग्री होते हैं, और वृत्त के केंद्र से खींची गई स्पर्श रेखाएँ इन कोणों को समान रूप से विभाजित करती हैं। 
   - इस प्रकार, स्पर्श रेखाओं के मिलने से बनने वाले त्रिभुज के प्रत्येक कोण भी 60 डिग्री होंगे, जिससे वह त्रिभुज भी समबाहु होगा।

2. **अन्य विकल्प क्यों गलत हैं:**
   - **विकल्प 1 (विषमबाहु त्रिभुज):** विषमबाहु त्रिभुज के सभी भुजाएँ और कोण अलग-अलग होते हैं। चूंकि स्पर्श रेखाओं से बनने वाला त्रिभुज समबाहु होता है, इसलिए यह विकल्प गलत है।
   - **विकल्प 2 (समद्विबाहु त्रिभुज):** समद्विबाहु त्रिभुज में केवल दो भुजाएँ समान होती हैं। लेकिन स्पर्श रेखाओं से बनने वाला त्रिभुज समबाहु होता है, जिसमें सभी भुजाएँ समान होती हैं, इसलिए यह विकल्प गलत है।
   - **विकल्प 4 (समकोण त्रिभुज):** समकोण त्रिभुज में एक कोण 90 डिग्री होता है। चूंकि स्पर्श रेखाओं से बनने वाले त्रिभुज के सभी कोण 60 डिग्री होते हैं, इसलिए यह विकल्प गलत है।

इस प्रकार, दिए गए प्रश्न के अनुसार सही उत्तर विकल्प 3 (समबाहु त्रिभुज) है।