If the radius of the earth becomes three times, then what should be the change in density so that the value of 'g' does not change ?

Question

Accepted Answer

जब पृथ्वी का त्रिज्या तीन गुना हो जाता है, तो गुरुत्वाकर्षण त्वरण 'g' को स्थिर रखने के लिए घनत्व में परिवर्तन की आवश्यकता होती है। गुरुत्वाकर्षण त्वरण 'g' का सूत्र है:

$$ g = \frac{G \cdot M}{R^2} $$

जहां $ G $ गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक है, $ M $ पृथ्वी का द्रव्यमान है, और $ R $ पृथ्वी का त्रिज्या है। द्रव्यमान $ M $ को घनत्व $ \rho $ और त्रिज्या $ R $ के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है:

$$ M = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3 $$

इस प्रकार, 'g' का नया रूप होगा:

$$ g' = \frac{G \cdot \rho \cdot \frac{4}{3} \pi (3R)^3}{(3R)^2} $$

$$ g' = \frac{G \cdot \rho \cdot \frac{4}{3} \pi \cdot 27R^3}{9R^2} $$

$$ g' = \frac{G \cdot \rho \cdot \frac{4}{3} \pi \cdot 3R}{1} $$

$$ g' = 3 \cdot G \cdot \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R $$

अब, यदि 'g' को स्थिर रखना है, तो $ g' = g $ होना चाहिए। इसका अर्थ है:

$$ 3 \cdot \rho = \rho_0 $$

जहां $ \rho_0 $ प्रारंभिक घनत्व है। इसलिए, घनत्व को एक तिहाई करना होगा ताकि 'g' अपरिवर्तित रहे। इस प्रकार, सही उत्तर विकल्प 2 है: घनत्व एक तिहाई हो जाता है।

अब अन्य विकल्पों की गलतियों को समझते हैं:

1. **Density reduced to half**: यदि घनत्व आधा हो जाता है, तो 'g' का मूल्य कम हो जाएगा, क्योंकि घनत्व में कमी से द्रव्यमान भी कम होगा, जिससे 'g' कम हो जाएगा।

3. **Density becomes double**: यदि घनत्व दोगुना हो जाता है, तो 'g' का मूल्य बढ़ जाएगा, क्योंकि द्रव्यमान बढ़ जाएगा, जिससे 'g' बढ़ जाएगा।

4. **Density becomes three times**: यदि घनत्व तीन गुना हो जाता है, तो 'g' का मूल्य और भी अधिक बढ़ जाएगा, क्योंकि द्रव्यमान तीन गुना बढ़ जाएगा, जिससे 'g' तीन गुना बढ़ जाएगा।

इस प्रकार, केवल विकल्प 2 सही है, जो कहता है कि घनत्व एक तिहाई हो जाता है।