In a triangle ABC, $\angle B=\frac{\pi}{3}$ and $\angle C=\frac{\pi}{4}$. Let D divide BC internally in the ratio 1: 3, then: $\frac{sin\angle BAD}{sin\angle CAD}=$

Question

Accepted Answer

त्रिभुज ABC में, $\angle B = \frac{\pi}{3}$ और $\angle C = \frac{\pi}{4}$ हैं। हमें $\angle A$ ज्ञात करने के लिए इन कोणों का उपयोग करना होगा। चूंकि त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $\pi$ होता है, इसलिए:

$$
\angle A = \pi - \angle B - \angle C = \pi - \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} = \frac{12\pi}{12} - \frac{4\pi}{12} - \frac{3\pi}{12} = \frac{5\pi}{12}
$$

अब, D बिंदु BC को 1:3 के अनुपात में विभाजित करता है। हमें $\frac{\sin \angle BAD}{\sin \angle CAD}$ ज्ञात करना है। चूंकि D बिंदु BC को 1:3 के अनुपात में विभाजित करता है, हम त्रिकोणमिति के साइन नियम का उपयोग कर सकते हैं।

त्रिकोणमिति के साइन नियम के अनुसार, $\frac{\sin \angle BAD}{\sin \angle CAD}$ का अनुपात BC के विभाजन के अनुपात के व्युत्क्रम के बराबर होगा। चूंकि D बिंदु BC को 1:3 के अनुपात में विभाजित करता है, इसलिए:

$$
\frac{\sin \angle BAD}{\sin \angle CAD} = \frac{1}{\sqrt{6}}
$$

इस प्रकार, सही उत्तर विकल्प 2 है।

अब, अन्य विकल्पों के गलत होने का कारण:

1. $\frac{\sqrt{2}}{3}$: यह अनुपात BC के विभाजन के अनुपात के व्युत्क्रम से मेल नहीं खाता है।
2. $\frac{1}{\sqrt{3}}$: यह भी BC के विभाजन के अनुपात के व्युत्क्रम से मेल नहीं खाता है।
3. $\frac{1}{2}$: यह अनुपात भी BC के विभाजन के अनुपात के व्युत्क्रम से मेल नहीं खाता है।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 2 है: $\frac{1}{\sqrt{6}}$।