The base of a right prism is a triangle whose perimeter is 32 cm and the inradius of the triangle is 6 cm. If the volume of the prism is 576 cc, then its height is :

Question

Accepted Answer

प्रश्न: एक समकोण प्रिज्म का आधार एक त्रिभुज है जिसका परिमाप 32 सेमी है और त्रिभुज का अंतःवृत्त त्रिज्या 6 सेमी है। यदि प्रिज्म का आयतन 576 घन सेमी है, तो इसकी ऊँचाई क्या है?

सही उत्तर: विकल्प 3 (6 सेमी)

व्याख्या:

1. त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना:
   - त्रिभुज का परिमाप $ P = 32 $ सेमी है।
   - अंतःवृत्त त्रिज्या $ r = 6 $ सेमी है।
   - त्रिभुज का क्षेत्रफल $ A $ होता है $ A = r \times s $, जहाँ $ s $ अर्ध-परिमाप है।
   - $ s = \frac{P}{2} = \frac{32}{2} = 16 $ सेमी।
   - अतः, $ A = 6 \times 16 = 96 $ वर्ग सेमी।

2. प्रिज्म का आयतन ज्ञात करना:
   - प्रिज्म का आयतन $ V = \text{आधार का क्षेत्रफल} \times \text{ऊँचाई} $ होता है।
   - $ V = 96 \times \text{ऊँचाई} = 576 $ घन सेमी।
   - अतः, $\text{ऊँचाई} = \frac{576}{96} = 6 $ सेमी।

3. अन्य विकल्पों का विश्लेषण:
   - विकल्प 1 (4 सेमी): यदि ऊँचाई 4 सेमी होती, तो आयतन $ 96 \times 4 = 384 $ घन सेमी होता, जो 576 घन सेमी नहीं है।
   - विकल्प 2 (5 सेमी): यदि ऊँचाई 5 सेमी होती, तो आयतन $ 96 \times 5 = 480 $ घन सेमी होता, जो 576 घन सेमी नहीं है।
   - विकल्प 4 (8 सेमी): यदि ऊँचाई 8 सेमी होती, तो आयतन $ 96 \times 8 = 768 $ घन सेमी होता, जो 576 घन सेमी नहीं है।

इस प्रकार, सही उत्तर विकल्प 3 (6 सेमी) है, क्योंकि यह सभी गणनाओं के अनुसार सही बैठता है।