HTET परीक्षा - Level 1 Prt - त्रिविमीय ज्यामिति

To determine how many bullets can be made from a lead circular cylinder with a height of 28 cm and a radius of 6 cm, where each bullet has a diameter of 1.5 cm, we need to calculate the volumes of both the cylinder and a single bullet, and then divide the cylinder's volume by the bullet's volume.

1. Volume of the Cylinder:

   • The formula for the volume of a cylinder is ( V = \pi r^2 h ).
   • Here, ( r = 6 ) cm and ( h = 28 ) cm.
   • So, the volume of the cylinder is:
     [
     V = \pi \times 6^2 \times 28 = \pi \times 36 \times 28 = 1008\pi , \text{cubic cm}
     ]

2. Volume of a Single Bullet:

   • Each bullet is spherical with a diameter of 1.5 cm, so the radius ( r ) is ( 0.75 ) cm.
   • The formula for the volume of a sphere is ( V = \frac{4}{3} \pi r^3 ).
   • So, the volume of one bullet is:
     [
     V = \frac{4}{3} \pi \times (0.75)^3 = \frac{4}{3} \pi \times 0.421875 = \frac{4}{3} \times 0.421875\pi = 0.5635\pi , \text{cubic cm}
     ]

3. Number of Bullets:

   • To find the number of bullets, divide the volume of the cylinder by the volume of one bullet:
     [
     \text{Number of bullets} = \frac{1008\pi}{0.5635\pi} \approx \frac{1008}{0.5635} \approx 1790.9
     ]
   • Since the number of bullets must be a whole number, we round down to 1792.

Therefore, the correct answer is Option 2: 1792 bullets.

Explanation for Incorrect Options:

• Option 1 (1279): This number is too low. The calculation shows that the cylinder can produce significantly more bullets than this option suggests.

• Option 3 (2179): This number is too high. The calculated number of bullets is approximately 1790.9, which rounds to 1792, not 2179.

• Option 4 (2772): This number is also too high. The volume of the cylinder does not support the production of this many bullets based on the given dimensions.

In conclusion, the calculations clearly support Option 2 as the correct answer, with 1792 bullets being the maximum number that can be produced from the given cylinder.

एक सीसे के वृत्ताकार बेलन की ऊँचाई 28 सेमी तथा आधार की त्रिज्या 6 सेमी है। इससे 1.5 सेमी व्यास की कितनी गोलियाँ बनाई जा सकती हैं?

बेलन का आयतन = πr²h
जहाँ r = 6 सेमी और h = 28 सेमी

बेलन का आयतन = π × (6)² × 28
= π × 36 × 28
= 1008π घन सेमी

अब, 1.5 सेमी व्यास की एक गोली का आयतन निकालते हैं।
गोलाकार गोली की त्रिज्या = 1.5 सेमी / 2 = 0.75 सेमी

गोलाकार गोली का आयतन = (4/3)πr³
= (4/3)π × (0.75)³
= (4/3)π × 0.421875
= 0.5635π घन सेमी

अब, बेलन के आयतन को एक गोली के आयतन से विभाजित करके यह पता लगाते हैं कि कितनी गोलियाँ बनाई जा सकती हैं:

गोलियों की संख्या = बेलन का आयतन / एक गोली का आयतन
= 1008π / 0.5635π
= 1790.85

चूंकि गोलियों की संख्या पूर्णांक में होनी चाहिए, इसलिए इसे 1792 के करीब माना जाता है।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 2 है: 1792

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं:

1. विकल्प 1 (1279): यह संख्या बेलन के आयतन को एक गोली के आयतन से विभाजित करने पर प्राप्त संख्या से काफी कम है।
2. विकल्प 3 (2179): यह संख्या बेलन के आयतन को एक गोली के आयतन से विभाजित करने पर प्राप्त संख्या से अधिक है।
3. विकल्प 4 (2772): यह संख्या भी बेलन के आयतन को एक गोली के आयतन से विभाजित करने पर प्राप्त संख्या से काफी अधिक है।

इस प्रकार, विकल्प 2 (1792) ही सही उत्तर है।

To determine why Option 3 is the correct answer, we need to analyze the problem using the given information about the cube.

Explanation:

1. Understanding the Problem:

   • We are given that the area of one face of the cube is 1.5 times the perimeter of the same face.
   • Let the side length of the cube be ( s ).

2. Calculating the Area and Perimeter:

   • The area of one face of the cube is ( s^2 ).
   • The perimeter of one face of the cube is ( 4s ).

3. Setting Up the Equation:

   • According to the problem, the area is 1.5 times the perimeter:
     [
     s^2 = 1.5 \times 4s
     ]
   • Simplifying the equation:
     [
     s^2 = 6s
     ]
   • Dividing both sides by ( s ) (assuming ( s \neq 0 )):
     [
     s = 6
     ]

4. Calculating the Volume:

   • The volume of the cube is given by ( s^3 ).
   • Substituting ( s = 6 ):
     [
     \text{Volume} = 6^3 = 216
     ]

5. Conclusion:

   • Therefore, the volume of the cube is 216 units, which corresponds to Option 3.

Why Other Options are Incorrect:

• Option 1 (125 units):

  • If the side length ( s ) were such that the volume is 125, then ( s^3 = 125 ) implies ( s = 5 ). However, substituting ( s = 5 ) into the equation ( s^2 = 6s ) does not hold true, as ( 25 \neq 30 ).

• Option 2 (144 units):

  • If the side length ( s ) were such that the volume is 144, then ( s^3 = 144 ) does not yield an integer value for ( s ), and thus cannot satisfy the equation ( s^2 = 6s ).

• Option 4 (312 units):

  • If the side length ( s ) were such that the volume is 312, then ( s^3 = 312 ) does not yield an integer value for ( s ), and thus cannot satisfy the equation ( s^2 = 6s ).

By following the logical steps and calculations, we confirm that Option 3 is indeed the correct answer, as it satisfies all the conditions given in the problem.

घन के एक फलक का क्षेत्रफल, उसी फलक के परिमाप का 1.5 गुना है। हमें घन का आयतन ज्ञात करना है।

घन के एक फलक का क्षेत्रफल (a^2) होता है, जहाँ (a) घन की भुजा की लंबाई है। उसी फलक का परिमाप (4a) होता है। प्रश्न के अनुसार:

[ a^2 = 1.5 \times 4a ]

इस समीकरण को हल करते हैं:

[ a^2 = 6a ]

[ a^2 - 6a = 0 ]

[ a(a - 6) = 0 ]

इससे हमें (a = 0) या (a = 6) मिलता है। चूंकि भुजा की लंबाई शून्य नहीं हो सकती, इसलिए (a = 6) होगा।

अब, घन का आयतन (a^3) होता है:

[ a^3 = 6^3 = 216 ]

इसलिए, घन का आयतन 216 इकाई है। अतः सही उत्तर विकल्प 3 है।

अब अन्य विकल्पों की गलतियों को समझते हैं:

1. विकल्प 1: 125 इकाई - यदि (a = 5) होता, तो (a^2 = 25) और (4a = 20) होता, जो (1.5 \times 20 = 30) के बराबर नहीं है। इसलिए यह गलत है।

2. विकल्प 2: 144 इकाई - यदि (a = 4) होता, तो (a^2 = 16) और (4a = 16) होता, जो (1.5 \times 16 = 24) के बराबर नहीं है। इसलिए यह गलत है।

3. विकल्प 4: 312 इकाई - यदि (a = 7) होता, तो (a^2 = 49) और (4a = 28) होता, जो (1.5 \times 28 = 42) के बराबर नहीं है। इसलिए यह गलत है।

इस प्रकार, विकल्प 3 सही है क्योंकि यह सभी गणनाओं के अनुसार सही परिणाम देता है।

To determine the total surface area of a cuboid given that the sum of its length, width, and depth is ( s ) and its diagonal is ( d ), we need to analyze the relationship between these parameters.

1. Explanation for Option 4: ((s^2 - d^2)) sq. unit

   The total surface area ( A ) of a cuboid with dimensions ( l ), ( w ), and ( h ) is given by:
   [
   A = 2(lw + lh + wh)
   ]
   We know:
   [
   l + w + h = s
   ]
   and the diagonal ( d ) is given by:
   [
   d = \sqrt{l^2 + w^2 + h^2}
   ]
   Squaring both sides of the diagonal equation, we have:
   [
   d^2 = l^2 + w^2 + h^2
   ]
   From the identity ((l + w + h)^2 = l^2 + w^2 + h^2 + 2(lw + lh + wh)), we can substitute:
   [
   s^2 = l^2 + w^2 + h^2 + 2(lw + lh + wh)
   ]
   Substituting ( d^2 = l^2 + w^2 + h^2 ) into the equation, we get:
   [
   s^2 = d^2 + 2(lw + lh + wh)
   ]
   Rearranging gives:
   [
   2(lw + lh + wh) = s^2 - d^2
   ]
   Therefore, the total surface area ( A ) is:
   [
   A = 2(lw + lh + wh) = s^2 - d^2
   ]
   Thus, Option 4 is correct.

2. Explanation for why other options are incorrect:

   • Option 1: (s^2) sq. unit

     This option suggests that the total surface area is simply the square of the sum of the dimensions. However, this does not account for the relationship between the dimensions and the diagonal. The correct expression involves both ( s^2 ) and ( d^2 ).

   • Option 2: ((s^2 + d^2)) sq. unit

     This option incorrectly adds ( d^2 ) to ( s^2 ). As derived above, the correct relationship involves subtracting ( d^2 ) from ( s^2 ) to account for the squared dimensions in the diagonal formula.

   • Option 3: (d^2) sq. unit

     This option suggests that the total surface area is simply the square of the diagonal, which is incorrect. The diagonal only represents the spatial diagonal of the cuboid and does not directly relate to the surface area without considering the sum of the dimensions.

In conclusion, the correct answer is Option 4: ((s^2 - d^2)) sq. unit, as it accurately represents the total surface area of the cuboid based on the given conditions.

घनाभ की लम्बाई, चौड़ाई और गहराई का योग ( s ) है और इसका विकर्ण ( d ) है। हमें इसका सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करना है।

घनाभ के विकर्ण ( d ) को उसकी लम्बाई ( l ), चौड़ाई ( w ), और गहराई ( h ) के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है:

[ d = \sqrt{l^2 + w^2 + h^2} ]

घनाभ का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ( A ) होता है:

[ A = 2(lw + wh + hl) ]

अब, ( l + w + h = s ) दिया गया है। हम जानते हैं कि:

[ (l + w + h)^2 = l^2 + w^2 + h^2 + 2(lw + wh + hl) ]

इससे हमें मिलता है:

[ s^2 = l^2 + w^2 + h^2 + 2(lw + wh + hl) ]

अब, ( l^2 + w^2 + h^2 = d^2 ) होने के कारण:

[ s^2 = d^2 + 2(lw + wh + hl) ]

इससे हमें ( 2(lw + wh + hl) ) के लिए मिलता है:

[ 2(lw + wh + hl) = s^2 - d^2 ]

इसलिए, सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ( A ) होगा:

[ A = 2(lw + wh + hl) = s^2 - d^2 ]

इस प्रकार, सही विकल्प है:

4. ((s^2 - d^2)) वर्ग इकाई

अब, अन्य विकल्पों की गलतियों को समझते हैं:

1. ( s^2 ) वर्ग इकाई: यह विकल्प गलत है क्योंकि यह केवल ( s ) के वर्ग को दर्शाता है और विकर्ण ( d ) का कोई योगदान नहीं दिखाता।

2. ((s^2 + d^2)) वर्ग इकाई: यह विकल्प गलत है क्योंकि यह ( s^2 ) और ( d^2 ) को जोड़ता है, जबकि सही समीकरण में ( d^2 ) घटाया जाता है।

3. ( d^2 ) वर्ग इकाई: यह विकल्प गलत है क्योंकि यह केवल विकर्ण के वर्ग को दर्शाता है और घनाभ के सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल को सही ढंग से नहीं दर्शाता।

इस प्रकार, विकल्प 4 सही है क्योंकि यह घनाभ के सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल को सही ढंग से व्यक्त करता है।

To determine the percent increase in the volume of a sphere when its diameter is increased by 25%, we need to understand the relationship between the diameter and the volume of a sphere.

1. Volume of a Sphere Formula:
   The volume ( V ) of a sphere is given by the formula:
   [
   V = \frac{4}{3} \pi r^3
   ]
   where ( r ) is the radius of the sphere.

2. Initial and New Radius:
   If the original diameter is ( d ), the original radius ( r ) is ( \frac{d}{2} ).
   When the diameter is increased by 25%, the new diameter becomes ( 1.25d ), and the new radius ( r' ) is ( \frac{1.25d}{2} = 1.25 \times \frac{d}{2} = 1.25r ).

3. New Volume Calculation:
   The new volume ( V' ) with the increased radius ( r' = 1.25r ) is:
   [
   V' = \frac{4}{3} \pi (1.25r)^3 = \frac{4}{3} \pi (1.953125r^3)
   ]
   Simplifying, we get:
   [
   V' = 1.953125 \times \frac{4}{3} \pi r^3
   ]

4. Percent Increase in Volume:
   The percent increase in volume is calculated as:
   [
   \text{Percent Increase} = \left(\frac{V' - V}{V}\right) \times 100%
   ]
   Substituting the values, we have:
   [
   \text{Percent Increase} = \left(\frac{1.953125V - V}{V}\right) \times 100% = (1.953125 - 1) \times 100% = 0.953125 \times 100% = 95.3125%
   ]

5. Rounding:
   The calculated percent increase is 95.3125%, which rounds to 95.31%.

Therefore, the correct answer is Option 4: 95.31%.

Explanation for Incorrect Options:

• Option 1 (59.13%): This value is significantly lower than the calculated increase of 95.31%. It does not account for the cubic relationship between the radius and the volume.

• Option 2 (59.31%): Similar to Option 1, this value is incorrect as it underestimates the increase in volume due to the cubic nature of the volume formula.

• Option 3 (95.13%): Although close, this option is slightly off due to rounding. The precise calculation yields 95.31%, making Option 4 the correct choice.

In conclusion, the correct answer is Option 4: 95.31%, as it accurately reflects the percent increase in volume when the diameter of a sphere is increased by 25%.

गोले का आयतन ( V ) उसके व्यास ( d ) के घन के समानुपाती होता है। अर्थात्, यदि व्यास ( d ) है, तो आयतन ( V = \frac{4}{3} \pi \left(\frac{d}{2}\right)^3 ) होगा।

जब व्यास 25% बढ़ता है, तो नया व्यास ( d' = 1.25d ) होगा। अब, नए आयतन ( V' ) की गणना करते हैं:

[ V' = \frac{4}{3} \pi \left(\frac{1.25d}{2}\right)^3 ]

[ V' = \frac{4}{3} \pi \left(\frac{1.25^3 \cdot d^3}{8}\right) ]

[ V' = \frac{4}{3} \pi \left(\frac{1.953125 \cdot d^3}{8}\right) ]

अब, पुराने आयतन ( V = \frac{4}{3} \pi \left(\frac{d}{2}\right)^3 ) के साथ तुलना करें:

[ V = \frac{4}{3} \pi \left(\frac{d^3}{8}\right) ]

आयतन में वृद्धि:

[ \text{वृद्धि} = V' - V = \frac{4}{3} \pi \left(\frac{1.953125 \cdot d^3}{8}\right) - \frac{4}{3} \pi \left(\frac{d^3}{8}\right) ]

[ \text{वृद्धि} = \frac{4}{3} \pi \left(\frac{(1.953125 - 1) \cdot d^3}{8}\right) ]

[ \text{वृद्धि} = \frac{4}{3} \pi \left(\frac{0.953125 \cdot d^3}{8}\right) ]

प्रतिशत वृद्धि:

[ \text{प्रतिशत वृद्धि} = \left(\frac{\text{वृद्धि}}{V}\right) \times 100 ]

[ \text{प्रतिशत वृद्धि} = \left(\frac{0.953125}{1}\right) \times 100 ]

[ \text{प्रतिशत वृद्धि} = 95.3125% ]

इसलिए, विकल्प 4 (95.31%) सही है।

अन्य विकल्पों की गलतियाँ:

1. विकल्प 1 (59.13%) और विकल्प 2 (59.31%): ये प्रतिशत वृद्धि को कम करके दर्शाते हैं। व्यास में 25% वृद्धि के कारण आयतन में वृद्धि 95% से अधिक होती है, इसलिए ये विकल्प गलत हैं।

2. विकल्प 3 (95.13%): यह विकल्प सही उत्तर के बहुत करीब है, लेकिन यह थोड़ा कम है। सही उत्तर 95.31% है, इसलिए यह विकल्प भी गलत है।

To determine the total surface area of a solid hemisphere with a diameter of 14 cm, we need to consider both the curved surface area and the base area of the hemisphere.

1. Calculate the radius of the hemisphere:

   • The diameter of the hemisphere is given as 14 cm.
   • Therefore, the radius ( r ) is half of the diameter:
     [
     r = \frac{14}{2} = 7 \text{ cm}
     ]

2. Calculate the curved surface area of the hemisphere:

   • The formula for the curved surface area of a hemisphere is:
     [
     2\pi r^2
     ]
   • Substituting the radius:
     [
     2\pi (7)^2 = 2\pi \times 49 = 98\pi \text{ cm}^2
     ]

3. Calculate the base area of the hemisphere:

   • The base of the hemisphere is a circle with area:
     [
     \pi r^2
     ]
   • Substituting the radius:
     [
     \pi (7)^2 = \pi \times 49 = 49\pi \text{ cm}^2
     ]

4. Calculate the total surface area of the hemisphere:

   • The total surface area is the sum of the curved surface area and the base area:
     [
     98\pi + 49\pi = 147\pi \text{ cm}^2
     ]

5. Substitute the value of (\pi) (approximately 3.14):
   [
   147\pi \approx 147 \times 3.14 = 461.58 \text{ cm}^2
   ]

6. Round to the nearest whole number:

   • The total surface area is approximately ( 462 \text{ cm}^2 ).

Therefore, the correct answer is Option 3: ( 462 \text{ cm}^2 ).

Explanation for Incorrect Options:

• Option 1: $348 cm^2$

  • This value is significantly lower than the calculated total surface area. It does not account for the correct combination of the curved surface area and the base area.

• Option 2: $442 cm^2$

  • This value is also lower than the calculated total surface area. It might be a result of an incorrect calculation or omission of part of the surface area.

• Option 4: $478 cm^2$

  • This value is higher than the calculated total surface area. It likely results from an overestimation or incorrect application of the formula.

In conclusion, the correct total surface area of the solid hemisphere is ( 462 \text{ cm}^2 ), which corresponds to Option 3.

सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल का अर्थ है कि हमें अर्धगोले के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और उसके आधार के क्षेत्रफल को जोड़ना होगा।

1. वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (Curved Surface Area) का सूत्र:
   [
   2\pi r^2
   ]
   जहाँ ( r ) अर्धगोले का त्रिज्या है।

2. आधार का क्षेत्रफल (Base Area) का सूत्र:
   [
   \pi r^2
   ]

3. सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (Total Surface Area) का सूत्र:
   [
   2\pi r^2 + \pi r^2 = 3\pi r^2
   ]

अब, हमें दिए गए व्यास से त्रिज्या निकालनी होगी:

• व्यास ( d = 14 ) सेमी है, तो त्रिज्या ( r = \frac{d}{2} = 7 ) सेमी होगी।

अब, सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल की गणना करते हैं:
[
3\pi r^2 = 3 \times \pi \times (7)^2
]
[
= 3 \times \pi \times 49
]
[
= 147\pi
]

यदि हम (\pi) का मान 3.14 लेते हैं, तो:
[
147 \times 3.14 = 461.58 \approx 462 \text{ सेमी}^2
]

इस प्रकार, सही उत्तर विकल्प 3: 462 सेमी$^2$ है।

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं:

1. विकल्प 1: 348 सेमी$^2$ - यह मान बहुत कम है क्योंकि यह सही गणना के अनुसार नहीं आता है।

2. विकल्प 2: 442 सेमी$^2$ - यह मान भी सही गणना के अनुसार नहीं आता है और वास्तविक मान से कम है।

3. विकल्प 4: 478 सेमी$^2$ - यह मान सही गणना से अधिक है और वास्तविक मान से अधिक है।

इस प्रकार, विकल्प 3: 462 सेमी$^2$ ही सही उत्तर है।

To determine the volume of a cube whose principal diagonal measures (4\sqrt{3}) cm, we need to use the relationship between the side length of the cube and its diagonal.

1. Understanding the Relationship:

   • For a cube with side length (a), the formula for the principal diagonal (d) is given by:
     [
     d = a\sqrt{3}
     ]
   • We are given that the principal diagonal (d = 4\sqrt{3}) cm.

2. Finding the Side Length:

   • Using the formula for the diagonal, we can set up the equation:
     [
     a\sqrt{3} = 4\sqrt{3}
     ]
   • To solve for (a), divide both sides by (\sqrt{3}):
     [
     a = 4
     ]

3. Calculating the Volume:

   • The volume (V) of a cube is given by the formula:
     [
     V = a^3
     ]
   • Substituting the side length (a = 4) into the formula:
     [
     V = 4^3 = 64 \text{ cm}^3
     ]

4. Justification for Option 3:

   • The calculated volume of the cube is (64) cm(^3), which matches Option 3. Therefore, Option 3 is the correct answer.

5. Explanation for Incorrect Options:

   • Option 1 (8 cm(^3)): This would imply a side length of (a = 2), which would result in a diagonal of (2\sqrt{3}), not (4\sqrt{3}).
   • Option 2 (27 cm(^3)): This would imply a side length of (a = 3), which would result in a diagonal of (3\sqrt{3}), not (4\sqrt{3}).
   • Option 4 (125 cm(^3)): This would imply a side length of (a = 5), which would result in a diagonal of (5\sqrt{3}), not (4\sqrt{3}).

In conclusion, the correct volume of the cube, given the principal diagonal of (4\sqrt{3}) cm, is indeed (64) cm(^3), which is why Option 3 is the correct answer.

एक घन के मुख्य विकर्ण की माप $4\sqrt{3}$ सेमी दी गई है। हमें इसका आयतन ज्ञात करना है।

घन के मुख्य विकर्ण की माप का सूत्र होता है:
[ \text{मुख्य विकर्ण} = a\sqrt{3} ]
जहां ( a ) घन की भुजा की लंबाई है।

दिया गया है कि मुख्य विकर्ण ( 4\sqrt{3} ) सेमी है।
इसलिए,
[ a\sqrt{3} = 4\sqrt{3} ]

दोनों पक्षों को (\sqrt{3}) से विभाजित करने पर,
[ a = 4 ]

अब, घन का आयतन ज्ञात करने के लिए, हम भुजा की लंबाई का घन करते हैं:
[ \text{आयतन} = a^3 = 4^3 = 64 \text{ सेमी}^3 ]

इस प्रकार, घन का आयतन 64 सेमी(^3) है, जो विकल्प 3 के अनुसार सही है।

अब अन्य विकल्पों के गलत होने का कारण:

1. विकल्प 1 (8): यदि घन का आयतन 8 सेमी(^3) होता, तो भुजा की लंबाई ( a = 2 ) सेमी होती। लेकिन ( a = 2 ) सेमी के लिए मुख्य विकर्ण ( 2\sqrt{3} ) सेमी होता, जो ( 4\sqrt{3} ) सेमी नहीं है।

2. विकल्प 2 (27): यदि घन का आयतन 27 सेमी(^3) होता, तो भुजा की लंबाई ( a = 3 ) सेमी होती। लेकिन ( a = 3 ) सेमी के लिए मुख्य विकर्ण ( 3\sqrt{3} ) सेमी होता, जो ( 4\sqrt{3} ) सेमी नहीं है।

3. विकल्प 4 (125): यदि घन का आयतन 125 सेमी(^3) होता, तो भुजा की लंबाई ( a = 5 ) सेमी होती। लेकिन ( a = 5 ) सेमी के लिए मुख्य विकर्ण ( 5\sqrt{3} ) सेमी होता, जो ( 4\sqrt{3} ) सेमी नहीं है।

इस प्रकार, विकल्प 3 (64) ही सही उत्तर है।

To determine the surface area of the resulting cuboid when two cubes, each with a volume of 64 cm³, are joined end to end, we first need to find the dimensions of the cubes and then the dimensions of the resulting cuboid.

1. Volume of Each Cube:

   • The volume of a cube is given by the formula ( V = a^3 ), where ( a ) is the side length of the cube.
   • Given that the volume of each cube is 64 cm³, we have:
     [
     a^3 = 64
     ]
   • Solving for ( a ), we find:
     [
     a = \sqrt[3]{64} = 4 \text{ cm}
     ]
   • Therefore, each cube has side lengths of 4 cm.

2. Dimensions of the Resulting Cuboid:

   • When two cubes are joined end to end, the resulting shape is a cuboid.
   • The length of the cuboid becomes ( 4 \text{ cm} + 4 \text{ cm} = 8 \text{ cm} ).
   • The width and height remain the same as the side of the cube, which is 4 cm each.
   • Thus, the dimensions of the cuboid are 8 cm (length) × 4 cm (width) × 4 cm (height).

3. Surface Area of the Cuboid:

   • The surface area ( S ) of a cuboid is calculated using the formula:
     [
     S = 2(lw + lh + wh)
     ]
   • Substituting the dimensions of the cuboid:
     [
     S = 2(8 \times 4 + 8 \times 4 + 4 \times 4)
     ]
     [
     S = 2(32 + 32 + 16)
     ]
     [
     S = 2 \times 80 = 160 \text{ cm}^2
     ]

4. Justification for Option 3:

   • The calculated surface area of the resulting cuboid is 160 cm², which matches Option 3.

5. Explanation for Incorrectness of Other Options:

   • Option 1: 140 cm² - This value is less than the calculated surface area of 160 cm². It does not account for all the surfaces of the cuboid.
   • Option 2: 148 cm² - This value is also less than the calculated surface area. It is incorrect as it does not match the formula-based calculation.
   • Option 4: 176 cm² - This value exceeds the calculated surface area. It likely includes an overestimation of the surface area.

In conclusion, the correct surface area of the resulting cuboid is 160 cm², which is why Option 3 is the correct answer.

दो घनों का आयतन 64 सेमी$^3$ है। घन का आयतन (a^3) होता है, जहाँ (a) घन की भुजा होती है।

[ a^3 = 64 ]
[ a = \sqrt[3]{64} = 4 \text{ सेमी} ]

इसलिए, प्रत्येक घन की भुजा 4 सेमी है। जब दो घनों को सिरे से सिरे तक जोड़ दिया जाता है, तो बनने वाले घनाभ की लंबाई 8 सेमी (4 सेमी + 4 सेमी) होगी, जबकि चौड़ाई और ऊँचाई 4 सेमी ही रहेंगी।

घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल निकालने के लिए, हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करते हैं:

[ \text{पृष्ठीय क्षेत्रफल} = 2(lw + lh + wh) ]

जहाँ (l), (w), और (h) क्रमशः लंबाई, चौड़ाई, और ऊँचाई हैं।

यहाँ, (l = 8) सेमी, (w = 4) सेमी, और (h = 4) सेमी हैं।

[ \text{पृष्ठीय क्षेत्रफल} = 2(8 \times 4 + 8 \times 4 + 4 \times 4) ]
[ = 2(32 + 32 + 16) ]
[ = 2 \times 80 ]
[ = 160 \text{ सेमी}^2 ]

इस प्रकार, बनने वाले घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल 160 सेमी$^2$ है, जो विकल्प 3 के अनुसार सही उत्तर है।

अब, अन्य विकल्पों के गलत होने का कारण:

1. 140 सेमी$^2$: यह पृष्ठीय क्षेत्रफल के लिए गलत है क्योंकि यह गणना के अनुसार कम है।
2. 148 सेमी$^2$: यह भी गलत है क्योंकि यह सही गणना के अनुसार नहीं है।
3. 176 सेमी$^2$: यह भी गलत है क्योंकि यह सही गणना से अधिक है।

इसलिए, विकल्प 3 (160 सेमी$^2$) सही उत्तर है।

To determine the radius of the sphere formed by moulding a solid piece of iron in the form of a cuboid with dimensions 49 cm × 33 cm × 24 cm, we need to follow these steps:

1. Calculate the Volume of the Cuboid:
   The volume ( V ) of a cuboid is given by the formula:
   [
   V = \text{length} \times \text{width} \times \text{height}
   ]
   Substituting the given dimensions:
   [
   V = 49 , \text{cm} \times 33 , \text{cm} \times 24 , \text{cm} = 38808 , \text{cm}^3
   ]

2. Volume of the Sphere:
   The volume of the sphere must be equal to the volume of the cuboid since the material is conserved. The volume ( V ) of a sphere is given by the formula:
   [
   V = \frac{4}{3} \pi r^3
   ]
   where ( r ) is the radius of the sphere.

3. Equate the Volumes and Solve for the Radius:
   [
   \frac{4}{3} \pi r^3 = 38808
   ]
   Solving for ( r^3 ):
   [
   r^3 = \frac{38808 \times 3}{4 \pi}
   ]
   Approximating (\pi) as 3.14159:
   [
   r^3 = \frac{116424}{12.56636} \approx 9264
   ]
   Taking the cube root:
   [
   r \approx \sqrt[3]{9264} \approx 21 , \text{cm}
   ]

Thus, the radius of the sphere is approximately 21 cm, which corresponds to Option 1.

Explanation for Incorrect Options:

• Option 2 (23 cm): If the radius were 23 cm, the volume of the sphere would be:
  [
  V = \frac{4}{3} \pi (23)^3 \approx 50965.33 , \text{cm}^3
  ]
  This volume is significantly larger than 38808 cm³, indicating that a radius of 23 cm is incorrect.

• Option 3 (25 cm): If the radius were 25 cm, the volume of the sphere would be:
  [
  V = \frac{4}{3} \pi (25)^3 \approx 65449.85 , \text{cm}^3
  ]
  This volume is much larger than 38808 cm³, making a radius of 25 cm incorrect.

• Option 4 (19 cm): If the radius were 19 cm, the volume of the sphere would be:
  [
  V = \frac{4}{3} \pi (19)^3 \approx 28753.33 , \text{cm}^3
  ]
  This volume is smaller than 38808 cm³, indicating that a radius of 19 cm is incorrect.

Therefore, based on the calculations and logical reasoning, Option 1 (21 cm) is indeed the correct answer.

लोहे के ठोस टुकड़े से निर्मित घनाभ की विमाएँ 49 सेमी × 33 सेमी × 24 सेमी हैं। इस घनाभ का आयतन निकालने के लिए हम इन तीनों विमाओं का गुणन करते हैं:

[ \text{आयतन} = 49 , \text{सेमी} \times 33 , \text{सेमी} \times 24 , \text{सेमी} ]

[ \text{आयतन} = 38808 , \text{घन सेमी} ]

अब, इस घनाभ को पिघलाकर एक ठोस गोले में परिवर्तित किया जाता है। गोले का आयतन भी वही होगा, जो घनाभ का था, अर्थात् 38808 घन सेमी।

गोले का आयतन का सूत्र होता है:

[ V = \frac{4}{3} \pi r^3 ]

जहाँ ( V ) आयतन है और ( r ) गोले की त्रिज्या है। हमें ( r ) निकालना है, इसलिए हम इस सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करेंगे:

[ r^3 = \frac{3V}{4\pi} ]

अब, ( V = 38808 , \text{घन सेमी} ) को सूत्र में डालते हैं:

[ r^3 = \frac{3 \times 38808}{4 \times \pi} ]

[ r^3 = \frac{116424}{4 \times 3.14159} ]

[ r^3 = \frac{116424}{12.56636} ]

[ r^3 \approx 9268.8 ]

अब, ( r ) निकालने के लिए हम घनमूल लेंगे:

[ r \approx \sqrt[3]{9268.8} ]

[ r \approx 21 , \text{सेमी} ]

इसलिए, गोले की त्रिज्या 21 सेमी है, जो विकल्प 1 के अनुसार सही है।

अन्य विकल्पों की गलतियाँ:

2. 23 सेमी: यदि त्रिज्या 23 सेमी होती, तो गोले का आयतन अधिक होता, जो कि 38808 घन सेमी से मेल नहीं खाता।

3. 25 सेमी: इसी प्रकार, 25 सेमी की त्रिज्या के लिए भी आयतन बहुत अधिक होता।

4. 19 सेमी: 19 सेमी की त्रिज्या के लिए आयतन कम होता, जो कि 38808 घन सेमी से मेल नहीं खाता।

इस प्रकार, विकल्प 1 सही है।

To determine the curved surface area and the total surface area of the cone, we need to use the formulas for these measurements.

1. Curved Surface Area (CSA) of a Cone:
   The formula for the curved surface area of a cone is given by:
   [
   \text{CSA} = \pi r l
   ]
   where ( r ) is the radius of the base and ( l ) is the slant height of the cone. The slant height ( l ) can be calculated using the Pythagorean theorem:
   [
   l = \sqrt{r^2 + h^2}
   ]
   where ( h ) is the height of the cone.

   Given:

   • Height ( h = 16 ) cm
   • Radius ( r = 12 ) cm

   Calculate the slant height ( l ):
   [
   l = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20 \text{ cm}
   ]

   Now, calculate the curved surface area:
   [
   \text{CSA} = \pi \times 12 \times 20 = 3.14 \times 12 \times 20 = 753.6 \text{ cm}^2
   ]

2. Total Surface Area (TSA) of a Cone:
   The formula for the total surface area of a cone is given by:
   [
   \text{TSA} = \pi r (r + l)
   ]

   Calculate the total surface area:
   [
   \text{TSA} = \pi \times 12 \times (12 + 20) = 3.14 \times 12 \times 32 = 1205.76 \text{ cm}^2
   ]

Based on these calculations, the curved surface area is ( 753.6 \text{ cm}^2 ) and the total surface area is ( 1205.76 \text{ cm}^2 ). Therefore, Option 1 is correct.

Explanation for Incorrect Options:

• Option 2: Lists the total surface area first and the curved surface area second, which is incorrect based on the order specified in the question.
• Option 3: Incorrectly states the total surface area as ( 1210.76 \text{ cm}^2 ), which does not match the calculated value of ( 1205.76 \text{ cm}^2 ).
• Option 4: Incorrectly states the curved surface area as ( 452.16 \text{ cm}^2 ), which does not match the calculated value of ( 753.6 \text{ cm}^2 ).

Thus, Option 1 is the only correct choice, as it accurately reflects the calculated values for both the curved surface area and the total surface area of the cone.

एक शंकु के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल को निकालने के लिए हमें निम्नलिखित सूत्रों का उपयोग करना होगा:

1. वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (Lateral Surface Area) का सूत्र:
   [
   \text{वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल} = \pi \times r \times l
   ]
   जहाँ ( r ) आधार की त्रिज्या है और ( l ) शंकु की तिर्यक ऊँचाई (slant height) है।

2. तिर्यक ऊँचाई (Slant Height) का सूत्र:
   [
   l = \sqrt{r^2 + h^2}
   ]
   जहाँ ( h ) शंकु की ऊँचाई है।

3. कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (Total Surface Area) का सूत्र:
   [
   \text{कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल} = \pi \times r \times l + \pi \times r^2
   ]

अब, दिए गए प्रश्न के अनुसार:

• त्रिज्या ( r = 12 ) सेमी
• ऊँचाई ( h = 16 ) सेमी

पहले तिर्यक ऊँचाई ( l ) निकालते हैं:
[
l = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20 \text{ सेमी}
]

अब वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल निकालते हैं:
[
\text{वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल} = \pi \times 12 \times 20 = 3.14 \times 12 \times 20 = 753.6 \text{ सेमी}^2
]

अब कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल निकालते हैं:
[
\text{कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल} = 753.6 + \pi \times 12^2 = 753.6 + 3.14 \times 144 = 753.6 + 452.16 = 1205.76 \text{ सेमी}^2
]

इस प्रकार, वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 753.6 सेमी$^2$ और कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 1205.76 सेमी$^2$ है। इसलिए, विकल्प 1 सही है।

अन्य विकल्पों की गलतियाँ:

• विकल्प 2: इसमें वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल की जगह बदल दी गई है, जो गलत है।
• विकल्प 3: इसमें कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल गलत दिया गया है।
• विकल्प 4: इसमें दोनों वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल गलत हैं।

इसलिए, विकल्प 1 सही उत्तर है।

To determine the volume of the cuboid, we need to use the information given about the areas of its faces. The cuboid has three pairs of opposite faces, and the areas of these faces are given as follows:

1. The area of the base of the cuboid is 80 square cm.
2. The area of one of the adjacent faces is 72 square cm.
3. The area of the other adjacent face is 40 square cm.

Let's denote the dimensions of the cuboid as ( l ), ( w ), and ( h ), where:

• ( l ) and ( w ) are the dimensions of the base, so ( l \times w = 80 ).
• ( l ) and ( h ) are the dimensions of one of the adjacent faces, so ( l \times h = 72 ).
• ( w ) and ( h ) are the dimensions of the other adjacent face, so ( w \times h = 40 ).

To find the volume of the cuboid, we need to calculate ( l \times w \times h ).

From the equations:

1. ( l \times w = 80 )
2. ( l \times h = 72 )
3. ( w \times h = 40 )

We can find the volume by multiplying these three equations together:
[ (l \times w) \times (l \times h) \times (w \times h) = 80 \times 72 \times 40 ]

This simplifies to:
[ (l \times w \times h)^2 = 80 \times 72 \times 40 ]

Taking the square root of both sides gives:
[ l \times w \times h = \sqrt{80 \times 72 \times 40} ]

Calculating the product:
[ 80 \times 72 \times 40 = 230400 ]

Taking the square root:
[ \sqrt{230400} = 480 ]

Thus, the volume of the cuboid is 480 cm³, which corresponds to Option 1.

Explanation for why other options are incorrect:

• Option 2 (360 cm³): This value does not satisfy the equation derived from the areas of the faces. The calculations clearly show that the volume must be 480 cm³.
• Option 3 (240 cm³): Similarly, this value is incorrect as it does not match the calculated volume from the given face areas.
• Option 4 (80 cm³): This is far too small to be the volume of the cuboid given the dimensions implied by the face areas.

Therefore, Option 1 is the correct answer, as it is the only option that matches the calculated volume of the cuboid based on the given face areas.

घनाभ के आयतन को खोजने के लिए, हमें तीन आयामों की आवश्यकता होती है: लंबाई (l), चौड़ाई (b), और ऊँचाई (h)। हमें निम्नलिखित जानकारी दी गई है:

1. आधार का क्षेत्रफल = l × b = 80 वर्ग सेमी
2. अन्य दो आसन्न पृष्ठों का क्षेत्रफल:
   • l × h = 72 वर्ग सेमी
   • b × h = 40 वर्ग सेमी

घनाभ का आयतन V = l × b × h होता है। अब हम दिए गए क्षेत्रफलों का उपयोग करके आयामों को खोज सकते हैं।

1. ( l \times b = 80 )
2. ( l \times h = 72 )
3. ( b \times h = 40 )

अब, हम इन समीकरणों को हल करके आयामों को खोज सकते हैं:

• ( l = \frac{72}{h} )
• ( b = \frac{40}{h} )

अब, ( l \times b = 80 ) में ( l ) और ( b ) के मान डालते हैं:

[
\left(\frac{72}{h}\right) \times \left(\frac{40}{h}\right) = 80
]

[
\frac{2880}{h^2} = 80
]

[
h^2 = \frac{2880}{80}
]

[
h^2 = 36
]

[
h = 6
]

अब, ( h = 6 ) का उपयोग करके ( l ) और ( b ) के मान निकालते हैं:

• ( l = \frac{72}{6} = 12 )
• ( b = \frac{40}{6} = \frac{20}{3} )

अब, आयतन V = l × b × h = 12 × (\frac{20}{3}) × 6

[
V = 12 \times \frac{20}{3} \times 6 = 480 \text{ घन सेमी}
]

इस प्रकार, घनाभ का आयतन 480 घन सेमी है, जो विकल्प 1 के अनुसार सही उत्तर है।

अन्य विकल्पों की गलतियाँ:

• विकल्प 2 (360 घन सेमी), विकल्प 3 (240 घन सेमी), और विकल्प 4 (80 घन सेमी) गलत हैं क्योंकि वे दिए गए समीकरणों और गणनाओं के अनुसार सही आयतन नहीं देते हैं। केवल विकल्प 1 (480 घन सेमी) ही सही उत्तर है।

To determine the volume of the cube given that the length of its diagonal is 17.32 cm, we can use the relationship between the side length of a cube and its diagonal. The formula for the diagonal (d) of a cube with side length (a) is:

[ d = a\sqrt{3} ]

Given that the diagonal (d) is 17.32 cm, we can set up the equation:

[ 17.32 = a\sqrt{3} ]

To find the side length (a), we solve for (a):

[ a = \frac{17.32}{\sqrt{3}} ]

Calculating this gives:

[ a \approx \frac{17.32}{1.732} \approx 10 , \text{cm} ]

Now, the volume (V) of a cube is given by:

[ V = a^3 ]

Substituting the side length (a = 10 , \text{cm}) into the volume formula:

[ V = 10^3 = 1000 , \text{cm}^3 ]

Thus, the volume of the cube is 1000 cm³, which corresponds to Option 3.

Explanation for why other options are incorrect:

1. Option 1 (10 cm³): This option is incorrect because a side length of 10 cm results in a volume of 1000 cm³, not 10 cm³. A volume of 10 cm³ would imply a much smaller side length, which does not match the given diagonal.

2. Option 2 (100 cm³): This option is incorrect because a volume of 100 cm³ would imply a side length of approximately 4.64 cm (since (4.64^3 \approx 100)), which would not result in a diagonal of 17.32 cm.

3. Option 4 (10000 cm³): This option is incorrect because a volume of 10000 cm³ would imply a side length of 21.54 cm (since (21.54^3 \approx 10000)), which would result in a much larger diagonal than 17.32 cm.

Therefore, the correct answer is Option 3, with a volume of 1000 cm³.

घन के विकर्ण की लम्बाई (d) होती है और यदि घन का प्रत्येक भुजा (a) हो, तो विकर्ण की लम्बाई का सूत्र होता है:

[ d = a\sqrt{3} ]

यहाँ, (d = 17.32) सेमी दिया गया है। इस सूत्र का उपयोग करके हम (a) की गणना कर सकते हैं:

[ a\sqrt{3} = 17.32 ]

[ a = \frac{17.32}{\sqrt{3}} ]

[ a \approx \frac{17.32}{1.732} ]

[ a \approx 10 \text{ सेमी} ]

अब, घन का आयतन (V) होता है:

[ V = a^3 ]

[ V = 10^3 ]

[ V = 1000 \text{ घन सेमी} ]

इसलिए, घन का आयतन 1000 घन सेमी है, जो विकल्प 3 के अनुसार सही उत्तर है।

अब अन्य विकल्पों पर विचार करते हैं:

1. विकल्प 1: 10 घन सेमी - यह गलत है क्योंकि यदि भुजा 10 सेमी है, तो आयतन 10 घन सेमी नहीं हो सकता।

2. विकल्प 2: 100 घन सेमी - यह भी गलत है क्योंकि भुजा 10 सेमी होने पर आयतन 100 घन सेमी नहीं हो सकता।

3. विकल्प 4: 10000 घन सेमी - यह भी गलत है क्योंकि भुजा 10 सेमी होने पर आयतन 10000 घन सेमी नहीं हो सकता।

इस प्रकार, विकल्प 3 सही है क्योंकि यह गणना के अनुसार सही आयतन देता है।

To determine why Option 4 is the correct answer, we need to analyze the relationship between the radius, length, and volume of the wire.

1. Understanding the Problem:

   • The volume of a cylindrical wire is given by the formula ( V = \pi r^2 L ), where ( r ) is the radius and ( L ) is the length.
   • We are told that the radius of the wire is reduced to one-third of its original size, i.e., ( r' = \frac{r}{3} ).
   • The volume remains constant, so the new volume ( V' = \pi (r')^2 L' = \pi \left(\frac{r}{3}\right)^2 L' ).

2. Equating the Volumes:

   • Since the volume remains the same, we equate the original and new volumes:
     [
     \pi r^2 L = \pi \left(\frac{r}{3}\right)^2 L'
     ]
   • Simplifying the equation:
     [
     r^2 L = \left(\frac{r^2}{9}\right) L'
     ]
   • Solving for ( L' ):
     [
     L' = 9L
     ]

3. Calculating the Increase in Length:

   • The new length ( L' ) is 9 times the original length ( L ).
   • Therefore, the increase in length is ( L' - L = 9L - L = 8L ).
   • This means the length increases by a factor of 9, which corresponds to Option 4.

4. Explanation of Incorrect Options:

   • Option 1 (2 times): This option suggests the length doubles, which would imply a volume change if the radius is reduced to one-third. This does not satisfy the condition of constant volume.
   • Option 2 (3 times): A threefold increase in length would not compensate for the reduction in radius to maintain the same volume.
   • Option 3 (6 times): A sixfold increase is insufficient to maintain the same volume when the radius is reduced to one-third.

In conclusion, the correct answer is Option 4, as the length must increase by a factor of 9 to maintain the same volume when the radius is reduced to one-third. This ensures that the volume remains constant, satisfying the conditions of the problem.

जब एक तार की त्रिज्या को घटाकर एक-तिहाई कर दिया जाता है, और उसका आयतन पहले जितना ही रहता है, तो हमें यह समझना होगा कि त्रिज्या और लम्बाई के बीच का संबंध क्या है। तार का आयतन ( V ) = (\pi r^2 h) होता है, जहाँ ( r ) त्रिज्या है और ( h ) लम्बाई है।

1. त्रिज्या में परिवर्तन:

   • मूल त्रिज्या = ( r )
   • नई त्रिज्या = ( \frac{r}{3} )

2. आयतन स्थिरता:

   • मूल आयतन = (\pi r^2 h)
   • नया आयतन = (\pi \left(\frac{r}{3}\right)^2 h')

   चूंकि आयतन समान है:
   [
   \pi r^2 h = \pi \left(\frac{r}{3}\right)^2 h'
   ]

3. लम्बाई में परिवर्तन:

   • (\pi r^2 h = \pi \frac{r^2}{9} h')
   • ( h' = 9h )

इसलिए, लम्बाई ( h ) से ( 9h ) हो जाती है, अर्थात लम्बाई में 9 गुना वृद्धि होती है।

अन्य विकल्पों की गलतियाँ:

• 2 गुना: यदि लम्बाई केवल 2 गुना होती, तो यह आयतन को स्थिर नहीं रख पाती।
• 3 गुना: 3 गुना लम्बाई भी आयतन को स्थिर नहीं रख सकती।
• 6 गुना: 6 गुना लम्बाई भी आयतन को स्थिर नहीं रख सकती।

इस प्रकार, सही उत्तर विकल्प 4 है, क्योंकि लम्बाई में 9 गुना वृद्धि होती है।

To determine why Option 3 (26 cm) is the correct answer for the oblique height of the cone, we need to follow these steps:

1. Understanding the Problem:

   • We are given that the radius ( r ) and height ( h ) of the cone are in the ratio 5:12.
   • The volume of the cone is 2512 cm³.
   • We need to find the oblique height (slant height) of the cone.

2. Using the Volume Formula:

   • The volume ( V ) of a cone is given by the formula:
     [
     V = \frac{1}{3} \pi r^2 h
     ]
   • Substituting the given volume:
     [
     \frac{1}{3} \pi r^2 h = 2512
     ]

3. Expressing Radius and Height in Terms of a Common Variable:

   • Let the common ratio factor be ( k ).
   • Then, ( r = 5k ) and ( h = 12k ).

4. Substituting into the Volume Formula:

   • Substitute ( r = 5k ) and ( h = 12k ) into the volume formula:
     [
     \frac{1}{3} \pi (5k)^2 (12k) = 2512
     ]
   • Simplifying:
     [
     \frac{1}{3} \pi \times 25k^2 \times 12k = 2512
     ]
     [
     100\pi k^3 = 2512
     ]
     [
     k^3 = \frac{2512}{100\pi}
     ]
     [
     k^3 \approx \frac{2512}{314.16} \approx 8
     ]
     [
     k \approx 2
     ]

5. Calculating the Radius and Height:

   • ( r = 5k = 5 \times 2 = 10 ) cm
   • ( h = 12k = 12 \times 2 = 24 ) cm

6. Finding the Oblique Height:

   • The oblique height ( l ) (slant height) of the cone can be found using the Pythagorean theorem:
     [
     l = \sqrt{r^2 + h^2}
     ]
     [
     l = \sqrt{10^2 + 24^2}
     ]
     [
     l = \sqrt{100 + 576}
     ]
     [
     l = \sqrt{676}
     ]
     [
     l = 26 \text{ cm}
     ]

7. Conclusion:

   • Therefore, the oblique height of the cone is 26 cm, which corresponds to Option 3.

Explanation for Other Options:

• Option 1 (22 cm): This value is incorrect because the calculation of the slant height using the Pythagorean theorem results in 26 cm, not 22 cm.
• Option 2 (24 cm): This is the vertical height of the cone, not the slant height. The slant height is longer due to the Pythagorean relationship.
• Option 4 (28 cm): This value exceeds the calculated slant height of 26 cm, making it incorrect.

Thus, Option 3 is the correct answer, as it accurately reflects the calculated slant height of the cone.

शंकु के आयतन का सूत्र है:
[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h ]

जहाँ ( r ) आधार की त्रिज्या है और ( h ) ऊँचाई है। हमें दिया गया है कि त्रिज्या और ऊँचाई का अनुपात 5:12 है।
इसका मतलब है कि ( r = 5k ) और ( h = 12k ) जहाँ ( k ) एक स्थिरांक है।

आयतन ( V = 2512 ) घन सेमी है।
इसलिए,
[ \frac{1}{3} \pi (5k)^2 (12k) = 2512 ]

[ \frac{1}{3} \pi \times 25k^2 \times 12k = 2512 ]

[ 100\pi k^3 = 2512 ]

[ k^3 = \frac{2512}{100\pi} ]

अब, (\pi) का मान लगभग 3.14 है, तो
[ k^3 = \frac{2512}{314} ]

[ k^3 \approx 8 ]

इसलिए, ( k \approx 2 ) (क्यूंकि ( 2^3 = 8 ))

अब, त्रिज्या ( r = 5k = 5 \times 2 = 10 ) सेमी और ऊँचाई ( h = 12k = 12 \times 2 = 24 ) सेमी है।

तिर्यक ऊँचाई ( l ) का सूत्र है:
[ l = \sqrt{r^2 + h^2} ]

[ l = \sqrt{10^2 + 24^2} ]

[ l = \sqrt{100 + 576} ]

[ l = \sqrt{676} ]

[ l = 26 ] सेमी

इसलिए, तिर्यक ऊँचाई 26 सेमी है, जो विकल्प 3 के अनुसार सही है।

अन्य विकल्पों की गलतियाँ:

1. विकल्प 1 (22 सेमी): यह तिर्यक ऊँचाई के लिए गणना के अनुसार सही नहीं है।
2. विकल्प 2 (24 सेमी): यह ऊँचाई है, न कि तिर्यक ऊँचाई।
3. विकल्प 4 (28 सेमी): यह तिर्यक ऊँचाई के लिए गणना के अनुसार सही नहीं है।

इस प्रकार, विकल्प 3 (26 सेमी) सही उत्तर है।

To determine how much the water level in the cylindrical tank decreases when 11 liters of water is removed, we need to calculate the change in height of the water column.

1. Volume of Water Removed:
   The volume of water removed is given as 11 liters. Since 1 liter is equivalent to 1000 cubic centimeters (cm³), 11 liters is equal to 11,000 cm³.

2. Dimensions of the Cylinder:
   The diameter of the cylindrical tank is 35 cm, which means the radius ( r ) is half of the diameter:
   [ r = \frac{35}{2} = 17.5 \text{ cm} ]

3. Formula for Volume of a Cylinder:
   The volume ( V ) of a cylinder is given by the formula:
   [ V = \pi r^2 h ]
   where ( r ) is the radius and ( h ) is the height.

4. Calculate the Decrease in Height:
   We need to find the decrease in height ( \Delta h ) when 11,000 cm³ of water is removed. Using the formula for volume:
   [ 11,000 = \pi (17.5)^2 \Delta h ]
   Solving for ( \Delta h ):
   [ \Delta h = \frac{11,000}{\pi (17.5)^2} ]

5. Perform the Calculation:
   [ \Delta h = \frac{11,000}{3.14159 \times 306.25} ]
   [ \Delta h = \frac{11,000}{962.1125} ]
   [ \Delta h \approx 11.428 \text{ cm} ]

Thus, the level of the tank decreases by approximately 11.428 cm when 11 liters of water is removed. Therefore, Option 3 is the correct answer.

Explanation for Incorrect Options:

• Option 1 (9.428 cm): This value is too low. The calculation shows that the decrease in height is greater than 9.428 cm, as derived from the volume formula.

• Option 2 (10.428 cm): This value is also too low. The precise calculation indicates a decrease of approximately 11.428 cm, which is more than 10.428 cm.

• Option 4 (12.428 cm): This value is too high. The calculated decrease in height is approximately 11.428 cm, which is less than 12.428 cm.

In conclusion, the correct decrease in the water level is 11.428 cm, making Option 3 the correct choice.

समाधान:

बेलनाकार टंकी की विशेषताएँ:

• व्यास = 35 सेमी
• त्रिज्या (r) = व्यास/2 = 35/2 = 17.5 सेमी

बेलन का आयतन (V) = πr²h, जहाँ h बेलन की ऊँचाई है।

जब 11 लीटर पानी निकाल लिया जाता है, तो हमें यह पता करना है कि टंकी का स्तर कितना कम हो जाएगा। 1 लीटर = 1000 घन सेमी होता है, इसलिए 11 लीटर = 11000 घन सेमी।

अब, हम यह पता करेंगे कि 11000 घन सेमी पानी निकालने पर ऊँचाई (h) में कितना परिवर्तन होगा:

11000 = π × (17.5)² × h

h = 11000 / (π × (17.5)²)

π का मान लगभग 3.14159 होता है। अब हम h की गणना करते हैं:

h = 11000 / (3.14159 × 306.25)

h ≈ 11.428 सेमी

इसलिए, जब 11 लीटर पानी निकाल लिया जाता है, तो टंकी का स्तर लगभग 11.428 सेमी कम हो जाएगा। इस प्रकार, सही उत्तर विकल्प 3 है।

अन्य विकल्पों का विश्लेषण:

1. 9.428 सेमी: यह विकल्प गलत है क्योंकि गणना के अनुसार, स्तर में कमी 11.428 सेमी है, जो इस विकल्प से अधिक है।
2. 10.428 सेमी: यह विकल्प भी गलत है क्योंकि यह सही गणना से कम है।
3. 12.428 सेमी: यह विकल्प भी गलत है क्योंकि यह सही गणना से अधिक है।

इस प्रकार, सही उत्तर विकल्प 3 (11.428 सेमी) है।

To determine the volume of iron used in making the hollow cylindrical tube, we need to calculate the volume of the material that forms the tube. This involves finding the difference between the volume of the outer cylinder and the volume of the inner cylinder.

1. Calculate the volume of the outer cylinder:

   • The outer diameter is 8 cm, so the outer radius (R) is 8/2 = 4 cm.
   • The height (h) of the cylinder is 20 cm.
   • The formula for the volume of a cylinder is ( V = \pi R^2 h ).
   • Therefore, the volume of the outer cylinder is:
     [
     V_{\text{outer}} = \pi \times 4^2 \times 20 = \pi \times 16 \times 20 = 320\pi , \text{cm}^3
     ]

2. Calculate the volume of the inner cylinder:

   • The inner diameter is 6 cm, so the inner radius (r) is 6/2 = 3 cm.
   • The height (h) remains the same at 20 cm.
   • The volume of the inner cylinder is:
     [
     V_{\text{inner}} = \pi \times 3^2 \times 20 = \pi \times 9 \times 20 = 180\pi , \text{cm}^3
     ]

3. Calculate the volume of iron used:

   • The volume of iron used is the difference between the outer and inner volumes:
     [
     V_{\text{iron}} = V_{\text{outer}} - V_{\text{inner}} = 320\pi - 180\pi = 140\pi , \text{cm}^3
     ]
   • Approximating (\pi) as 3.14, we get:
     [
     V_{\text{iron}} = 140 \times 3.14 = 439.6 , \text{cm}^3
     ]
   • Rounding 439.6 to the nearest whole number gives us 440 cm(^3).

Therefore, the volume of iron used in making the tube is approximately 440 cm(^3), which corresponds to Option 1.

Explanation for Incorrect Options:

• Option 2 (880 cm(^3)): This option is incorrect because it overestimates the volume of iron used. The calculation clearly shows that the volume difference between the outer and inner cylinders is much less than 880 cm(^3).

• Option 3 (1760 cm(^3)): This option is incorrect as it is significantly higher than the calculated volume. It likely represents a misunderstanding or miscalculation of the cylinder volumes.

• Option 4 (240 cm(^3)): This option is incorrect because it underestimates the volume of iron used. The calculated volume of 440 cm(^3) is nearly double this value, indicating that 240 cm(^3) is not sufficient to account for the material used.

In conclusion, the correct answer is Option 1, as it accurately reflects the calculated volume of iron used in making the hollow cylindrical tube.

इस प्रश्न में हमें एक खोखली बेलनाकार ट्यूब के आयतन की गणना करनी है, जो लोहे से बनी है। ट्यूब का बाहरी व्यास 8 सेमी और आन्तरिक व्यास 6 सेमी है, और इसकी लम्बाई 20 सेमी है। हमें ट्यूब बनाने में प्रयुक्त लोहे का आयतन निकालना है।

बेलनाकार ट्यूब के आयतन की गणना के लिए हमें बाहरी बेलन और आन्तरिक बेलन के आयतनों का अंतर निकालना होगा।

1. बाहरी बेलन का आयतन:

   • बाहरी व्यास = 8 सेमी, तो बाहरी त्रिज्या = 8/2 = 4 सेमी
   • आयतन = π * (बाहरी त्रिज्या)^2 * ऊँचाई
   • आयतन = π * (4)^2 * 20 = 320π घन सेमी

2. आन्तरिक बेलन का आयतन:

   • आन्तरिक व्यास = 6 सेमी, तो आन्तरिक त्रिज्या = 6/2 = 3 सेमी
   • आयतन = π * (आन्तरिक त्रिज्या)^2 * ऊँचाई
   • आयतन = π * (3)^2 * 20 = 180π घन सेमी

3. ट्यूब में प्रयुक्त लोहे का आयतन:

   • आयतन = बाहरी बेलन का आयतन - आन्तरिक बेलन का आयतन
   • आयतन = 320π - 180π = 140π घन सेमी

π का मान 22/7 मानकर:

• आयतन = 140 * 22/7 = 440 घन सेमी

इस प्रकार, ट्यूब बनाने में प्रयुक्त लोहे का आयतन 440 घन सेमी है, जो विकल्प 1 के अनुसार सही है।

अन्य विकल्पों की गलतियाँ:
2. 880 घन सेमी: यह आयतन गलत है क्योंकि यह बाहरी और आन्तरिक बेलन के आयतनों के अंतर के अनुसार नहीं है।
3. 1760 घन सेमी: यह आयतन भी गलत है क्योंकि यह गणना के अनुसार बहुत अधिक है।
4. 240 घन सेमी: यह आयतन भी गलत है क्योंकि यह गणना के अनुसार बहुत कम है।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 1 है: 440 घन सेमी।

To determine the volume of the cylinder, we need to use the given information about the cylinder's dimensions and surface area. Let's break down the problem step by step:

1. Given Information:

   • The sum of the radius (r) and height (h) of the cylinder is 20 cm:
     [
     r + h = 20
     ]
   • The total surface area of the cylinder is 880 square cm. The formula for the total surface area of a cylinder is:
     [
     2\pi r (r + h) = 880
     ]

2. Substitute the Sum of Radius and Height:

   • From the equation ( r + h = 20 ), substitute into the surface area formula:
     [
     2\pi r \times 20 = 880
     ]
   • Simplify to find the radius:
     [
     40\pi r = 880
     ]
     [
     r = \frac{880}{40\pi} = \frac{22}{\pi}
     ]

3. Calculate the Height:

   • Using ( r + h = 20 ) and ( r = \frac{22}{\pi} ):
     [
     \frac{22}{\pi} + h = 20
     ]
     [
     h = 20 - \frac{22}{\pi}
     ]

4. Calculate the Volume:

   • The formula for the volume of a cylinder is:
     [
     V = \pi r^2 h
     ]
   • Substitute ( r = \frac{22}{\pi} ) and ( h = 20 - \frac{22}{\pi} ):
     [
     V = \pi \left(\frac{22}{\pi}\right)^2 \left(20 - \frac{22}{\pi}\right)
     ]
   • Simplify:
     [
     V = \frac{484}{\pi^2} \times \left(20 - \frac{22}{\pi}\right)
     ]
     [
     V = \frac{484}{\pi^2} \times \left(\frac{20\pi - 22}{\pi}\right)
     ]
     [
     V = \frac{484 \times (20\pi - 22)}{\pi^3}
     ]
   • After calculating, this results in approximately 2002 cm(^3).

5. Conclusion:

   • The calculated volume of the cylinder is approximately 2002 cm(^3), which matches Option 3.

Explanation for Incorrect Options:

• Option 1 (1760 cm(^3)): This value is lower than the calculated volume. The calculations based on the given surface area and dimensions do not support this volume.

• Option 2 (8800 cm(^3)): This value is significantly higher than the calculated volume. The dimensions and surface area constraints do not allow for such a large volume.

• Option 4 (4804 cm(^3)): This value is also higher than the calculated volume. The constraints of the problem do not support this volume.

Thus, Option 3 is the correct answer, as it aligns with the calculations based on the given conditions.

समस्या में दिए गए ठोस बेलन की त्रिज्या ( r ) और ऊँचाई ( h ) का योगफल 20 सेमी है, अर्थात् ( r + h = 20 ) सेमी। इसके अलावा, बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 880 वर्ग सेमी है। कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र है:

[ 2\pi r (r + h) = 880 ]

अब, ( r + h = 20 ) को उपरोक्त सूत्र में डालते हैं:

[ 2\pi r \times 20 = 880 ]

[ 40\pi r = 880 ]

[ r = \frac{880}{40\pi} ]

[ r = \frac{22}{\pi} ]

अब, ( h = 20 - r ) है। तो,

[ h = 20 - \frac{22}{\pi} ]

अब, बेलन का आयतन ( V ) होता है:

[ V = \pi r^2 h ]

[ V = \pi \left(\frac{22}{\pi}\right)^2 \left(20 - \frac{22}{\pi}\right) ]

[ V = \pi \times \frac{484}{\pi^2} \times \left(20 - \frac{22}{\pi}\right) ]

[ V = \frac{484}{\pi} \times \left(20 - \frac{22}{\pi}\right) ]

[ V = \frac{484}{\pi} \times \left(\frac{20\pi - 22}{\pi}\right) ]

[ V = \frac{484 \times (20\pi - 22)}{\pi^2} ]

[ V = \frac{9680\pi - 10648}{\pi^2} ]

[ V = \frac{9680\pi - 10648}{\pi^2} ]

जब आप इस गणना को हल करते हैं, तो आपको आयतन लगभग 2002 घन सेमी मिलता है, जो विकल्प 3 के साथ मेल खाता है।

अन्य विकल्पों की गलतियाँ:

1. विकल्प 1 (1760 घन सेमी): यह आयतन गणना के अनुसार नहीं आता है।
2. विकल्प 2 (8800 घन सेमी): यह आयतन बहुत अधिक है और गणना के अनुसार नहीं आता है।
3. विकल्प 4 (4804 घन सेमी): यह आयतन भी बहुत अधिक है और गणना के अनुसार नहीं आता है।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 3 (2002 घन सेमी) है।