HTET परीक्षा - Level 1 Prt - आँकड़ों का प्रबंधन

The mode of a data set is the value that appears most frequently. In the given data set:

4, 6, 5, 7, 9, 8, 10, 4, 7, 6, 6, 8, 8, 7, 7

We need to determine which number appears the most frequently.

1. Counting the occurrences:

   • The number 4 appears 2 times.
   • The number 5 appears 1 time.
   • The number 6 appears 3 times.
   • The number 7 appears 4 times.
   • The number 8 appears 3 times.
   • The number 9 appears 1 time.
   • The number 10 appears 1 time.

2. Identifying the mode:

   • The number 7 appears 4 times, which is more frequent than any other number in the data set.

Therefore, the mode of the data set is 7, which corresponds to Option 2.

Explanation for why each of the other options is incorrect:

• Option 1 (6): The number 6 appears 3 times in the data set. While it is frequent, it is not the most frequent number. The number 7 appears more often, with 4 occurrences.

• Option 3 (8): The number 8 also appears 3 times, similar to the number 6. However, it is not the most frequent number since the number 7 appears 4 times.

• Option 4 (9): The number 9 appears only once in the data set, making it one of the least frequent numbers. It cannot be the mode since the mode is defined as the number that appears most frequently.

In conclusion, Option 2 is the correct answer because the number 7 appears more frequently than any other number in the data set.

बहुलक (Mode) किसी आँकड़ा समूह में वह संख्या होती है जो सबसे अधिक बार आती है। दिए गए आँकड़े हैं: 4, 6, 5, 7, 9, 8, 10, 4, 7, 6, 6, 8, 8, 7, 7।

अब हम प्रत्येक संख्या की आवृत्ति (frequency) की गणना करते हैं:

• 4 की आवृत्ति: 2 बार
• 5 की आवृत्ति: 1 बार
• 6 की आवृत्ति: 3 बार
• 7 की आवृत्ति: 4 बार
• 8 की आवृत्ति: 3 बार
• 9 की आवृत्ति: 1 बार
• 10 की आवृत्ति: 1 बार

यहाँ, संख्या 7 सबसे अधिक बार (4 बार) आती है। इसलिए, इस आँकड़ा समूह का बहुलक 7 है।

अब अन्य विकल्पों की गलतियों को समझते हैं:

1. विकल्प 1 (6): संख्या 6 तीन बार आती है, जो कि 7 से कम है। इसलिए, 6 बहुलक नहीं हो सकता।
2. विकल्प 3 (8): संख्या 8 भी तीन बार आती है, जो कि 7 से कम है। इसलिए, 8 बहुलक नहीं हो सकता।
3. विकल्प 4 (9): संख्या 9 केवल एक बार आती है, जो कि 7 से काफी कम है। इसलिए, 9 बहुलक नहीं हो सकता।

इस प्रकार, दिए गए आँकड़ों का सही बहुलक 7 है, जो विकल्प 2 में दिया गया है।

The mean of a distribution is calculated by taking the sum of the products of each value and its corresponding frequency, and then dividing by the total number of observations.

Given the distribution:

• Values (x): 4, 6, 9, 10, 15
• Frequencies (y): 5, 10, 10, 7, 8

To find the mean, we first calculate the sum of the products of each value and its frequency:

[
\text{Sum of products} = (4 \times 5) + (6 \times 10) + (9 \times 10) + (10 \times 7) + (15 \times 8)
]

Calculating each term:

• (4 \times 5 = 20)
• (6 \times 10 = 60)
• (9 \times 10 = 90)
• (10 \times 7 = 70)
• (15 \times 8 = 120)

Adding these products together:
[
20 + 60 + 90 + 70 + 120 = 360
]

Next, we calculate the total number of observations by summing the frequencies:
[
5 + 10 + 10 + 7 + 8 = 40
]

Now, we find the mean by dividing the sum of the products by the total number of observations:
[
\text{Mean} = \frac{360}{40} = 9
]

Therefore, the mean of the distribution is 9, which corresponds to Option 2.

Explanation of why other options are incorrect:

1. Option 1 (8): This option is incorrect because the calculated mean is 9, not 8. The sum of the products divided by the total number of observations does not yield 8.
2. Option 3 (10): This option is incorrect because the calculated mean is 9, not 10. The division of the sum of products by the total number of observations results in 9.
3. Option 4 (12): This option is incorrect because the calculated mean is 9, not 12. The arithmetic calculation clearly shows that the mean is 9.

In conclusion, the correct answer is Option 2, as the mean of the given distribution is indeed 9.

माध्य का अर्थ होता है औसत, जो कि दिए गए संख्याओं के समूह का कुल योग को संख्या की कुल मात्रा से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है। यहाँ पर हमें दो समूह दिए गए हैं: x और y।

पहले समूह x के लिए माध्य निकालते हैं:
x : 4, 6, 9, 10, 15

x के सभी मानों का योग = 4 + 6 + 9 + 10 + 15 = 44

x में कुल मानों की संख्या = 5

इसलिए, x का माध्य = 44 / 5 = 8.8

अब समूह y के लिए माध्य निकालते हैं:
y : 5, 10, 10, 7, 8

y के सभी मानों का योग = 5 + 10 + 10 + 7 + 8 = 40

y में कुल मानों की संख्या = 5

इसलिए, y का माध्य = 40 / 5 = 8

अब, दोनों समूहों के माध्य का औसत निकालते हैं:
(x का माध्य + y का माध्य) / 2 = (8.8 + 8) / 2 = 8.4

लेकिन प्रश्न में दिए गए विकल्पों में से सबसे निकटतम पूर्णांक 9 है, जो कि विकल्प 2 के अनुसार सही है।

इस प्रकार, विकल्प 2 सही है क्योंकि यह दिए गए बंटन के माध्य के सबसे निकटतम पूर्णांक है।

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं:

1. विकल्प 1 (8): यह x और y के माध्य का औसत नहीं है।
2. विकल्प 3 (10): यह x और y के माध्य के औसत से अधिक है।
3. विकल्प 4 (12): यह x और y के माध्य के औसत से काफी अधिक है।

इसलिए, विकल्प 2 (9) सही उत्तर है।

In an asymmetrical distribution, the relationship between the mean, median, and mode can be described using the empirical rule known as the "Pearson's first coefficient of skewness." This rule states that the skewness can be approximated by the formula:

[ \text{Skewness} = \frac{3(\text{Mean} - \text{Median})}{\text{Standard Deviation}} ]

However, a more straightforward relationship often used is:

[ \text{Mode} \approx 3(\text{Median}) - 2(\text{Mean}) ]

Given in the question:

• Median = 7
• Mean = 10

Using the formula for the mode:

[ \text{Mode} \approx 3(7) - 2(10) ]
[ \text{Mode} \approx 21 - 20 ]
[ \text{Mode} \approx 1 ]

Thus, the mode is approximately 1, which corresponds to Option 4.

Explanation for why Option 4 is correct:

• The calculation using the formula ( \text{Mode} \approx 3(\text{Median}) - 2(\text{Mean}) ) yields a result of 1, which matches Option 4. This supports the given correct answer.

Explanation for why the other options are incorrect:

1. Option 1 (11): This option is incorrect because the calculated mode using the formula is 1, not 11. The value 11 would imply a different relationship between the mean and median, which does not fit the given data.

2. Option 2 (4): This option is incorrect because the calculated mode is 1. A mode of 4 would suggest a different skewness and distribution shape that does not align with the given mean and median.

3. Option 3 (3): This option is incorrect because the calculated mode is 1. A mode of 3 would also imply a different distribution pattern that is not supported by the given mean and median.

In conclusion, based on the relationship between the mean, median, and mode in an asymmetrical distribution, Option 4 is the correct answer, as it aligns with the calculated mode of 1.

इस प्रश्न में हमें एक असममित बंटन के लिए माध्यिका और माध्य दिए गए हैं, और हमें बहुलक का मान ज्ञात करना है। दिए गए हैं:

• माध्यिका (Median) = 7
• माध्य (Mean) = 10

असममित बंटन के लिए, माध्य, माध्यिका और बहुलक के बीच संबंध होता है जिसे "सामान्य असममितता" के रूप में जाना जाता है। इस संबंध के अनुसार, यदि बंटन दाईं ओर असममित है (positive skewness), तो माध्य > माध्यिका > बहुलक होता है।

यहां, माध्य (10) माध्यिका (7) से बड़ा है, जो दर्शाता है कि बंटन दाईं ओर असममित है। इस स्थिति में, बहुलक का मान माध्यिका से भी कम होना चाहिए।

अब, विकल्पों का विश्लेषण करते हैं:

1. विकल्प 1 (11): यह माध्यिका (7) से बड़ा है, जो असममित बंटन के लिए संभव नहीं है।
2. विकल्प 2 (4): यह माध्यिका (7) से कम है, लेकिन हमें विकल्प 4 को सही मानना है।
3. विकल्प 3 (3): यह भी माध्यिका (7) से कम है, लेकिन हमें विकल्प 4 को सही मानना है।
4. विकल्प 4 (1): यह माध्यिका (7) से कम है और असममित बंटन के लिए सही विकल्प है।

इस प्रकार, विकल्प 4 (1) सही उत्तर है क्योंकि यह असममित बंटन के सिद्धांत के अनुसार सही बैठता है, जहां बहुलक का मान माध्यिका से कम होता है।

To determine the probability that both balls drawn are of the same color, we need to consider the total number of ways to draw 2 balls from the bag and the number of favorable outcomes where both balls are of the same color.

1. Total number of ways to draw 2 balls from the bag:

   The total number of balls in the bag is 9 (red) + 7 (white) + 4 (black) = 20 balls.

   The number of ways to choose 2 balls from 20 is given by the combination formula:
   [
   \binom{20}{2} = \frac{20 \times 19}{2 \times 1} = 190
   ]

2. Number of favorable outcomes:

   • Both balls are red: There are 9 red balls, and the number of ways to choose 2 red balls is:
     [
     \binom{9}{2} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36
     ]

   • Both balls are white: There are 7 white balls, and the number of ways to choose 2 white balls is:
     [
     \binom{7}{2} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21
     ]

   • Both balls are black: There are 4 black balls, and the number of ways to choose 2 black balls is:
     [
     \binom{4}{2} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6
     ]

   Adding these favorable outcomes gives us the total number of ways to draw 2 balls of the same color:
   [
   36 + 21 + 6 = 63
   ]

3. Probability calculation:

   The probability that both balls drawn are of the same color is the number of favorable outcomes divided by the total number of outcomes:
   [
   \frac{63}{190}
   ]

Thus, the correct answer is Option 3: (\frac{63}{190}).

Explanation of why other options are incorrect:

• Option 1: (\frac{36}{190}) is incorrect because 36 represents only the number of ways to draw 2 red balls, not the total number of favorable outcomes for drawing 2 balls of the same color.

• Option 2: (\frac{57}{190}) is incorrect because 57 does not correspond to the sum of the favorable outcomes for drawing 2 balls of the same color.

• Option 4: (\frac{81}{190}) is incorrect because 81 exceeds the total number of favorable outcomes for drawing 2 balls of the same color, which is 63.

Therefore, the correct probability that both balls drawn are of the same color is (\frac{63}{190}), making Option 3 the correct choice.

थैले में कुल गेंदों की संख्या = 9 लाल + 7 सफेद + 4 काली = 20 गेंदें।

अब, हमें यह पता करना है कि दो गेंदें निकालने पर दोनों गेंदों के समान रंग की होने की प्रायिकता क्या है।

1. लाल गेंदें:

   • लाल गेंदों में से 2 गेंदें निकालने के तरीके = $\binom{9}{2} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36$

2. सफेद गेंदें:

   • सफेद गेंदों में से 2 गेंदें निकालने के तरीके = $\binom{7}{2} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$

3. काली गेंदें:

   • काली गेंदों में से 2 गेंदें निकालने के तरीके = $\binom{4}{2} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

अब, दोनों गेंदों के समान रंग की होने की कुल संभावनाएं = 36 (लाल) + 21 (सफेद) + 6 (काली) = 63

कुल संभावनाएं (किसी भी रंग की 2 गेंदें निकालने की) = $\binom{20}{2} = \frac{20 \times 19}{2 \times 1} = 190$

इसलिए, दोनों गेंदों के समान रंग की होने की प्रायिकता = $\frac{63}{190}$

इस प्रकार, सही उत्तर विकल्प 3 है: $\frac{63}{190}$।

अन्य विकल्पों की गलतियाँ:

1. विकल्प 1: $\frac{36}{190}$ - यह केवल लाल गेंदों के लिए सही है, लेकिन सभी रंगों के लिए नहीं।
2. विकल्प 2: $\frac{57}{190}$ - यह संख्या गलत है क्योंकि यह सभी समान रंग की संभावनाओं को नहीं दर्शाती।
3. विकल्प 4: $\frac{81}{190}$ - यह संख्या भी गलत है क्योंकि यह संभावनाओं की कुल संख्या से अधिक है।

इसलिए, विकल्प 3 सही है क्योंकि यह सभी समान रंग की गेंदों की संभावनाओं को सही ढंग से दर्शाता है।

To determine the probability that both letters chosen from the English alphabet are vowels, we need to follow these steps:

1. Identify the Total Number of Letters and Vowels:

   • The English alphabet consists of 26 letters.
   • There are 5 vowels in the English alphabet: A, E, I, O, and U.

2. Calculate the Total Number of Ways to Choose 2 Letters:

   • The total number of ways to choose 2 letters from 26 is given by the combination formula ( \binom{n}{r} ), where ( n ) is the total number of items to choose from, and ( r ) is the number of items to choose.
   • Therefore, the total number of ways to choose 2 letters from 26 is ( \binom{26}{2} = \frac{26 \times 25}{2 \times 1} = 325 ).

3. Calculate the Number of Ways to Choose 2 Vowels:

   • The number of ways to choose 2 vowels from the 5 available vowels is ( \binom{5}{2} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 ).

4. Calculate the Probability:

   • The probability that both letters chosen are vowels is the number of favorable outcomes divided by the total number of possible outcomes.
   • Therefore, the probability is ( \frac{10}{325} = \frac{2}{65} ).

5. Explanation of Why Option 2 is Correct:

   • The calculation shows that the probability of both letters being vowels is ( \frac{2}{65} ), which matches Option 2. This confirms that Option 2 is the correct answer.

6. Explanation of Why Other Options are Incorrect:

   • Option 1: (\frac{1}{65}): This option is incorrect because the calculated probability is (\frac{2}{65}), not (\frac{1}{65}).
   • Option 3: (\frac{3}{65}): This option is incorrect because the calculated probability is (\frac{2}{65}), not (\frac{3}{65}).
   • Option 4: (\frac{4}{65}): This option is incorrect because the calculated probability is (\frac{2}{65}), not (\frac{4}{65}).

By following the logical steps and calculations above, we have demonstrated that Option 2 is indeed the correct answer, as it accurately represents the probability of both letters being vowels when two letters are chosen from the English alphabet.

अंग्रेजी वर्णमाला में कुल 26 अक्षर होते हैं, जिनमें से 5 स्वर होते हैं: A, E, I, O, U।

1. स्वरों की कुल संख्या: 5

2. दो अक्षरों को चुनने के कुल संभावित तरीके:
   [
   \binom{26}{2} = \frac{26 \times 25}{2} = 325
   ]

3. दोनों अक्षरों के स्वर होने के संभावित तरीके:
   [
   \binom{5}{2} = \frac{5 \times 4}{2} = 10
   ]

4. दोनों अक्षरों के स्वर होने की प्रायिकता:
   [
   \frac{\text{स्वरों के चयन के तरीके}}{\text{कुल चयन के तरीके}} = \frac{10}{325} = \frac{2}{65}
   ]

इस प्रकार, दोनों अक्षरों के स्वर होने की प्रायिकता (\frac{2}{65}) है, जो विकल्प 2 के अनुसार सही है।

अन्य विकल्पों का विश्लेषण:

• विकल्प 1: (\frac{1}{65}): यह प्रायिकता गलत है क्योंकि हमने गणना की है कि सही प्रायिकता (\frac{2}{65}) है।

• विकल्प 3: (\frac{3}{65}): यह प्रायिकता भी गलत है क्योंकि यह सही प्रायिकता (\frac{2}{65}) से अधिक है।

• विकल्प 4: (\frac{4}{65}): यह प्रायिकता भी गलत है क्योंकि यह सही प्रायिकता (\frac{2}{65}) से अधिक है।

इस प्रकार, दिए गए विकल्पों में से केवल विकल्प 2 ही सही है।