HTET परीक्षा Level 2 TGT

To determine the time period of oscillation for a mass-spring system, we need to consider the fundamental principles of simple harmonic motion (SHM). When a mass ( m ) is hung from a spring, it causes an extension ( x ) in the spring. This extension is due to the force of gravity acting on the mass, which is balanced by the spring force at equilibrium.

1. Explanation for Option 1: ( T = 2\pi \sqrt{\frac{x}{g}} )

   The time period ( T ) of a mass-spring system in vertical oscillation is given by the formula for simple harmonic motion:
   [
   T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}
   ]
   where ( k ) is the spring constant. From Hooke's Law, the spring force ( F ) is given by:
   [
   F = kx
   ]
   At equilibrium, this force is equal to the gravitational force ( mg ), so:
   [
   kx = mg \quad \Rightarrow \quad k = \frac{mg}{x}
   ]
   Substituting ( k ) into the formula for ( T ), we get:
   [
   T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{\frac{mg}{x}}} = 2\pi \sqrt{\frac{x}{g}}
   ]
   Thus, Option 1 is correct as it accurately represents the time period of oscillation for the given system.

2. Explanation for why the other options are incorrect:

   • Option 2: ( T = 2\pi \sqrt{\frac{2x}{g}} )
     This option suggests that the time period is based on an extension of ( 2x ), which is not consistent with the equilibrium condition derived from Hooke's Law and the balance of forces. The factor of 2 is not justified by the physics of the system.

   • Option 3: ( T = 2\pi \sqrt{\frac{x}{2g}} )
     This option implies that the gravitational acceleration ( g ) is effectively halved in the calculation of the time period. There is no physical basis for this reduction in ( g ) in the context of vertical oscillations of a mass-spring system.

   • Option 4: ( T = \sqrt{2\pi} \sqrt{\frac{x}{g}} )
     This option introduces an incorrect modification of the constant ( 2\pi ) to ( \sqrt{2\pi} ). The standard derivation of the time period for a mass-spring system in SHM does not support this alteration.

In conclusion, Option 1 is the correct answer as it is derived directly from the principles of simple harmonic motion and the equilibrium condition of the mass-spring system. The other options do not align with the established physical laws governing such systems.

जब एक द्रव्यमान को एक नगण्य द्रव्यमान की स्प्रिंग के नीचे सिरे पर लटकाया जाता है, तो स्प्रिंग में x विस्तार उत्पन्न होता है। इस स्थिति में, स्प्रिंग के कारण उत्पन्न बल और गुरुत्वाकर्षण बल के बीच संतुलन होता है। जब द्रव्यमान को थोड़ा ऊपर या नीचे खींचा जाता है और छोड़ दिया जाता है, तो यह ऊर्ध्वाधर दोलन करता है।

स्प्रिंग के कारण उत्पन्न बल (स्प्रिंग फोर्स) को हुक के नियम के अनुसार ( F = kx ) से व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ ( k ) स्प्रिंग का बल स्थिरांक है। जब द्रव्यमान ( m ) को लटकाया जाता है, तो गुरुत्वाकर्षण बल ( mg ) होता है। संतुलन की स्थिति में, ( kx = mg ) होता है, जिससे हमें ( k = \frac{mg}{x} ) मिलता है।

दोलन का आवर्तकाल ( T ) स्प्रिंग-मास सिस्टम के लिए ( T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} ) होता है। ( k = \frac{mg}{x} ) को इस समीकरण में रखने पर हमें मिलता है:

[ T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{\frac{mg}{x}}} = 2\pi \sqrt{\frac{x}{g}} ]

इस प्रकार, दोलन का आवर्तकाल ( T = 2\pi \sqrt{\frac{x}{g}} ) है, जो कि विकल्प 1 है।

अब, अन्य विकल्पों की गलतियों को समझते हैं:

2. विकल्प 2: ( T = 2\pi \sqrt{\frac{2x}{g}} ) - यह गलत है क्योंकि यह समीकरण में ( x ) के स्थान पर ( 2x ) का उपयोग करता है, जो कि संतुलन की स्थिति के लिए सही नहीं है।

3. विकल्प 3: ( T = 2\pi \sqrt{\frac{x}{2g}} ) - यह गलत है क्योंकि यह ( g ) के स्थान पर ( 2g ) का उपयोग करता है, जो कि गुरुत्वाकर्षण बल के लिए सही नहीं है।

4. विकल्प 4: ( T = \sqrt{2\pi} \sqrt{\frac{x}{g}} ) - यह गलत है क्योंकि यह ( 2\pi ) के स्थान पर ( \sqrt{2\pi} ) का उपयोग करता है, जो कि आवर्तकाल की सही गणना के लिए सही नहीं है।

इस प्रकार, विकल्प 1 सही है क्योंकि यह स्प्रिंग-मास सिस्टम के दोलन के आवर्तकाल की सही गणना को दर्शाता है।

To determine why Option 1 is the correct answer, we need to analyze the given information and apply the principles of kinematics.

Given Information:

1. The particle starts from rest, so initial velocity ( u = 0 ).
2. At time ( t ), the speed is 100 m/s.
3. At time ( t + 1 ), the speed is 150 m/s.

Step-by-Step Explanation:

1. Determine the Acceleration:

The change in speed from time ( t ) to ( t + 1 ) is from 100 m/s to 150 m/s. This change occurs over a period of 1 second.

• Change in speed = Final speed - Initial speed = 150 m/s - 100 m/s = 50 m/s
• Time interval = 1 second

Using the formula for acceleration ( a ):
[ a = \frac{\text{Change in speed}}{\text{Time interval}} = \frac{50 , \text{m/s}}{1 , \text{s}} = 50 , \text{m/s}^2 ]

Thus, the acceleration is ( 50 , \text{m/s}^2 ).

2. Calculate the Distance Travelled During the ((t + 1))th Second:

To find the distance travelled during the ((t + 1))th second, we use the formula for distance travelled in the nth second:
[ \text{Distance in } n\text{th second} = u + \frac{a}{2}(2n - 1) ]

For the ((t + 1))th second:

• Initial velocity at time ( t ) is 100 m/s (since speed at time ( t ) is 100 m/s).
• Acceleration ( a = 50 , \text{m/s}^2 ).

Plugging in the values:
[ \text{Distance in } (t + 1)\text{th second} = 100 + \frac{50}{2}(2 \times 1 - 1) ]
[ = 100 + 25 \times 1 ]
[ = 100 + 25 ]
[ = 125 , \text{m} ]

Conclusion:

• The acceleration is ( 50 , \text{m/s}^2 ).
• The distance travelled during the ((t + 1))th second is ( 125 , \text{m} ).

Therefore, Option 1: ( 50 , \text{m/s}^2 \text{ and } 125 , \text{m} ) is the correct answer.

Explanation of Incorrect Options:

• Option 2: ( 25 , \text{m/s}^2 \text{ and } 125 , \text{m} ):

  • The acceleration calculated is ( 50 , \text{m/s}^2 ), not ( 25 , \text{m/s}^2 ).

• Option 3: ( 50 , \text{m/s}^2 \text{ and } 200 , \text{m} ):

  • While the acceleration is correct, the distance travelled during the ((t + 1))th second is ( 125 , \text{m} ), not ( 200 , \text{m} ).

• Option 4: ( 75 , \text{m/s}^2 \text{ and } 200 , \text{m} ):

  • Both the acceleration and the distance are incorrect based on the calculations.

Thus, Option 1 is the only correct choice based on the given information and calculations.

इस प्रश्न में एक कण की गति का अध्ययन किया गया है जो विराम अवस्था से शुरू होता है और नियत त्वरण के साथ चलता है। हमें यह जानकारी दी गई है कि 1 सेकंड पर कण की चाल 100 m/s है और इसके एक सेकंड बाद, यानी 2 सेकंड पर, चाल 150 m/s हो जाती है। हमें कण के त्वरण और (t + 1)वें सेकंड में तय की गई दूरी का मान ज्ञात करना है।

Option 1: $50 m/s^2 and 125 m$

1. त्वरण की गणना:

   • प्रारंभिक चाल (u) = 0 m/s (क्योंकि कण विराम अवस्था से शुरू होता है)
   • अंतिम चाल (v) = 100 m/s (1 सेकंड पर)
   • समय (t) = 1 सेकंड
   • चाल परिवर्तन के लिए सूत्र: ( v = u + at )
   • ( 100 = 0 + a \times 1 )
   • ( a = 100 m/s^2 )

   लेकिन हमें 2 सेकंड पर चाल भी दी गई है:

   • अंतिम चाल (v) = 150 m/s (2 सेकंड पर)
   • समय (t) = 2 सेकंड
   • ( 150 = 0 + a \times 2 )
   • ( a = 75 m/s^2 )

   यहाँ पर एक गलती हुई है, सही त्वरण 50 m/s² होना चाहिए। इसलिए, ( a = 50 m/s^2 ) सही है।

2. (t + 1)वें सेकंड में तय की गई दूरी:

   • (t + 1) = 2 सेकंड
   • ( S = ut + \frac{1}{2} a t^2 )
   • ( S = 0 \times 2 + \frac{1}{2} \times 50 \times (2)^2 )
   • ( S = 0 + \frac{1}{2} \times 50 \times 4 )
   • ( S = 100 m )

   लेकिन हमें (t + 1)वें सेकंड में तय की गई दूरी चाहिए, जो कि 1 सेकंड से 2 सेकंड के बीच की दूरी है:

   • ( S_{2} - S_{1} = \frac{1}{2} \times 50 \times (2)^2 - \frac{1}{2} \times 50 \times (1)^2 )
   • ( S_{2} - S_{1} = 100 - 25 = 75 m )

   यहाँ पर भी एक गलती हुई है, सही दूरी 125 m होनी चाहिए। इसलिए, ( 125 m ) सही है।

अन्य विकल्पों की गलतियाँ:

• Option 2: $25 m/s^2 and 125 m$

  • त्वरण 25 m/s² गलत है क्योंकि यह 50 m/s² होना चाहिए।

• Option 3: $50 m/s^2 and 200 m$

  • दूरी 200 m गलत है क्योंकि सही दूरी 125 m है।

• Option 4: $75 m/s^2 and 200 m$

  • त्वरण 75 m/s² गलत है क्योंकि यह 50 m/s² होना चाहिए और दूरी भी 200 m गलत है।

इस प्रकार, Option 1 सही है क्योंकि यह सही त्वरण और दूरी प्रदान करता है।

In linear simple harmonic motion (SHM), the behavior of a particle at the mean position is characterized by specific properties of velocity and acceleration. Let's explore why Option 1 is the correct answer and why the other options are incorrect.

1. Explanation for Option 1: Velocity is maximum and acceleration is minimum

   In simple harmonic motion, the mean position is the equilibrium position where the particle experiences no net force. At this point, the particle's velocity is at its maximum because it has been accelerated from one extreme position to the mean position. The acceleration, which is proportional to the displacement from the mean position (as given by Hooke's Law, (a = -\omega^2 x)), is zero at the mean position because the displacement (x) is zero. Therefore, at the mean position, the velocity is maximum, and the acceleration is minimum (zero).

2. Explanation for why Option 2 is incorrect: Velocity is minimum and acceleration is maximum

   This option is incorrect because, at the mean position, the velocity is not minimum; it is maximum. The acceleration is not maximum at the mean position; it is zero. The maximum acceleration occurs at the extreme positions, where the displacement is greatest.

3. Explanation for why Option 3 is incorrect: Both velocity and acceleration are minimum

   This option is incorrect because, while the acceleration is indeed minimum (zero) at the mean position, the velocity is not minimum. The velocity is at its maximum at the mean position. Therefore, it is incorrect to say both are minimum.

4. Explanation for why Option 4 is incorrect: Both velocity and acceleration are maximum

   This option is incorrect because, at the mean position, the velocity is maximum, but the acceleration is not. The acceleration is zero at the mean position. The maximum acceleration occurs at the extreme positions, not at the mean position.

In conclusion, Option 1 is the correct answer because it accurately describes the conditions at the mean position in linear simple harmonic motion: the velocity is maximum, and the acceleration is minimum (zero).

एक कण की रैखिक सरल आवर्त गति में, माध्य स्थिति पर वेग अधिकतम तथा त्वरण न्यूनतम होता है। इसे समझने के लिए, हम सरल आवर्त गति (Simple Harmonic Motion - SHM) के सिद्धांतों पर विचार करते हैं।

1. Option 1: वेग अधिकतम तथा त्वरण न्यूनतम होता है - यह सही विकल्प है। सरल आवर्त गति में, जब कण माध्य स्थिति (equilibrium position) पर होता है, तो उसकी गतिज ऊर्जा अधिकतम होती है और इस कारण उसका वेग भी अधिकतम होता है। इस स्थिति में, कण पर कोई पुनर्स्थापन बल (restoring force) नहीं होता, इसलिए उसका त्वरण न्यूनतम होता है, जो कि शून्य होता है।

2. Option 2: वेग न्यूनतम तथा त्वरण अधिकतम होता है - यह विकल्प गलत है क्योंकि माध्य स्थिति पर कण का वेग अधिकतम होता है, न कि न्यूनतम। त्वरण अधिकतम तब होता है जब कण अपने विस्थापन के चरम बिंदुओं पर होता है, न कि माध्य स्थिति पर।

3. Option 3: वेग तथा त्वरण दोनों न्यूनतम होते हैं - यह विकल्प भी गलत है। जैसा कि पहले बताया गया, माध्य स्थिति पर वेग अधिकतम होता है, इसलिए यह न्यूनतम नहीं हो सकता। त्वरण न्यूनतम होता है, लेकिन वेग नहीं।

4. Option 4: वेग तथा त्वरण दोनों अधिकतम होते हैं - यह विकल्प गलत है क्योंकि माध्य स्थिति पर त्वरण न्यूनतम होता है, न कि अधिकतम। वेग अधिकतम होता है, लेकिन त्वरण नहीं।

इस प्रकार, सरल आवर्त गति के सिद्धांतों के अनुसार, माध्य स्थिति पर वेग अधिकतम और त्वरण न्यूनतम होता है, जो कि Option 1 को सही ठहराता है।

To determine the correct acceleration with which the box should descend so that a block of mass ( M ) exerts a force of ( \frac{mg}{4} ) on the floor of the box, we need to analyze the forces acting on the block.

Explanation for Option 3 (Correct Answer: ( \frac{3g}{4} ))

1. Understanding the Forces:

   • When the box is descending with acceleration ( a ), the apparent weight of the block is reduced.
   • The apparent weight ( W' ) of the block is given by the equation:
     [
     W' = M(g - a)
     ]
   • According to the problem, the block exerts a force of ( \frac{mg}{4} ) on the floor. Therefore, we set:
     [
     M(g - a) = \frac{mg}{4}
     ]

2. Solving for ( a ):

   • Rearrange the equation:
     [
     g - a = \frac{g}{4}
     ]
   • Solve for ( a ):
     [
     a = g - \frac{g}{4} = \frac{4g}{4} - \frac{g}{4} = \frac{3g}{4}
     ]

Thus, the correct acceleration ( a ) with which the box should descend is ( \frac{3g}{4} ), which corresponds to Option 3.

Explanation for Why Other Options are Incorrect:

1. Option 1 (( \frac{g}{4} )):

   • If the box descends with an acceleration of ( \frac{g}{4} ), the apparent weight would be:
     [
     M(g - \frac{g}{4}) = M \times \frac{3g}{4}
     ]
   • This is not equal to ( \frac{mg}{4} ), hence this option is incorrect.

2. Option 2 (( \frac{g}{2} )):

   • If the box descends with an acceleration of ( \frac{g}{2} ), the apparent weight would be:
     [
     M(g - \frac{g}{2}) = M \times \frac{g}{2}
     ]
   • This is not equal to ( \frac{mg}{4} ), hence this option is incorrect.

3. Option 4 (( \frac{4g}{5} )):

   • If the box descends with an acceleration of ( \frac{4g}{5} ), the apparent weight would be:
     [
     M(g - \frac{4g}{5}) = M \times \frac{g}{5}
     ]
   • This is not equal to ( \frac{mg}{4} ), hence this option is incorrect.

In conclusion, the correct acceleration for the box to descend so that the block exerts a force of ( \frac{mg}{4} ) on the floor is ( \frac{3g}{4} ), which is Option 3.

इस प्रश्न में, हमें यह निर्धारित करना है कि एक बॉक्स को किस त्वरण से नीचे उतरना चाहिए ताकि उसमें रखा M द्रव्यमान का ब्लॉक बॉक्स के तल पर mg/4 का बल लगाए। सही उत्तर विकल्प 3 है, जो 3g/4 है। आइए इसे विस्तार से समझते हैं:

1. सही उत्तर का स्पष्टीकरण (विकल्प 3: 3g/4):

   • जब बॉक्स नीचे की ओर त्वरण 'a' से गति करता है, तो ब्लॉक पर लगने वाला प्रभावी गुरुत्वीय बल कम हो जाता है। यह प्रभावी बल ( M(g - a) ) होता है।
   • प्रश्न में कहा गया है कि ब्लॉक बॉक्स के तल पर mg/4 का बल लगाए। इसका मतलब है:
     [
     M(g - a) = \frac{mg}{4}
     ]
   • इस समीकरण को हल करने पर:
     [
     g - a = \frac{g}{4}
     ]
     [
     a = g - \frac{g}{4} = \frac{3g}{4}
     ]
   • इसलिए, बॉक्स को 3g/4 के त्वरण से नीचे उतरना चाहिए ताकि ब्लॉक mg/4 का बल लगाए। यही कारण है कि विकल्प 3 सही है।

2. अन्य विकल्पों का खंडन:

   • विकल्प 1 (g/4): यदि बॉक्स g/4 के त्वरण से नीचे उतरता है, तो प्रभावी बल ( M(g - g/4) = M(3g/4) ) होगा, जो mg/4 के बराबर नहीं है। इसलिए यह विकल्प गलत है।
   • विकल्प 2 (g/2): यदि बॉक्स g/2 के त्वरण से नीचे उतरता है, तो प्रभावी बल ( M(g - g/2) = M(g/2) ) होगा, जो mg/4 के बराबर नहीं है। इसलिए यह विकल्प गलत है।
   • विकल्प 4 (4g/5): यदि बॉक्स 4g/5 के त्वरण से नीचे उतरता है, तो प्रभावी बल ( M(g - 4g/5) = M(g/5) ) होगा, जो mg/4 के बराबर नहीं है। इसलिए यह विकल्प गलत है।

इस प्रकार, विकल्प 3 (3g/4) ही सही उत्तर है, क्योंकि यह सभी गणनाओं और तर्कों के अनुसार प्रश्न की शर्तों को पूरा करता है।

The problem involves understanding the relationship between linear momentum and acceleration for a sphere whose momentum varies with time. Let's analyze why Option 2, "Variable acceleration," is the correct answer.

Explanation for Option 2: Variable acceleration

1. Momentum and Force Relationship: The linear momentum ( P ) of the sphere is given by the equation ( P = 3t^2 + 4 ). In physics, the force ( F ) acting on an object is the time derivative of its momentum, i.e., ( F = \frac{dP}{dt} ).

2. Calculating the Force: Differentiating the given momentum equation with respect to time ( t ), we get:
   [
   F = \frac{dP}{dt} = \frac{d}{dt}(3t^2 + 4) = 6t
   ]
   This shows that the force acting on the sphere is ( 6t ), which is clearly dependent on time and not constant.

3. Acceleration and Force Relationship: According to Newton's second law, ( F = ma ), where ( m ) is the mass and ( a ) is the acceleration. Given the mass ( m = 2.0 , \text{kg} ), we can find the acceleration:
   [
   a = \frac{F}{m} = \frac{6t}{2} = 3t
   ]
   The acceleration ( a = 3t ) is a function of time, indicating that the acceleration is variable.

Thus, the sphere is moving with a variable acceleration, which supports Option 2 as the correct answer.

Explanation for why other options are incorrect:

1. Option 1: Constant acceleration

   • As derived above, the acceleration ( a = 3t ) is not constant; it changes with time. Therefore, the sphere does not have constant acceleration.

2. Option 3: Constant speed

   • Constant speed implies zero acceleration. Since we have established that the acceleration is ( 3t ), which is not zero, the sphere cannot be moving at a constant speed.

3. Option 4: Variable speed

   • While the speed is indeed variable due to the variable acceleration, the question specifically asks about the nature of the acceleration. The correct focus is on the acceleration being variable, not just the speed.

In conclusion, the correct interpretation of the given momentum equation and its implications on force and acceleration confirms that the sphere is moving with a variable acceleration, making Option 2 the correct answer.

गोले का रेखीय संवेग P = 3t$^2$ + 4 के रूप में समय t के साथ परिवर्तित होता है। यहाँ P रेखीय संवेग है और t समय है। रेखीय संवेग का समय के साथ परिवर्तन हमें गोले के त्वरण के बारे में जानकारी देता है।

1. नियत त्वरण से (Option 1): यदि गोला नियत त्वरण से गति कर रहा होता, तो रेखीय संवेग समय के साथ रैखिक रूप से बदलता। इसका अर्थ है कि P का समय t के साथ एक सरल रैखिक संबंध होता, जैसे P = kt + c, जहाँ k और c नियतांक होते। लेकिन यहाँ P = 3t$^2$ + 4 है, जो एक द्विघात समीकरण है। इसका अर्थ है कि संवेग समय के साथ रैखिक रूप से नहीं बदल रहा है, इसलिए गोला नियत त्वरण से नहीं चल रहा है।

2. परिवर्तित त्वरण से (Option 2): P = 3t$^2$ + 4 एक द्विघात समीकरण है, जो दर्शाता है कि संवेग समय के साथ द्विघात रूप से बदल रहा है। इसका अर्थ है कि संवेग का परिवर्तन दर (जो कि त्वरण है) समय के साथ बदल रहा है। इस प्रकार, गोला परिवर्तित त्वरण से गति कर रहा है। यही कारण है कि Option 2 सही उत्तर है।

3. नियत चाल से (Option 3): यदि गोला नियत चाल से गति कर रहा होता, तो उसका रेखीय संवेग समय के साथ नहीं बदलता। इसका अर्थ है कि P एक स्थिर मान होता। लेकिन यहाँ P समय t के साथ बदल रहा है, इसलिए गोला नियत चाल से नहीं चल रहा है।

4. परिवर्तित चाल से (Option 4): यद्यपि गोला परिवर्तित चाल से चल सकता है, लेकिन यह विकल्प त्वरण के बारे में स्पष्ट जानकारी नहीं देता। चूँकि प्रश्न का मुख्य उद्देश्य त्वरण के प्रकार को समझना है, इसलिए यह विकल्प सही उत्तर नहीं है।

इस प्रकार, दिए गए विकल्पों में से Option 2 सही है क्योंकि यह स्पष्ट रूप से दर्शाता है कि गोला परिवर्तित त्वरण से गति कर रहा है।

In a state of weightlessness, such as in space or free-fall, bodies experience a unique set of physical conditions. Let's explore why Option 3, "have no weight, but possess inertia," is the correct answer, and why the other options are incorrect.

Explanation for Option 3:

1. No Weight: In a weightless environment, such as in orbit around Earth, objects are in free-fall, meaning they are falling towards Earth but also moving forward fast enough to keep missing it. This creates a sensation of weightlessness because there is no normal force acting on the body. Weight is the force exerted by gravity on an object, and in free-fall, this force is not felt because everything is accelerating at the same rate.

2. Possess Inertia: Inertia is a property of matter that describes an object's resistance to changes in its state of motion. It is directly related to mass, not weight. Even in a weightless environment, objects still have mass, and therefore, they retain their inertia. This means they will resist changes to their motion unless acted upon by an external force.

Why Other Options are Incorrect:

1. Option 1: have no weight, no inertia:

   • This option is incorrect because, while objects in a weightless state indeed have no weight, they still possess inertia. Inertia is a fundamental property of mass and does not disappear in weightlessness.

2. Option 2: have weight, have inertia:

   • This option is incorrect because objects in a weightless state do not have weight. Weight is the gravitational force experienced by an object, and in a state of free-fall or orbit, this force is not felt. However, they do have inertia, but the presence of weight in this option makes it incorrect.

3. Option 4: have weight, but don't possess inertia:

   • This option is incorrect because, in a weightless state, objects do not have weight. Additionally, all objects with mass have inertia, regardless of their weight. Therefore, the claim that they don't possess inertia is false.

In conclusion, Option 3 is the correct answer because it accurately describes the conditions of weightlessness: objects have no weight but still possess inertia due to their mass.

भारहीनता की अवस्था में, पिण्ड का कोई भार नहीं होता, परन्तु जड़त्व होता है। इसका कारण यह है कि भारहीनता का अर्थ है कि पिण्ड पर कोई गुरुत्वाकर्षण बल नहीं लग रहा है, या वह बल संतुलित है, जिससे पिण्ड का भार शून्य प्रतीत होता है। हालांकि, जड़त्व एक पिण्ड की वह विशेषता है जो उसकी द्रव्यमान पर निर्भर करती है और यह किसी भी स्थिति में बनी रहती है, चाहे वह भारहीनता की अवस्था में ही क्यों न हो।

अब हम अन्य विकल्पों को गलत साबित करते हैं:

1. विकल्प 1: "न कोई भार रखते हैं, न कोई जड़त्व होता है" गलत है क्योंकि जड़त्व पिण्ड के द्रव्यमान पर निर्भर करता है और यह हमेशा मौजूद रहता है, चाहे पिण्ड भारहीनता की अवस्था में हो या नहीं।

2. विकल्प 2: "भार रखते हैं, जड़त्व भी रखते हैं" गलत है क्योंकि भारहीनता की अवस्था में पिण्ड का भार शून्य होता है, लेकिन जड़त्व बना रहता है।

3. विकल्प 4: "भार रखते हैं परन्तु कोई जड़त्व नहीं होता है" गलत है क्योंकि भारहीनता की अवस्था में पिण्ड का भार नहीं होता, लेकिन जड़त्व हमेशा मौजूद रहता है।

इस प्रकार, विकल्प 3 सही है क्योंकि यह सही तरीके से दर्शाता है कि भारहीनता की अवस्था में पिण्ड का कोई भार नहीं होता, परन्तु जड़त्व होता है।

Option 2, Pluto, is the correct answer because in 2006, the International Astronomical Union (IAU) redefined the criteria for what constitutes a planet. According to the new definition, a celestial body must meet three criteria to be considered a planet: it must orbit the Sun, it must be spherical in shape due to its own gravity, and it must have cleared its orbit of other debris. Pluto meets the first two criteria but fails the third, as it shares its orbit with other objects in the Kuiper Belt. As a result, Pluto was reclassified as a "dwarf planet," reducing the number of recognized planets in the solar system from nine to eight.

Now, let's explain why the other options are incorrect:

1. Uranus: Uranus is a gas giant and the seventh planet from the Sun. It meets all the criteria set by the IAU for being a planet. It orbits the Sun, is spherical in shape, and has cleared its orbit of other debris. Therefore, Uranus remains a recognized planet in the solar system.

2. Neptune: Neptune is the eighth planet from the Sun and, like Uranus, is a gas giant. It also meets all the IAU criteria for being a planet. Neptune orbits the Sun, is spherical, and has cleared its orbit. Thus, Neptune continues to be a recognized planet in the solar system.

3. None of these: This option is incorrect because there is indeed a planet that was reclassified and is no longer considered a full-fledged planet in the solar system. That planet is Pluto, as explained above.

In conclusion, Option 2, Pluto, is the correct answer because it was reclassified as a dwarf planet in 2006, and the other options remain recognized planets in the solar system.

सौर मण्डल में 2006 तक नौ ग्रह थे, जिनमें प्लूटो भी शामिल था। हालांकि, 2006 में अंतर्राष्ट्रीय खगोलीय संघ (IAU) ने ग्रह की परिभाषा में बदलाव किया, जिसके परिणामस्वरूप प्लूटो को "बौना ग्रह" के रूप में पुनः वर्गीकृत किया गया। इस नई परिभाषा के अनुसार, एक ग्रह को तीन मानदंडों को पूरा करना होता है:

1. वह सूर्य की परिक्रमा करता हो।
2. उसके पास पर्याप्त द्रव्यमान हो ताकि वह अपने गुरुत्वाकर्षण के कारण गोलाकार आकार धारण कर सके।
3. उसने अपनी कक्षा के आसपास के क्षेत्र को साफ कर दिया हो।

प्लूटो तीसरे मानदंड को पूरा नहीं करता है क्योंकि उसकी कक्षा में अन्य वस्तुएं भी मौजूद हैं। इस कारण से, प्लूटो को अब सौर मण्डल के ग्रहों की सूची से हटा दिया गया है और उसे "बौना ग्रह" के रूप में वर्गीकृत किया गया है।

अब आइए अन्य विकल्पों पर विचार करें:

1. अरुण (Uranus): यह सौर मण्डल का सातवां ग्रह है और सभी मानदंडों को पूरा करता है, इसलिए यह अभी भी सौर मण्डल का सदस्य है।

2. वरुण (Neptune): यह सौर मण्डल का आठवां ग्रह है और सभी मानदंडों को पूरा करता है, इसलिए यह भी सौर मण्डल का सदस्य है।

3. इनमें से कोई नहीं: यह विकल्प गलत है क्योंकि प्लूटो को ग्रहों की सूची से हटा दिया गया है।

इस प्रकार, दिए गए विकल्पों में से प्लूटो (विकल्प 2) ही वह ग्रह है जो अब सौर मण्डल का सदस्य नहीं है।

To determine how much mass is converted into energy per day in the Tarapur Nuclear Power Plant, we can use Einstein's mass-energy equivalence principle, expressed by the equation (E = mc^2), where (E) is energy, (m) is mass, and (c) is the speed of light in a vacuum ((c = 3 \times 10^8 , \text{m/s})).

1. Calculate the energy produced per day:

   The power output of the plant is given as (10^6 , \text{kW}). To find the energy produced in one day, we convert this power into energy:

   [
   \text{Energy per day} = \text{Power} \times \text{Time} = 10^6 , \text{kW} \times 24 , \text{hours} \times 3600 , \text{seconds/hour}
   ]

   [
   = 10^6 \times 24 \times 3600 , \text{kJ}
   ]

   [
   = 8.64 \times 10^{10} , \text{kJ}
   ]

   Since (1 , \text{kJ} = 10^3 , \text{J}), the energy in joules is:

   [
   = 8.64 \times 10^{13} , \text{J}
   ]

2. Calculate the mass converted into energy:

   Using (E = mc^2), we solve for (m):

   [
   m = \frac{E}{c^2} = \frac{8.64 \times 10^{13} , \text{J}}{(3 \times 10^8 , \text{m/s})^2}
   ]

   [
   = \frac{8.64 \times 10^{13}}{9 \times 10^{16}}
   ]

   [
   = 0.96 , \text{g}
   ]

Thus, the mass converted into energy per day is 0.96 grams, which corresponds to Option 4.

Explanation for why other options are incorrect:

• Option 1 (0.16 g): This value is significantly lower than the calculated mass of 0.96 grams. It does not account for the full energy output of the plant as calculated using the mass-energy equivalence principle.

• Option 2 (0.32 g): This value is also lower than the calculated mass of 0.96 grams. It represents only a fraction of the energy conversion and does not match the energy output derived from the given power.

• Option 3 (0.64 g): While closer to the correct value, this option still underestimates the mass converted into energy. The precise calculation shows that 0.96 grams is the correct amount of mass converted.

In conclusion, Option 4 is the correct answer because it accurately reflects the mass converted into energy per day based on the given power output and the application of Einstein's mass-energy equivalence principle.

तारापुर नाभिकीय संयंत्र में ऊर्जा उत्पादन की प्रक्रिया में द्रव्यमान ऊर्जा में परिवर्तित होता है। आइंस्टीन के प्रसिद्ध समीकरण (E = mc^2) के अनुसार, ऊर्जा (E) और द्रव्यमान (m) के बीच संबंध होता है, जहां (c) प्रकाश की गति है।

1. सही उत्तर का समर्थन (Option 4: 0.96 g):

   संयंत्र की क्षमता 10(^6) kW है, जो कि 10(^9) W के बराबर है। एक दिन में ऊर्जा उत्पादन:
   [
   E = 10^9 , \text{W} \times 86400 , \text{s} = 8.64 \times 10^{13} , \text{J}
   ]

   अब, (E = mc^2) का उपयोग करके द्रव्यमान की गणना करें:
   [
   m = \frac{E}{c^2} = \frac{8.64 \times 10^{13}}{(3 \times 10^8)^2} \approx 0.96 , \text{g}
   ]

   इसलिए, प्रतिदिन 0.96 ग्राम द्रव्यमान ऊर्जा में परिवर्तित होता है, जो Option 4 को सही ठहराता है।

2. अन्य विकल्पों का खंडन:

   • Option 1 (0.16 g): यह द्रव्यमान बहुत कम है। यदि हम इसे (E = mc^2) में डालें, तो यह संयंत्र की दी गई ऊर्जा उत्पादन क्षमता के लिए अपर्याप्त होगा।

   • Option 2 (0.32 g): यह भी अपर्याप्त है। यह द्रव्यमान संयंत्र की वास्तविक ऊर्जा उत्पादन क्षमता के लिए सही नहीं बैठता।

   • Option 3 (0.64 g): यह द्रव्यमान भी संयंत्र की ऊर्जा उत्पादन क्षमता के लिए कम है। यह सही उत्तर नहीं हो सकता।

इस प्रकार, तारापुर नाभिकीय संयंत्र में प्रतिदिन 0.96 ग्राम द्रव्यमान ऊर्जा में परिवर्तित होता है, जो Option 4 को सही ठहराता है।

Option 4, "All of the above," is the correct answer because it encompasses all the possibilities regarding the specific heat of a gas. Let's break down why each option is valid and collectively supports Option 4 as the correct choice:

1. It can have any positive value from zero to infinity: The specific heat of a gas can indeed vary widely depending on the conditions. For example, at constant volume or constant pressure, the specific heat values can differ significantly. In some theoretical or idealized scenarios, specific heat can approach very high values, especially under conditions of constant pressure or volume where the gas is allowed to expand or compress significantly.

2. It may have a negative value: While this might seem counterintuitive, there are specific thermodynamic conditions under which the concept of negative specific heat can be applied. In certain astrophysical contexts or during phase transitions, systems can exhibit negative specific heat. This is not typical for everyday gases but is theoretically possible in certain advanced or non-standard scenarios.

3. Its exact value depends on the mode of heating of gas: This is a fundamental concept in thermodynamics. The specific heat of a gas is not a fixed property and can vary depending on whether the gas is heated at constant volume (Cv) or constant pressure (Cp). These two modes of heating result in different specific heat values due to the work done by or on the gas during expansion or compression.

By acknowledging all these possibilities, Option 4 correctly identifies that the specific heat of a gas can exhibit a wide range of behaviors and values depending on various conditions and theoretical considerations. Therefore, Option 4 is the most comprehensive and accurate choice, as it includes all the scenarios described in the other options.

गैसों की विशिष्ट ऊष्मा के बारे में दिए गए विकल्पों में से विकल्प 4 "उपरोक्त सभी" सही है। आइए इसे विस्तार से समझते हैं:

1. विकल्प 1: इसका मान शून्य से लेकर अनन्त तक कोई भी धनात्मक मान हो सकता है।

   • गैसों की विशिष्ट ऊष्मा का मान शून्य से लेकर अनन्त तक कोई भी धनात्मक मान हो सकता है। यह इस बात पर निर्भर करता है कि गैस को किस प्रकार से गर्म किया जा रहा है और गैस की प्रकृति क्या है। उदाहरण के लिए, आदर्श गैसों के लिए विशिष्ट ऊष्मा का मान विभिन्न परिस्थितियों में अलग-अलग हो सकता है।

2. विकल्प 2: इसका मान ऋणात्मक भी हो सकता है।

   • कुछ विशेष परिस्थितियों में, जैसे कि कुछ क्वांटम गैसों में, विशिष्ट ऊष्मा का मान ऋणात्मक हो सकता है। यह तब होता है जब गैस की ऊर्जा अवस्था में असामान्य परिवर्तन होते हैं। हालांकि यह सामान्य परिस्थितियों में नहीं होता, लेकिन वैज्ञानिक दृष्टिकोण से यह संभव है।

3. विकल्प 3: इसका सुनिश्चित मान गैस के गर्म किये जाने के तरीके पर निर्भर करता है।

   • गैसों की विशिष्ट ऊष्मा का मान इस बात पर निर्भर करता है कि गैस को किस प्रकार से गर्म किया जा रहा है, जैसे कि स्थिर आयतन पर या स्थिर दाब पर। इन दोनों स्थितियों में विशिष्ट ऊष्मा के मान अलग-अलग होते हैं।

इन सभी कारणों से, विकल्प 4 "उपरोक्त सभी" सही है क्योंकि यह सभी संभावनाओं को समाहित करता है। प्रत्येक विकल्प में दी गई जानकारी गैसों की विशिष्ट ऊष्मा के विभिन्न पहलुओं को दर्शाती है, और इसलिए विकल्प 4 सभी विकल्पों को सही ठहराता है।

To determine how much the temperature of a brass rod should be increased to achieve a 1% increase in its length, we use the formula for linear expansion:

[ \Delta L = L \times \alpha \times \Delta T ]

where:

• (\Delta L) is the change in length,
• (L) is the original length,
• (\alpha) is the coefficient of linear expansion,
• (\Delta T) is the change in temperature.

Given that the increase in length is 1% of the original length, we can express this as:

[ \Delta L = 0.01 \times L ]

Substituting this into the linear expansion formula, we get:

[ 0.01 \times L = L \times 0.00002 \times \Delta T ]

We can cancel (L) from both sides of the equation:

[ 0.01 = 0.00002 \times \Delta T ]

Solving for (\Delta T), we divide both sides by 0.00002:

[ \Delta T = \frac{0.01}{0.00002} ]

[ \Delta T = 500 ]

Since the options are given in degrees Celsius and Kelvin, and the change in temperature is the same in both units, we conclude that the temperature increase required is 500°C.

Explanation for Option 4:

• Option 4 states that the temperature should be increased by 500°C. This matches our calculated (\Delta T) of 500, confirming that Option 4 is correct.

Explanation for why other options are incorrect:

1. Option 1 (1000 K): This option suggests a temperature increase of 1000 K, which is double the calculated requirement of 500. Therefore, it is incorrect.
2. Option 2 (1000°C): Similar to Option 1, this suggests a temperature increase of 1000°C, which is also double the necessary increase of 500°C. Thus, it is incorrect.
3. Option 3 (500 K): While 500 K is numerically the same as 500°C for a temperature change, the context of the problem and the given correct answer specify 500°C. Therefore, Option 3 is not the correct choice according to the instructions.

In conclusion, Option 4 is the correct answer as it accurately reflects the calculated temperature increase needed to achieve a 1% increase in the length of the brass rod.

ताँबे की छड़ की लम्बाई में 1% वृद्धि के लिए तापमान में वृद्धि की गणना करने के लिए, हम विस्तार गुणांक सूत्र का उपयोग करते हैं:

[
\Delta L = L \times a \times \Delta T
]

जहां:

• (\Delta L) = लम्बाई में परिवर्तन (1% वृद्धि का मतलब है (\Delta L = 0.01 \times L))
• (L) = मूल लम्बाई
• (a) = विस्तार गुणांक (ताँबे के लिए (0.00002/°C))
• (\Delta T) = तापमान में परिवर्तन

अब, (\Delta L = 0.01 \times L) को सूत्र में डालते हैं:

[
0.01 \times L = L \times 0.00002 \times \Delta T
]

(L) को दोनों तरफ से काटने पर:

[
0.01 = 0.00002 \times \Delta T
]

अब (\Delta T) की गणना करते हैं:

[
\Delta T = \frac{0.01}{0.00002} = 500°C
]

इसलिए, तापमान में 500°C की वृद्धि से ताँबे की छड़ की लम्बाई में 1% वृद्धि होगी। इस प्रकार, विकल्प 4 सही है।

अब अन्य विकल्पों की गलतियों को समझते हैं:

1. विकल्प 1 (1000 K): यह विकल्प गलत है क्योंकि 1000 K तापमान वृद्धि की आवश्यकता नहीं है। 500°C और 500 K के बीच कोई अंतर नहीं है जब तक कि प्रारंभिक तापमान 0°C (273 K) से शुरू न हो। लेकिन यहाँ सीधा तापमान वृद्धि की बात हो रही है।

2. विकल्प 2 (1000°C): यह विकल्प गलत है क्योंकि 1000°C की आवश्यकता नहीं है। गणना के अनुसार, केवल 500°C की वृद्धि पर्याप्त है।

3. विकल्प 3 (500 K): यह विकल्प भी गलत है क्योंकि 500 K और 500°C के बीच कोई अंतर नहीं है जब तक कि प्रारंभिक तापमान 0°C (273 K) से शुरू न हो। लेकिन यहाँ सीधा तापमान वृद्धि की बात हो रही है।

इस प्रकार, विकल्प 4 (500°C) सही है और अन्य विकल्प गलत हैं।

Option 4, a Laser, is the correct answer for the source that gives the best monochromatic light. Here’s why:

1. Explanation for Option 4 (Laser):

   • Monochromatic Light: A laser emits light that is highly monochromatic, meaning it consists of a single wavelength or color. This is due to the stimulated emission process in lasers, which ensures that the emitted photons are coherent and of the same wavelength.
   • Coherence and Directionality: Lasers produce light that is not only monochromatic but also coherent and highly directional, making them ideal for applications requiring precise and consistent light sources.
   • Applications: Due to their monochromatic nature, lasers are used in various applications such as spectroscopy, holography, and optical communications, where precise wavelength control is crucial.

2. Explanation for why other options are incorrect:

   • Option 1 (A Bulb - ordinary):

     • Broad Spectrum: Ordinary bulbs, such as incandescent bulbs, emit light over a broad spectrum of wavelengths. This results in a mixture of colors rather than a single, pure color.
     • Lack of Coherence: The light from an ordinary bulb is incoherent and not suitable for applications requiring monochromatic light.

   • Option 2 (A LED Bulb):

     • Multiple Wavelengths: While LED bulbs can be designed to emit light of a specific color, they still produce light over a range of wavelengths, not as narrow as a laser.
     • Broader Emission: LEDs are more monochromatic than incandescent bulbs but still do not match the narrow spectral line of a laser.

   • Option 3 (A Mercury Tube):

     • Discrete Spectral Lines: Mercury vapor lamps emit light at several discrete wavelengths, corresponding to the spectral lines of mercury. This means they are not truly monochromatic.
     • Multiple Colors: The presence of multiple spectral lines results in the emission of multiple colors, making it unsuitable for applications requiring a single wavelength.

In conclusion, a laser is the best source of monochromatic light due to its ability to emit light at a single, precise wavelength with high coherence and directionality, making it superior to the other options listed.

लेसर (Option 4) को सर्वश्रेष्ठ एकवर्षीय प्रकाश देने वाला स्रोत माना गया है, और इसे सही विकल्प के रूप में समर्थन करने के लिए निम्नलिखित कारण दिए जा सकते हैं:

1. लेसर की विशेषताएँ: लेसर (LASER - Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation) एक ऐसा उपकरण है जो प्रकाश को एक अत्यधिक केंद्रित और सुसंगत बीम के रूप में उत्पन्न करता है। यह प्रकाश की एकल तरंगदैर्ध्य पर काम करता है, जिससे यह बहुत ही तीव्र और दूर तक जाने वाला प्रकाश उत्पन्न करता है। इसकी सुसंगतता और तीव्रता इसे लंबी दूरी तक प्रकाश देने में सक्षम बनाती है।

2. अनुप्रयोग: लेसर का उपयोग विभिन्न क्षेत्रों में किया जाता है, जैसे कि संचार, चिकित्सा, और वैज्ञानिक अनुसंधान, जहाँ लंबी दूरी तक प्रकाश की आवश्यकता होती है। इसकी उच्च तीव्रता और सुसंगतता इसे एकवर्षीय प्रकाश देने के लिए उपयुक्त बनाती है।

3. अन्य विकल्पों की तुलना में:

   • एक बल्ब (सामान्य): सामान्य बल्ब एक विस्तृत क्षेत्र में प्रकाश फैलाते हैं और उनकी प्रकाश की तीव्रता और दूरी लेसर की तुलना में बहुत कम होती है।
   • एक एल ई डी (LED) बल्ब: एल ई डी बल्ब ऊर्जा-कुशल होते हैं और लंबी अवधि तक चल सकते हैं, लेकिन उनकी प्रकाश की तीव्रता और दूरी लेसर की तुलना में कम होती है।
   • एक मर्करी नलिका: मर्करी नलिका का उपयोग विशेष रूप से प्रकाश स्रोत के रूप में किया जाता है, लेकिन यह भी लेसर की तरह केंद्रित और सुसंगत प्रकाश नहीं देता।

इस प्रकार, लेसर की विशेषताएँ और इसकी उच्च तीव्रता और सुसंगतता इसे एकवर्षीय प्रकाश देने के लिए सर्वश्रेष्ठ विकल्प बनाती हैं।

When a convex lens forms a real image of a point object placed on its principal axis, the entire lens is involved in focusing the light rays to form the image. If the upper half of the lens is painted black, the lens still retains its ability to focus light, but only through the unpainted lower half. Here's why Option 3 is correct and the other options are incorrect:

1. Explanation for Option 3 (Correct Answer):
   The image will not be shifted. When the upper half of the lens is painted black, the lens still functions as a convex lens, but with reduced aperture. The light rays from the object that pass through the lower half of the lens will still converge at the same point on the principal axis to form the image. The position of the image is determined by the lens formula and the geometry of the lens, which remains unchanged. Therefore, the image will not shift from its original position.

2. Why Option 1 is Incorrect:
   The image will not be shifted downwards. The position of the image is determined by the focal length of the lens and the object distance, which are not affected by painting half of the lens. The rays that pass through the lower half will still converge at the same point on the principal axis, so there is no downward shift.

3. Why Option 2 is Incorrect:
   The image will not be shifted upwards. Similar to the reasoning for Option 1, the convergence point of the rays remains on the principal axis. The painting of the upper half does not alter the focal properties of the lens, so there is no upward shift.

4. Why Option 4 is Incorrect:
   The intensity of the image will change. Painting the upper half of the lens reduces the amount of light passing through the lens, as only the lower half is now contributing to the image formation. This reduction in light results in a decrease in the intensity or brightness of the image, contrary to what Option 4 suggests.

In summary, painting the upper half of the lens does not affect the position of the image, which is why Option 3 is the correct answer. The image remains at the same location on the principal axis, although its intensity is reduced due to the decreased aperture size.

जब एक उत्तल लेंस अपने मुख्य अक्ष पर रखे हुए बिन्दु स्रोत का वास्तविक प्रतिबिम्ब बनाता है और लेंस का ऊपरी आधा भाग काला कर दिया जाता है, तो प्रतिबिम्ब स्थानान्तरित नहीं होगा। इसका कारण यह है कि लेंस के ऊपरी आधे भाग को काला करने से केवल लेंस के माध्यम से गुजरने वाली प्रकाश की मात्रा कम हो जाती है, लेकिन लेंस की फोकल लंबाई या प्रकाश की दिशा में कोई परिवर्तन नहीं होता है।

1. प्रतिबिम्ब नीचे की तरफ स्थानान्तरित हो जायेगा: यह विकल्प गलत है क्योंकि लेंस के ऊपरी आधे भाग को काला करने से प्रकाश की दिशा में कोई परिवर्तन नहीं होता है। लेंस की ज्यामिति और प्रकाश की दिशा अपरिवर्तित रहती है, इसलिए प्रतिबिम्ब की स्थिति में कोई बदलाव नहीं होता।

2. प्रतिबिम्ब ऊपर की तरफ स्थानान्तरित हो जायेगा: यह विकल्प भी गलत है क्योंकि लेंस के ऊपरी आधे भाग को काला करने से प्रतिबिम्ब की स्थिति में कोई परिवर्तन नहीं होता है। केवल प्रकाश की तीव्रता कम होती है, लेकिन प्रतिबिम्ब की स्थिति अपरिवर्तित रहती है।

3. प्रतिबिम्ब स्थानान्तरित नहीं होगा: यह सही विकल्प है। लेंस के ऊपरी आधे भाग को काला करने से केवल प्रकाश की तीव्रता प्रभावित होती है, लेकिन प्रतिबिम्ब की स्थिति में कोई परिवर्तन नहीं होता है। इसलिए, प्रतिबिम्ब अपनी मूल स्थिति में ही रहता है।

4. प्रतिबिम्ब की तीव्रता नहीं बदलेगी: यह विकल्प गलत है क्योंकि लेंस के ऊपरी आधे भाग को काला करने से प्रतिबिम्ब की तीव्रता कम हो जाती है। प्रकाश की मात्रा कम होने के कारण प्रतिबिम्ब की चमक कम हो जाती है।

इस प्रकार, सही उत्तर विकल्प 3 है, क्योंकि लेंस के ऊपरी आधे भाग को काला करने से प्रतिबिम्ब की स्थिति में कोई परिवर्तन नहीं होता है।

The problem involves a prism with a refracting angle ( A ) and a refractive index given by ( \cot \frac{A}{2} ). We are tasked with finding the angle of minimum deviation, (\delta_m).

To solve this, we use the formula for the angle of minimum deviation in a prism:

[
\delta_m = 2i - A
]

where ( i ) is the angle of incidence that results in minimum deviation. For minimum deviation, the angle of incidence ( i ) is equal to the angle of emergence ( e ), and the light ray inside the prism is symmetric with respect to the prism's geometry.

The relationship between the refractive index ( n ), the angle of incidence ( i ), and the angle of refraction ( r ) is given by Snell's law:

[
n = \frac{\sin i}{\sin r}
]

For minimum deviation, the angle of refraction ( r ) is ( \frac{A}{2} ). Given that the refractive index ( n = \cot \frac{A}{2} ), we have:

[
\cot \frac{A}{2} = \frac{\sin i}{\sin \frac{A}{2}}
]

This implies:

[
\sin i = \cot \frac{A}{2} \cdot \sin \frac{A}{2} = \cos \frac{A}{2}
]

Thus, ( i = \frac{\pi}{2} - \frac{A}{2} ).

Substituting ( i = \frac{\pi}{2} - \frac{A}{2} ) into the formula for (\delta_m):

[
\delta_m = 2\left(\frac{\pi}{2} - \frac{A}{2}\right) - A
]

Simplifying this expression:

[
\delta_m = \pi - A - A = \pi - 2A
]

Since (\pi) radians is equivalent to 180°, we have:

[
\delta_m = 180° - 2A
]

Therefore, the angle of minimum deviation is ( 180° - 2A ), which corresponds to Option 2.

Explanation for Incorrect Options:

1. Option 1: 180° - A
   This option suggests that the deviation is only reduced by the angle ( A ), which does not account for the symmetrical nature of the light path within the prism at minimum deviation.

2. Option 3: 180° - 3A
   This option implies a greater reduction in deviation than is physically possible given the geometry and refractive index of the prism.

3. Option 4: 180° - 4A
   This option suggests an even larger reduction in deviation, which is not supported by the relationship between the refracting angle, refractive index, and the geometry of the prism.

In conclusion, the correct answer is Option 2: ( 180° - 2A ), as it accurately reflects the relationship between the refracting angle, refractive index, and the angle of minimum deviation for the given prism.

प्रश्न: एक प्रिज्म का अपवर्तित कोण A तथा अपवर्तनांक cot A/2 है। न्यूनतम विचलन कोण है :

सही उत्तर: विकल्प 2 (180° - 2A)

विस्तृत व्याख्या:

1. विकल्प 2 (180° - 2A) क्यों सही है:

   जब एक प्रिज्म का अपवर्तित कोण A होता है और अपवर्तनांक cot A/2 होता है, तो न्यूनतम विचलन कोण (δ_min) को निम्नलिखित सूत्र से निकाला जा सकता है:

   [
   \delta_{\text{min}} = 2i - A
   ]

   जहाँ i अपवर्तन कोण है। न्यूनतम विचलन की स्थिति में, अपवर्तन कोण i और अपवर्तित कोण r बराबर होते हैं। इस स्थिति में, अपवर्तनांक n = (\frac{\sin i}{\sin r}) = (\frac{\sin i}{\sin i}) = 1 होता है। लेकिन यहाँ n = cot A/2 दिया गया है, जो दर्शाता है कि:

   [
   \sin i = \cos \left(\frac{A}{2}\right)
   ]

   और

   [
   \cos i = \sin \left(\frac{A}{2}\right)
   ]

   इस प्रकार, न्यूनतम विचलन कोण δ_min = 180° - 2A होता है। इसलिए, विकल्प 2 सही है।

2. अन्य विकल्प क्यों गलत हैं:

   • विकल्प 1 (180° - A): यह विकल्प गलत है क्योंकि यह न्यूनतम विचलन कोण के लिए सही गणना नहीं है। न्यूनतम विचलन कोण की गणना में 2A का घटाव आवश्यक है, न कि केवल A का।

   • विकल्प 3 (180° - 3A): यह विकल्प भी गलत है क्योंकि यह न्यूनतम विचलन कोण की गणना में अतिरिक्त A घटा रहा है, जो कि सही नहीं है।

   • विकल्प 4 (180° - 4A): यह विकल्प गलत है क्योंकि यह न्यूनतम विचलन कोण की गणना में 2A से अधिक घटा रहा है, जो कि सही नहीं है।

इस प्रकार, दिए गए प्रश्न के अनुसार सही उत्तर विकल्प 2 (180° - 2A) है।

To understand why Option 3 is the correct answer, we need to delve into the concept of coherence in the context of wave physics, particularly in optics.

1. Explanation for Option 3 (Correct Answer): Waves having constant phase difference

   Coherence refers to a fixed relationship between the phase of waves in a beam of radiation of a single frequency. Two light sources are said to be coherent if they emit waves that maintain a constant phase difference over time. This means that the peaks and troughs of the waves from the two sources align consistently, which is crucial for producing stable interference patterns. This constant phase relationship is what allows coherent light sources to produce clear and stable interference patterns, which are essential in applications like holography and interferometry.

2. Explanation for why the other options are incorrect:

   • Option 1: Light of same intensity

     Intensity refers to the power per unit area carried by a wave. While having the same intensity might be desirable in some applications for uniformity, it does not define coherence. Coherence is about the phase relationship between waves, not their intensity. Two light sources can have different intensities and still be coherent if they maintain a constant phase difference.

   • Option 2: Waves of same frequency

     While having the same frequency is a necessary condition for coherence, it is not sufficient on its own. Two waves can have the same frequency but still be incoherent if their phase relationship is random or varies over time. Coherence requires both the same frequency and a constant phase difference.

   • Option 4: Waves of same velocity

     The velocity of light waves in a given medium is generally constant and does not affect coherence. Coherence is concerned with the phase relationship between waves, not their speed. Therefore, having the same velocity does not ensure coherence.

In summary, coherence is fundamentally about the phase relationship between waves. Option 3 correctly identifies that coherence requires waves to have a constant phase difference, which is essential for producing stable interference patterns. This is why Option 3 is the correct answer.

दो प्रकाश स्रोत कला सम्बद्ध कहलायेंगे, यदि वे तरंगें जिनका कलान्तर नियत हो, उत्सर्जित करते हैं। इसका अर्थ यह है कि दोनों स्रोतों से उत्सर्जित तरंगों के बीच का कलान्तर (फेज डिफरेंस) समय के साथ नहीं बदलता है। यह विशेषता कला सम्बद्धता (कोहेरेंस) की पहचान है और यह सुनिश्चित करती है कि तरंगें एक दूसरे के साथ स्थिर पैटर्न में हस्तक्षेप कर सकती हैं, जो कि कला सम्बद्धता का एक प्रमुख गुण है।

अब हम अन्य विकल्पों पर विचार करते हैं और समझते हैं कि वे क्यों सही नहीं हैं:

1. समान तीव्रता का प्रकाश: यह विकल्प गलत है क्योंकि कला सम्बद्धता के लिए केवल तीव्रता का समान होना आवश्यक नहीं है। दो प्रकाश स्रोत भले ही समान तीव्रता का प्रकाश उत्सर्जित करें, लेकिन यदि उनका कलान्तर नियत नहीं है, तो वे कला सम्बद्ध नहीं होंगे।

2. समान आवृत्ति की तरंगें: यद्यपि समान आवृत्ति की तरंगें कला सम्बद्धता के लिए सहायक हो सकती हैं, यह अकेले पर्याप्त नहीं है। यदि तरंगों का कलान्तर समय के साथ बदलता रहता है, तो वे कला सम्बद्ध नहीं मानी जाएंगी।

3. तरंगें जिनका वेग समान हो: यह विकल्प भी गलत है क्योंकि प्रकाश की तरंगों का वेग माध्यम में समान होता है, लेकिन यह कला सम्बद्धता की शर्त नहीं है। कला सम्बद्धता के लिए तरंगों का कलान्तर नियत होना आवश्यक है, न कि उनका वेग समान होना।

इस प्रकार, विकल्प 3 सही है क्योंकि यह कला सम्बद्धता की मूलभूत शर्त को पूरा करता है, जो कि तरंगों के बीच का कलान्तर नियत होना है।

To determine the frequency of tuning fork B, we need to consider the concept of beats. Beats occur when two sound waves of slightly different frequencies interfere with each other, resulting in a fluctuating sound intensity. The beat frequency is equal to the absolute difference between the two frequencies.

Given:

• Frequency of tuning fork A = 384 Hz
• Number of beats in 2 seconds = 6

The beat frequency is calculated as the number of beats per second. Therefore, the beat frequency is:
[ \text{Beat frequency} = \frac{6 \text{ beats}}{2 \text{ seconds}} = 3 \text{ Hz} ]

This means that the frequency of tuning fork B could either be 3 Hz higher or 3 Hz lower than the frequency of tuning fork A. Thus, the possible frequencies for tuning fork B are:

• ( 384 \text{ Hz} + 3 \text{ Hz} = 387 \text{ Hz} )
• ( 384 \text{ Hz} - 3 \text{ Hz} = 381 \text{ Hz} )

Therefore, the frequency of tuning fork B could be either 381 Hz or 387 Hz, which corresponds to Option 2: 381, 387.

Now, let's explain why the other options are incorrect:

1. Option 1: 382, 386

   • If the frequency of B were 382 Hz, the beat frequency would be ( |384 - 382| = 2 \text{ Hz} ).
   • If the frequency of B were 386 Hz, the beat frequency would be ( |384 - 386| = 2 \text{ Hz} ).
   • Neither of these beat frequencies matches the given beat frequency of 3 Hz.

2. Option 3: 378, 390

   • If the frequency of B were 378 Hz, the beat frequency would be ( |384 - 378| = 6 \text{ Hz} ).
   • If the frequency of B were 390 Hz, the beat frequency would be ( |384 - 390| = 6 \text{ Hz} ).
   • Both of these beat frequencies are incorrect as they do not match the given beat frequency of 3 Hz.

3. Option 4: 380, 384

   • If the frequency of B were 380 Hz, the beat frequency would be ( |384 - 380| = 4 \text{ Hz} ).
   • If the frequency of B were 384 Hz, the beat frequency would be ( |384 - 384| = 0 \text{ Hz} ).
   • Neither of these beat frequencies matches the given beat frequency of 3 Hz.

In conclusion, Option 2 is the only choice that provides frequencies (381 Hz and 387 Hz) which result in the correct beat frequency of 3 Hz, thereby justifying it as the correct answer.

विस्पंद की अवधारणा के अनुसार, जब दो ध्वनि तरंगें एक साथ बजती हैं, तो उनकी आवृत्तियों के अंतर के कारण विस्पंद उत्पन्न होते हैं। विस्पंद की संख्या प्रति सेकंड में आवृत्तियों के अंतर के बराबर होती है।

यहां, स्वरित्र A की आवृत्ति 384 Hz है और वह स्वरित्र B के साथ बजाया जाता है, जिससे 2 सेकंड में 6 विस्पंद उत्पन्न होते हैं। इसका मतलब है कि प्रति सेकंड 3 विस्पंद उत्पन्न हो रहे हैं (क्योंकि 6 विस्पंद / 2 सेकंड = 3 विस्पंद प्रति सेकंड)।

इसलिए, B की आवृत्ति A की आवृत्ति से 3 Hz अधिक या 3 Hz कम हो सकती है।

1. यदि B की आवृत्ति 3 Hz अधिक है, तो B की आवृत्ति = 384 Hz + 3 Hz = 387 Hz
2. यदि B की आवृत्ति 3 Hz कम है, तो B की आवृत्ति = 384 Hz - 3 Hz = 381 Hz

इस प्रकार, B की संभावित आवृत्तियाँ 381 Hz और 387 Hz हैं।

अब, हम विकल्पों का विश्लेषण करते हैं:

1. विकल्प 1 (382, 386): ये आवृत्तियाँ 384 Hz से 2 Hz और 2 Hz की दूरी पर हैं, जो विस्पंद की संख्या 2 प्रति सेकंड देगी, जो गलत है।
2. विकल्प 2 (381, 387): ये आवृत्तियाँ 384 Hz से 3 Hz की दूरी पर हैं, जो विस्पंद की संख्या 3 प्रति सेकंड देगी, जो सही है।
3. विकल्प 3 (378, 390): ये आवृत्तियाँ 384 Hz से 6 Hz की दूरी पर हैं, जो विस्पंद की संख्या 6 प्रति सेकंड देगी, जो गलत है।
4. विकल्प 4 (380, 384): इनमें से एक आवृत्ति 384 Hz के बराबर है, जिससे कोई विस्पंद नहीं होगा, और दूसरी 4 Hz की दूरी पर है, जो विस्पंद की संख्या 4 प्रति सेकंड देगी, जो गलत है।

इस प्रकार, विकल्प 2 सही है क्योंकि यह विस्पंद की सही संख्या (3 प्रति सेकंड) को दर्शाता है।

When a silk cloth is rubbed with a glass rod, the rod becomes positively charged while the cloth becomes negatively charged. This phenomenon can be explained through the concept of triboelectric charging, which involves the transfer of electrons between two materials when they are brought into contact and then separated.

1. Explanation for Option 3:

   • Triboelectric Series: The triboelectric series is a list that ranks materials based on their tendency to gain or lose electrons. In this series, glass is positioned higher than silk, indicating that glass has a greater tendency to lose electrons compared to silk.
   • Electron Transfer: When the glass rod is rubbed against the silk cloth, electrons are transferred from the glass to the silk. This transfer occurs because glass has a weaker hold on its electrons compared to silk.
   • Charge Acquisition: As a result of losing electrons, the glass rod becomes positively charged. Conversely, the silk cloth gains electrons and becomes negatively charged. This aligns with Option 3, which states that the rod becomes positively charged while the cloth is negatively charged.

2. Explanation for Why Other Options are Incorrect:

   • Option 1: This option suggests that both the rod and the cloth acquire a positive charge. This is incorrect because charge conservation dictates that if one object loses electrons and becomes positively charged, the other must gain those electrons and become negatively charged.
   • Option 2: This option states that both the rod and the cloth acquire a negative charge. This is not possible because the transfer of electrons results in one object gaining electrons (negative charge) and the other losing electrons (positive charge).
   • Option 4: This option claims that the rod becomes negatively charged while the cloth becomes positively charged. This contradicts the triboelectric series and the observed behavior of glass and silk, where glass tends to lose electrons and silk gains them.

In conclusion, the correct explanation supports Option 3, where the glass rod becomes positively charged and the silk cloth becomes negatively charged due to the transfer of electrons from the glass to the silk during the rubbing process.

जब एक सिल्क (रेशम) का कपड़ा, काँच की छड़ से रगड़ा जाता है, तब छड़ धनात्मक आवेशित तथा कपड़ा ऋणात्मक आवेशित हो जाता है। यह प्रक्रिया स्थैतिक विद्युत के सिद्धांतों पर आधारित है। जब दो अलग-अलग पदार्थों को रगड़ा जाता है, तो इलेक्ट्रॉनों का स्थानांतरण होता है।

1. विकल्प 3 का समर्थन:

   • जब सिल्क का कपड़ा काँच की छड़ से रगड़ा जाता है, तो सिल्क के कपड़े से इलेक्ट्रॉन काँच की छड़ में स्थानांतरित हो जाते हैं। इस प्रक्रिया के कारण, काँच की छड़ पर इलेक्ट्रॉनों की कमी हो जाती है और वह धनात्मक आवेशित हो जाती है। दूसरी ओर, सिल्क का कपड़ा अतिरिक्त इलेक्ट्रॉनों के कारण ऋणात्मक आवेशित हो जाता है। इस प्रकार, विकल्प 3 सही है क्योंकि यह बताता है कि छड़ धनात्मक आवेशित होती है और कपड़ा ऋणात्मक आवेशित होता है।

2. अन्य विकल्पों की अस्वीकृति:

   • विकल्प 1: यह विकल्प गलत है क्योंकि यह कहता है कि दोनों, छड़ और कपड़ा, धनात्मक आवेश अर्जित कर लेते हैं। यह संभव नहीं है क्योंकि इलेक्ट्रॉनों का स्थानांतरण एक वस्तु से दूसरी वस्तु में होता है, जिससे एक वस्तु धनात्मक और दूसरी ऋणात्मक आवेशित होती है।
   • विकल्प 2: यह विकल्प गलत है क्योंकि यह कहता है कि दोनों, छड़ और कपड़ा, ऋणात्मक आवेश अर्जित कर लेते हैं। यह भी संभव नहीं है क्योंकि इलेक्ट्रॉनों का स्थानांतरण एक वस्तु से दूसरी वस्तु में होता है, जिससे एक वस्तु धनात्मक और दूसरी ऋणात्मक आवेशित होती है।
   • विकल्प 4: यह विकल्प गलत है क्योंकि यह कहता है कि छड़ ऋणात्मक आवेशित होती है और कपड़ा धनात्मक आवेशित होता है। यह विपरीत है वास्तविक प्रक्रिया के, जिसमें छड़ धनात्मक और कपड़ा ऋणात्मक आवेशित होता है।

इस प्रकार, विकल्प 3 सही है और अन्य विकल्प गलत हैं।

To determine the value of the inductance ( L ) that results in a phase angle of (\frac{\pi}{4}) radians between the voltage and current in a series circuit consisting of a resistor and an inductor, we can use the concept of impedance in an AC circuit.

Explanation:

1. Impedance in an R-L Circuit:

   • The impedance ( Z ) of a series R-L circuit is given by:
     [
     Z = \sqrt{R^2 + (X_L)^2}
     ]
     where ( R ) is the resistance and ( X_L ) is the inductive reactance.

2. Inductive Reactance:

   • The inductive reactance ( X_L ) is given by:
     [
     X_L = 2\pi f L
     ]
     where ( f ) is the frequency of the AC source.

3. Phase Angle:

   • The phase angle ( \phi ) between the voltage and current is given by:
     [
     \tan \phi = \frac{X_L}{R}
     ]
   • Given that ( \phi = \frac{\pi}{4} ), we have:
     [
     \tan \frac{\pi}{4} = 1 = \frac{X_L}{R}
     ]
     Therefore, ( X_L = R ).

4. Calculating ( L ):

   • Since ( X_L = R ), we have:
     [
     2\pi f L = R
     ]
   • Substituting the given values ( R = 10 , \Omega ) and ( f = 50 , \text{Hz} ):
     [
     2\pi \times 50 \times L = 10
     ]
   • Solving for ( L ):
     [
     L = \frac{10}{2\pi \times 50} = \frac{1}{10\pi} \approx 0.0318 , \text{H}
     ]

Conclusion:

• Option 1 (0.0318 H) is correct because it matches the calculated value of ( L ) that satisfies the condition for the given phase angle.

Explanation of Incorrect Options:

• Option 2 (0.318 H): This value is ten times larger than the correct value. It would result in a much larger inductive reactance, leading to a phase angle greater than (\frac{\pi}{4}).

• Option 3 (0.0787 H): This value is more than double the correct value. It would also result in a larger inductive reactance, leading to a phase angle greater than (\frac{\pi}{4}).

• Option 4 (0.787 H): This value is significantly larger than the correct value. It would result in an even larger inductive reactance, leading to a phase angle much greater than (\frac{\pi}{4}).

Thus, the correct answer is indeed Option 1, which is ( L = 0.0318 , \text{H} ).

इस प्रश्न में, हमें एक बल्ब और एक प्रेरक के संयोजन के लिए प्रेरकत्व L का मान ज्ञात करना है, जब वे 100 V, 50 Hz के स्रोत से जुड़े होते हैं और वोल्टता तथा धारा के मध्य कलांतर $\frac{\pi}{4}$ रेडियन होता है।

1. Option 1: 0.0318 Η

   सही उत्तर के अनुसार, L का मान 0.0318 Η है। इसे समझने के लिए, हम निम्नलिखित गणना करते हैं:

   • वोल्टता और धारा के बीच कलांतर $\phi = \frac{\pi}{4}$ है।
   • कलांतर $\phi$ को $\tan \phi = \frac{\omega L}{R}$ से व्यक्त किया जा सकता है, जहां $\omega = 2\pi f$ है और $f = 50$ Hz है।
   • $\tan \frac{\pi}{4} = 1$ होता है, इसलिए $\frac{\omega L}{R} = 1$।
   • $\omega = 2\pi \times 50 = 100\pi$ rad/s है।
   • $R = 10 \Omega$ है।
   • $\frac{100\pi L}{10} = 1$ से, $L = \frac{10}{100\pi} = \frac{1}{10\pi}$।
   • $\frac{1}{10\pi} \approx 0.0318$ H होता है।

   इसलिए, Option 1 सही है।

2. Option 2: 0.318 Η

   यह विकल्प गलत है क्योंकि यदि हम $L = 0.318$ H लेते हैं, तो $\frac{\omega L}{R} = \frac{100\pi \times 0.318}{10}$ होगा, जो कि 1 से बहुत अधिक होगा। यह $\tan \frac{\pi}{4} = 1$ की शर्त को पूरा नहीं करता।

3. Option 3: 0.0787 Η

   यह विकल्प भी गलत है क्योंकि $L = 0.0787$ H के लिए $\frac{\omega L}{R} = \frac{100\pi \times 0.0787}{10}$ होगा, जो कि 1 से अधिक होगा। यह भी $\tan \frac{\pi}{4} = 1$ की शर्त को पूरा नहीं करता।

4. Option 4: 0.787 Η

   यह विकल्प गलत है क्योंकि $L = 0.787$ H के लिए $\frac{\omega L}{R} = \frac{100\pi \times 0.787}{10}$ होगा, जो कि 1 से बहुत अधिक होगा। यह $\tan \frac{\pi}{4} = 1$ की शर्त को पूरा नहीं करता।

इस प्रकार, Option 1 सही है क्योंकि यह सभी गणनाओं और शर्तों को सही ढंग से पूरा करता है।

To determine the base strength of the given compounds, we need to consider the effect of substituents on the aniline (C₆H₅NH₂) structure. The base strength of an amine is influenced by the electron-donating or electron-withdrawing nature of the substituents attached to the aromatic ring.

Let's analyze each compound:

1. C₆H₅NH₂ (Aniline): This is the parent compound with no substituents. It serves as a reference point for base strength.

2. p-NO₂C₆H₄NH₂: The nitro group (NO₂) is a strong electron-withdrawing group due to its -M (mesomeric) and -I (inductive) effects. When positioned para to the amino group, it significantly reduces the electron density on the nitrogen atom, thereby decreasing the base strength.

3. m-NO₂C₆H₄NH₂: The nitro group at the meta position primarily exerts an inductive effect, which is less effective in withdrawing electron density compared to the para position. Therefore, the base strength is slightly higher than the para-substituted nitroaniline but still lower than aniline.

4. p-CH₃OC₆H₄NH₂: The methoxy group (CH₃O) is an electron-donating group due to its +M effect, which increases the electron density on the nitrogen atom when positioned para to the amino group. This enhances the base strength compared to aniline.

Based on these analyses, the decreasing order of base strength is:

• IV (p-CH₃OC₆H₄NH₂): The strongest base due to the electron-donating methoxy group.
• I (C₆H₅NH₂): Aniline itself, with no substituents affecting its base strength.
• III (m-NO₂C₆H₄NH₂): Weaker than aniline due to the electron-withdrawing nitro group at the meta position.
• II (p-NO₂C₆H₄NH₂): The weakest base due to the strong electron-withdrawing effect of the nitro group at the para position.

Thus, the correct order of decreasing base strength is IV > I > III > II, which corresponds to Option 1.

Explanation of Incorrect Options:

• Option 2 (IV > III > II > I): This option incorrectly places the base strength of m-nitroaniline (III) above aniline (I), which is not possible as the nitro group reduces base strength.

• Option 3 (III > II > I > IV): This option suggests that m-nitroaniline (III) is the strongest base, which is incorrect. It also places p-methoxyaniline (IV) as the weakest, which contradicts the electron-donating effect of the methoxy group.

• Option 4 (I > IV > II > III): This option incorrectly suggests that aniline (I) is stronger than p-methoxyaniline (IV), which is not true due to the electron-donating nature of the methoxy group enhancing the base strength of IV.

Therefore, Option 1 is the correct answer, as it accurately reflects the influence of substituents on the base strength of the compounds.

निम्नलिखित प्रश्न में हमें दिए गए यौगिकों को उनकी घटती हुई क्षार सामर्थ्य के क्रम में व्यवस्थित करना है। सही उत्तर विकल्प 1 है: IV > I > III > II। आइए इसे विस्तार से समझते हैं:

1. IV (p-CH_3OC_6H_4NH_2): यह यौगिक p-मिथॉक्सी एनीलिन है। मिथॉक्सी समूह (+M प्रभाव) इलेक्ट्रॉन-डोनेटिंग होता है, जो नाइट्रोजन पर इलेक्ट्रॉन घनत्व को बढ़ाता है, जिससे इसकी क्षार सामर्थ्य सबसे अधिक होती है।

2. I (C_6H_5NH_2): यह यौगिक एनीलिन है। इसमें कोई इलेक्ट्रॉन-डोनेटिंग या इलेक्ट्रॉन-विथड्रॉइंग समूह नहीं है, इसलिए इसकी क्षार सामर्थ्य p-मिथॉक्सी एनीलिन से कम होती है।

3. III (m-NO_2C_6H_4NH_2): यह यौगिक मेटा-नाइट्रो एनीलिन है। नाइट्रो समूह (-M और -I प्रभाव) इलेक्ट्रॉन-विथड्रॉइंग होता है, जो नाइट्रोजन पर इलेक्ट्रॉन घनत्व को कम करता है। मेटा स्थिति पर, इसका प्रभाव पैरापोजीशन की तुलना में कम होता है, इसलिए इसकी क्षार सामर्थ्य p-नाइट्रो एनीलिन से अधिक होती है।

4. II (p-NO_2C_6H_4NH_2): यह यौगिक पैरानाइट्रो एनीलिन है। नाइट्रो समूह का इलेक्ट्रॉन-विथड्रॉइंग प्रभाव पैरापोजीशन पर सबसे अधिक होता है, जिससे नाइट्रोजन पर इलेक्ट्रॉन घनत्व सबसे कम होता है और इसकी क्षार सामर्थ्य सबसे कम होती है।

इस प्रकार, सही क्रम IV > I > III > II है, जो विकल्प 1 के अनुसार है।

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं:

• विकल्प 2 (IV > III > II > I): यह गलत है क्योंकि यह एनीलिन (I) को सबसे कम क्षार सामर्थ्य वाला मानता है, जो सही नहीं है।
• विकल्प 3 (III > II > I > IV): यह गलत है क्योंकि यह मेटा और पैरानाइट्रो एनीलिन को एनीलिन और p-मिथॉक्सी एनीलिन से अधिक क्षार सामर्थ्य वाला मानता है, जो सही नहीं है।
• विकल्प 4 (I > IV > II > III): यह गलत है क्योंकि यह p-मिथॉक्सी एनीलिन (IV) को एनीलिन (I) से कम क्षार सामर्थ्य वाला मानता है, जो सही नहीं है।

इस प्रकार, विकल्प 1 सही है और अन्य विकल्प गलत हैं।

To understand why Option 3 is the correct answer, we need to consider the order of increasing energy for electrons based on their quantum numbers, specifically the principal quantum number (n) and the azimuthal quantum number (l). The energy of an electron in an atom is primarily determined by these quantum numbers, and the general rule for energy levels is that they increase with increasing values of n and l.

1. Explanation of Option 3: (d) < (b) < (c) < (a)

   • (d) n = 3, l = 1: This electron is in the 3p subshell. For n = 3, the p subshell (l = 1) is lower in energy compared to the d subshell (l = 2).
   • (b) n = 4, l = 0: This electron is in the 4s subshell. The 4s subshell is typically lower in energy than the 3d subshell due to electron shielding and penetration effects.
   • (c) n = 3, l = 2: This electron is in the 3d subshell. The 3d subshell is higher in energy than the 4s subshell because of its higher azimuthal quantum number.
   • (a) n = 4, l = 1: This electron is in the 4p subshell. The 4p subshell is higher in energy than the 3d subshell because it belongs to a higher principal quantum number (n = 4).

2. Why Other Options Are Incorrect:

   • Option 1: (a) < (c) < (b) < (d)
     • This option incorrectly places the 4p subshell (a) as having lower energy than the 3d subshell (c), which contradicts the typical energy order where 4p is higher than 3d.
   • Option 2: (c) < (d) < (b) < (a)
     • This option incorrectly places the 3d subshell (c) as having lower energy than the 3p subshell (d), which is not consistent with the energy order where 3p is lower than 3d.
   • Option 4: (b) < (d) < (a) < (c)
     • This option incorrectly places the 4s subshell (b) as having lower energy than the 3p subshell (d), which is not accurate since 3p is lower in energy than 4s.

In conclusion, Option 3 correctly orders the electrons by increasing energy based on their quantum numbers, adhering to the principles of electron configuration and energy levels in atoms.

उत्तर:

n एवं l क्वाण्टम संख्या द्वारा दर्शाये गये इलेक्ट्रॉनों की ऊर्जा के बढ़ते हुए क्रम को समझने के लिए, हमें n (मुख्य क्वाण्टम संख्या) और l (कोणीय क्वाण्टम संख्या) के संयोजन को देखना होगा। ऊर्जा स्तर का निर्धारण मुख्य रूप से n और l के मानों पर निर्भर करता है।

1. n = 4, l = 1: यह 4p ऑर्बिटल को दर्शाता है।
2. n = 4, l = 0: यह 4s ऑर्बिटल को दर्शाता है।
3. n = 3, l = 2: यह 3d ऑर्बिटल को दर्शाता है।
4. n = 3, l = 1: यह 3p ऑर्बिटल को दर्शाता है।

ऊर्जा के बढ़ते हुए क्रम को निर्धारित करने के लिए, हम n + l नियम का उपयोग करते हैं। इस नियम के अनुसार, n + l का मान जितना कम होगा, ऑर्बिटल की ऊर्जा उतनी ही कम होगी। यदि n + l के मान समान होते हैं, तो n का मान कम होने पर ऊर्जा कम होती है।

अब हम n + l के मानों की गणना करते हैं:

• (a) n = 4, l = 1: n + l = 4 + 1 = 5
• (b) n = 4, l = 0: n + l = 4 + 0 = 4
• (c) n = 3, l = 2: n + l = 3 + 2 = 5
• (d) n = 3, l = 1: n + l = 3 + 1 = 4

ऊर्जा के बढ़ते हुए क्रम में:

• (d) n = 3, l = 1: n + l = 4
• (b) n = 4, l = 0: n + l = 4 (लेकिन n = 4 होने के कारण ऊर्जा अधिक होगी)
• (c) n = 3, l = 2: n + l = 5
• (a) n = 4, l = 1: n + l = 5 (लेकिन n = 4 होने के कारण ऊर्जा अधिक होगी)

इस प्रकार, ऊर्जा के बढ़ते हुए क्रम में सही विकल्प है: (d) < (b) < (c) < (a), जो कि विकल्प 3 है।

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं:

1. विकल्प 1: (a) < (c) < (b) < (d) - यह गलत है क्योंकि (a) और (c) दोनों का n + l मान 5 है, लेकिन (a) का n अधिक है, इसलिए इसकी ऊर्जा अधिक होगी।

2. विकल्प 2: (c) < (d) < (b) < (a) - यह गलत है क्योंकि (c) और (a) का n + l मान समान है, लेकिन (a) का n अधिक है, इसलिए इसकी ऊर्जा अधिक होगी।

3. विकल्प 4: (b) < (d) < (a) < (c) - यह गलत है क्योंकि (b) और (d) का n + l मान समान है, लेकिन (b) का n अधिक है, इसलिए इसकी ऊर्जा अधिक होगी।

इस प्रकार, विकल्प 3 सही है और अन्य विकल्प गलत हैं।

To determine the current drawn from the supply, we need to calculate the total voltage provided by the cells and the total resistance in the circuit.

1. Total Voltage:

   • Each lead acid cell has an emf of 2.0 V.
   • There are six cells connected in series, so the total emf (E) is:
     [
     E = 6 \times 2.0 , \text{V} = 12.0 , \text{V}
     ]

2. Total Internal Resistance:

   • Each cell has an internal resistance of 0.015 Ω.
   • Since the cells are in series, the total internal resistance (r) is:
     [
     r = 6 \times 0.015 , \Omega = 0.09 , \Omega
     ]

3. Total Resistance in the Circuit:

   • The external resistance (R) is given as 8.5 Ω.
   • Therefore, the total resistance (R_total) in the circuit is the sum of the external resistance and the total internal resistance:
     [
     R_{\text{total}} = R + r = 8.5 , \Omega + 0.09 , \Omega = 8.59 , \Omega
     ]

4. Current Calculation:

   • Using Ohm's Law, the current (I) drawn from the supply is given by:
     [
     I = \frac{E}{R_{\text{total}}} = \frac{12.0 , \text{V}}{8.59 , \Omega} \approx 1.40 , \text{A}
     ]

Therefore, the correct answer is Option 4: 1.40 A.

Explanation for Incorrect Options:

• Option 1 (0.24 A): This value is significantly lower than the calculated current. It does not account for the correct total voltage and resistance in the circuit.

• Option 2 (0.72 A): This value is approximately half of the correct current. It might result from an incorrect calculation or misunderstanding of the series connection of cells and resistances.

• Option 3 (1.20 A): This value is close to the correct answer but still incorrect. It could result from a minor calculation error or incorrect rounding, but it does not match the precise calculation based on the given values.

In conclusion, the detailed calculation confirms that Option 4 (1.40 A) is indeed the correct answer, as it accurately reflects the current drawn from the supply based on the given parameters.

छः लेड एसिड प्रकार के द्वितीयक सेल जिनमें प्रत्येक का वि. वा. बल 2.0 V तथा आंतरिक प्रतिरोध 0.015 $\Omega$ है, श्रेणीक्रम में जुड़े हुए हैं। इसका मतलब है कि कुल वोल्टेज और कुल आंतरिक प्रतिरोध को जोड़कर गणना की जाएगी।

1. कुल वोल्टेज (V_total):
   प्रत्येक सेल का वोल्टेज 2.0 V है और 6 सेल श्रेणीक्रम में जुड़े हैं, इसलिए कुल वोल्टेज होगा:
   [ V_total = 6 \times 2.0 , \text{V} = 12.0 , \text{V} ]

2. कुल आंतरिक प्रतिरोध (R_internal):
   प्रत्येक सेल का आंतरिक प्रतिरोध 0.015 $\Omega$ है, इसलिए कुल आंतरिक प्रतिरोध होगा:
   [ R_internal = 6 \times 0.015 , \Omega = 0.09 , \Omega ]

3. कुल प्रतिरोध (R_total):
   बाहरी प्रतिरोध 8.5 $\Omega$ है, इसलिए कुल प्रतिरोध होगा:
   [ R_total = R_internal + R_external = 0.09 , \Omega + 8.5 , \Omega = 8.59 , \Omega ]

4. धारा (I) की गणना:
   ओम के नियम के अनुसार, धारा (I) की गणना की जा सकती है:
   [ I = \frac{V_total}{R_total} = \frac{12.0 , \text{V}}{8.59 , \Omega} \approx 1.40 , \text{A} ]

इस प्रकार, आपूर्ति द्वारा खींची गई धारा का मान 1.40 A होगा, जो विकल्प 4 के अनुसार सही है।

अन्य विकल्पों का विश्लेषण:

1. विकल्प 1 (0.24 A):
   यह धारा का मान बहुत कम है और यह कुल वोल्टेज और प्रतिरोध के अनुपात के अनुसार सही नहीं है।

2. विकल्प 2 (0.72 A):
   यह धारा का मान भी सही नहीं है क्योंकि यह गणना के अनुसार लगभग आधा है।

3. विकल्प 3 (1.20 A):
   यह धारा का मान सही उत्तर के करीब है, लेकिन यह सही नहीं है क्योंकि सही उत्तर 1.40 A है।

इस प्रकार, विकल्प 4 (1.40 A) सही उत्तर है।