HTET परीक्षा - Level 3 Pgt - गणित

To determine why Option 2 (9605) is the correct answer, we need to understand the conditions given in the problem. The number, when divided by 8, 12, and 15, should always leave a remainder of 5. This means that the number can be expressed in the form:

[ \text{Number} = \text{LCM}(8, 12, 15) \times k + 5 ]

where ( k ) is an integer, and LCM stands for the least common multiple.

Step 1: Calculate the LCM of 8, 12, and 15

• Prime factorization of 8: ( 2^3 )
• Prime factorization of 12: ( 2^2 \times 3 )
• Prime factorization of 15: ( 3 \times 5 )

The LCM is obtained by taking the highest power of each prime number that appears in the factorizations:

• Highest power of 2: ( 2^3 = 8 )
• Highest power of 3: ( 3^1 = 3 )
• Highest power of 5: ( 5^1 = 5 )

Thus, the LCM is:

[ \text{LCM} = 8 \times 3 \times 5 = 120 ]

Step 2: Formulate the expression for the number

The number can be expressed as:

[ \text{Number} = 120k + 5 ]

Step 3: Verify each option

1. Option 1: 9505

   • ( 9505 - 5 = 9500 )
   • ( 9500 \div 120 = 79.1667 ) (not an integer)

2. Option 2: 9605

   • ( 9605 - 5 = 9600 )
   • ( 9600 \div 120 = 80 ) (an integer)

3. Option 3: 9705

   • ( 9705 - 5 = 9700 )
   • ( 9700 \div 120 = 80.8333 ) (not an integer)

4. Option 4: 9805

   • ( 9805 - 5 = 9800 )
   • ( 9800 \div 120 = 81.6667 ) (not an integer)

Conclusion:

Option 2 (9605) is the only number that, when reduced by 5, results in a multiple of 120. Therefore, it satisfies the condition of leaving a remainder of 5 when divided by 8, 12, and 15. This confirms that Option 2 is the correct answer.

संख्या को 8, 12 और 15 से भाग देने पर शेषफल 5 आता है। इसका मतलब है कि संख्या को 8, 12 और 15 से भाग देने पर शेषफल 5 होना चाहिए।

पहले, हम 8, 12 और 15 का लघुत्तम समापवर्तक (LCM) निकालते हैं।

8 के गुणनखंड: (2^3)
12 के गुणनखंड: (2^2 \times 3)
15 के गुणनखंड: (3 \times 5)

इनका LCM होगा: (2^3 \times 3 \times 5 = 120)

अब, हमें एक ऐसी संख्या चाहिए जो 120 से पूरी तरह विभाज्य हो और उसमें 5 जोड़ने पर वह संख्या बन जाए।

इसलिए, वह संख्या होगी (120k + 5), जहाँ (k) एक पूर्णांक है।

अब, हम दिए गए विकल्पों की जाँच करते हैं:

1. 9505: (9505 - 5 = 9500), और (9500 \div 120 = 79.1667), जो पूर्णांक नहीं है।
2. 9605: (9605 - 5 = 9600), और (9600 \div 120 = 80), जो पूर्णांक है।
3. 9705: (9705 - 5 = 9700), और (9700 \div 120 = 80.8333), जो पूर्णांक नहीं है।
4. 9805: (9805 - 5 = 9800), और (9800 \div 120 = 81.6667), जो पूर्णांक नहीं है।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 2 (9605) है क्योंकि यह 120 से पूरी तरह विभाज्य है जब 5 घटाया जाता है। अन्य विकल्पों में यह गुण नहीं है, इसलिए वे गलत हैं।

To determine how many numbers from 1 to 100 are completely divisible by 7, we need to find all the multiples of 7 within this range.

1. Identify the smallest multiple of 7 within the range:

   • The smallest multiple of 7 that is greater than or equal to 1 is 7 itself (7 x 1 = 7).

2. Identify the largest multiple of 7 within the range:

   • The largest multiple of 7 that is less than or equal to 100 is 98 (7 x 14 = 98).

3. Count the multiples of 7 between 7 and 98:

   • The multiples of 7 from 7 to 98 are: 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, and 98.
   • To count these, note that they form an arithmetic sequence where the first term (a) is 7, the common difference (d) is 7, and the last term (l) is 98.

4. Use the formula for the number of terms in an arithmetic sequence:

   • The formula for the number of terms (n) in an arithmetic sequence is given by:
     [
     n = \frac{l - a}{d} + 1
     ]
   • Substituting the values, we get:
     [
     n = \frac{98 - 7}{7} + 1 = \frac{91}{7} + 1 = 13 + 1 = 14
     ]

Therefore, there are 14 numbers from 1 to 100 that are completely divisible by 7, which confirms that Option 4 is correct.

Explanation of why other options are incorrect:

• Option 1 (9): This option is incorrect because, as calculated, there are more than 9 multiples of 7 within the range of 1 to 100.

• Option 2 (11): This option is incorrect because the actual count of multiples of 7 is 14, which is greater than 11.

• Option 3 (17): This option is incorrect because it overestimates the number of multiples of 7 within the given range. The correct count is 14, not 17.

In conclusion, the correct answer is Option 4, as there are exactly 14 numbers from 1 to 100 that are divisible by 7.

1 से 100 के मध्य ऐसी संख्याएँ जो 7 से पूर्णतया विभाजित होती हैं, उन्हें खोजने के लिए हमें 7 के गुणकों की सूची बनानी होगी।

7 से विभाजित होने वाली संख्याएँ: 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98

इन संख्याओं की कुल संख्या 14 है। इसलिए, 1 से 100 के मध्य 7 से पूर्णतया विभाजित होने वाली संख्याओं की संख्या 14 है।

अब, हम अन्य विकल्पों को गलत साबित करते हैं:

1. विकल्प 1 (9): यदि हम 7 के गुणकों की गणना करते हैं, तो 9 से अधिक संख्याएँ हैं जो 7 से विभाजित होती हैं। इसलिए, यह विकल्प गलत है।

2. विकल्प 2 (11): 7 के गुणकों की संख्या 14 है, जो 11 से अधिक है। इसलिए, यह विकल्प भी गलत है।

3. विकल्प 3 (17): 1 से 100 के बीच 7 के गुणकों की संख्या 14 है, जो 17 से कम है। इसलिए, यह विकल्प भी गलत है।

इस प्रकार, विकल्प 4 (14) सही है क्योंकि यह 1 से 100 के बीच 7 से विभाजित होने वाली संख्याओं की सही संख्या को दर्शाता है।

To determine the maximum possible number of Sundays in three consecutive calendar months, we need to consider the structure of the calendar and how days are distributed across months.

1. Explanation for Option 1 (14 Sundays):

   • A month can have a maximum of 31 days. If we consider three consecutive months, the maximum number of days they can collectively have is 31 + 31 + 31 = 93 days.
   • A week consists of 7 days. Therefore, in 93 days, there are 93 ÷ 7 = 13 full weeks and 2 extra days.
   • If the first of these three months starts on a Sunday, then every 7th day thereafter will also be a Sunday. This means there will be 13 Sundays from the full weeks.
   • Additionally, the two extra days can also include a Sunday if the sequence of days starts on a Sunday. Thus, there can be one more Sunday, making it a total of 14 Sundays.
   • Therefore, the maximum possible number of Sundays in three consecutive months is 14, which supports Option 1 as the correct answer.

2. Explanation for why other options are incorrect:

   • Option 2 (15 Sundays): It is not possible to have 15 Sundays in three consecutive months because the maximum number of days (93) only allows for 13 full weeks and 2 extra days. Even with the most favorable alignment of days, only one additional Sunday can occur beyond the 13 Sundays from full weeks, totaling 14 Sundays.
   • Option 3 (13 Sundays): While 13 Sundays are possible, this is not the maximum number. As explained, with the right alignment of days, an additional Sunday can occur, making 14 Sundays possible.
   • Option 4 (12 Sundays): This is fewer than the maximum possible number. Even with less favorable alignment, more than 12 Sundays can occur in three consecutive months.

In conclusion, the maximum possible number of Sundays in three consecutive calendar months is 14, making Option 1 the correct answer.

3 लगातार कैलेण्डर के महीनों में अधिकतम सम्भव रविवारों की संख्या 14 है। आइए इसे विस्तार से समझते हैं:

1. विकल्प 1: 14 (सही उत्तर)
   जब हम 3 लगातार महीनों की बात करते हैं, तो हमें यह देखना होता है कि इन महीनों में कितने रविवार आ सकते हैं। एक महीने में अधिकतम 5 रविवार हो सकते हैं, जैसे कि अगर महीना रविवार से शुरू होता है और 31 दिन का होता है।

   • पहले महीने में 5 रविवार हो सकते हैं।
   • दूसरे महीने में भी 5 रविवार हो सकते हैं।
   • तीसरे महीने में 4 रविवार हो सकते हैं।
     इस प्रकार, 5 + 5 + 4 = 14 रविवार हो सकते हैं। इसलिए, 3 लगातार महीनों में अधिकतम 14 रविवार हो सकते हैं।

2. विकल्प 2: 15
   यह विकल्प गलत है क्योंकि किसी भी 3 लगातार महीनों में 15 रविवार नहीं हो सकते। अधिकतम 14 रविवार ही संभव हैं, जैसा कि ऊपर समझाया गया है।

3. विकल्प 3: 13
   यह विकल्प गलत है क्योंकि 3 लगातार महीनों में 13 से अधिक रविवार हो सकते हैं। जैसा कि पहले बताया गया, 14 रविवार संभव हैं, इसलिए 13 से अधिक रविवार हो सकते हैं।

4. विकल्प 4: 12
   यह विकल्प भी गलत है क्योंकि 3 लगातार महीनों में 12 से अधिक रविवार हो सकते हैं। अधिकतम 14 रविवार संभव हैं, इसलिए 12 से अधिक रविवार हो सकते हैं।

इस प्रकार, 3 लगातार महीनों में अधिकतम सम्भव रविवारों की संख्या 14 है, जो विकल्प 1 को सही बनाता है।

In order to determine the number of odd days in a leap year, we need to understand the concept of odd days. An odd day is the number of days more than the complete weeks in a given period. A leap year consists of 366 days.

1. Calculation of Odd Days in a Leap Year:

   • A week consists of 7 days.
   • In a leap year, there are 366 days.
   • To find the number of odd days, we divide the total number of days by 7 and find the remainder.
   • ( 366 \div 7 = 52 ) weeks and a remainder of 2 days.
   • Therefore, there are 2 odd days in a leap year.

2. Explanation of Why Option 3 is Correct:

   • As calculated above, the remainder when 366 is divided by 7 is 2. This means there are 2 odd days in a leap year. Hence, Option 3, which states that there are 2 odd days, is correct.

3. Explanation of Why Other Options are Incorrect:

   • Option 1 (0 odd days): If there were 0 odd days, it would mean that the number of days in the year is a perfect multiple of 7, which is not the case for 366 days.
   • Option 2 (1 odd day): If there were 1 odd day, it would mean that the remainder when 366 is divided by 7 is 1, which is incorrect as the remainder is 2.
   • Option 4 (3 odd days): If there were 3 odd days, it would mean that the remainder when 366 is divided by 7 is 3, which is incorrect as the remainder is 2.

In conclusion, the correct answer is Option 3, which states that there are 2 odd days in a leap year. This is supported by the calculation and understanding of the concept of odd days.

एक लीप वर्ष में विषम दिनों की संख्या 2 होती है, और इसे समझने के लिए हमें पहले यह समझना होगा कि विषम दिन क्या होते हैं। विषम दिन वे दिन होते हैं जो एक सप्ताह के पूरे चक्र के बाद बच जाते हैं।

लीप वर्ष में कुल 366 दिन होते हैं। जब हम इन 366 दिनों को 7 (सप्ताह के दिनों की संख्या) से विभाजित करते हैं, तो हमें शेष दिन मिलते हैं, जो विषम दिन कहलाते हैं।

[ 366 \div 7 = 52 \text{ सप्ताह और } 2 \text{ दिन शेष} ]

इसलिए, लीप वर्ष में 2 विषम दिन होते हैं।

अब, आइए अन्य विकल्पों को देखें और समझें कि वे क्यों गलत हैं:

1. विकल्प 1 (0 विषम दिन): यदि 0 विषम दिन होते, तो इसका मतलब होता कि 366 दिन पूरी तरह से 7 से विभाजित हो जाते, जो संभव नहीं है क्योंकि 366 को 7 से विभाजित करने पर 2 दिन शेष रहते हैं।

2. विकल्प 2 (1 विषम दिन): 1 विषम दिन का मतलब होता कि 366 को 7 से विभाजित करने पर 1 दिन शेष रहता, लेकिन वास्तव में 2 दिन शेष रहते हैं।

3. विकल्प 4 (3 विषम दिन): 3 विषम दिन का मतलब होता कि 366 को 7 से विभाजित करने पर 3 दिन शेष रहते, लेकिन वास्तव में 2 दिन शेष रहते हैं।

इस प्रकार, विकल्प 3 सही है क्योंकि लीप वर्ष में 2 विषम दिन होते हैं।

To find the least number that, when divided by 12, 15, 20, and 54, leaves a remainder of 8, we need to follow these steps:

1. Understand the Problem: We are looking for a number ( N ) such that:
   [
   N \equiv 8 \pmod{12}, \quad N \equiv 8 \pmod{15}, \quad N \equiv 8 \pmod{20}, \quad N \equiv 8 \pmod{54}
   ]
   This means that ( N - 8 ) is a common multiple of 12, 15, 20, and 54.

2. Find the Least Common Multiple (LCM): Calculate the LCM of 12, 15, 20, and 54. The LCM is the smallest number that is divisible by each of these numbers.

   • Prime factorization:

     • ( 12 = 2^2 \times 3 )
     • ( 15 = 3 \times 5 )
     • ( 20 = 2^2 \times 5 )
     • ( 54 = 2 \times 3^3 )

   • LCM calculation:

     • Take the highest power of each prime that appears in the factorizations:
     • ( 2^2 ) (from 12 and 20)
     • ( 3^3 ) (from 54)
     • ( 5 ) (from 15 and 20)

   • LCM = ( 2^2 \times 3^3 \times 5 = 4 \times 27 \times 5 = 540 )

3. Determine the Number: Since ( N - 8 ) must be a multiple of the LCM (540), we have:
   [
   N = 540k + 8
   ]
   For the smallest positive ( N ), set ( k = 1 ):
   [
   N = 540 \times 1 + 8 = 548
   ]

4. Verify the Solution: Check that 548 leaves a remainder of 8 when divided by each of the numbers:

   • ( 548 \div 12 = 45 ) remainder 8
   • ( 548 \div 15 = 36 ) remainder 8
   • ( 548 \div 20 = 27 ) remainder 8
   • ( 548 \div 54 = 10 ) remainder 8

   All conditions are satisfied, confirming that 548 is the correct answer.

5. Explanation of Incorrect Options:

   • Option 1 (504): When divided by 12, 15, 20, or 54, 504 does not leave a remainder of 8.
   • Option 2 (540): 540 is the LCM, but it leaves a remainder of 0, not 8.
   • Option 3 (546): When divided by 12, 15, 20, or 54, 546 does not leave a remainder of 8.

Thus, Option 4 (548) is the correct answer, as it satisfies all the conditions of the problem.

इस प्रश्न में हमें वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात करनी है, जिसमें 12, 15, 20 और 54 से भाग देने पर प्रत्येक दशा में शेषफल 8 आता है।

इस समस्या को हल करने के लिए, हमें पहले इन संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करना होगा।

1. LCM निकालना:

   • 12 के गुणनखंड: (2^2 \times 3)
   • 15 के गुणनखंड: (3 \times 5)
   • 20 के गुणनखंड: (2^2 \times 5)
   • 54 के गुणनखंड: (2 \times 3^3)

   LCM निकालने के लिए, हम प्रत्येक अभाज्य संख्या का उच्चतम घातांक लेते हैं:

   • (2^2) (12 और 20 से)
   • (3^3) (54 से)
   • (5) (15 और 20 से)

   अतः, LCM = (2^2 \times 3^3 \times 5 = 4 \times 27 \times 5 = 540)

2. शेषफल 8 के लिए समायोजन:

   • हमें वह संख्या चाहिए जो 540 से 8 अधिक हो, ताकि 12, 15, 20 और 54 से भाग देने पर शेषफल 8 आए।
   • अतः, वह संख्या होगी (540 + 8 = 548)।

इस प्रकार, विकल्प 4 (548) सही उत्तर है क्योंकि यह वह सबसे छोटी संख्या है जो 12, 15, 20 और 54 से भाग देने पर शेषफल 8 देती है।

अन्य विकल्पों का विश्लेषण:

1. विकल्प 1 (504):

   • 504 को 12, 15, 20 और 54 से भाग देने पर शेषफल 8 नहीं आता है। यह संख्या LCM से कम है और शेषफल 8 के लिए उपयुक्त नहीं है।

2. विकल्प 2 (540):

   • 540 LCM है, लेकिन इसमें शेषफल 8 जोड़ने की आवश्यकता है। यह संख्या शेषफल 8 नहीं देती।

3. विकल्प 3 (546):

   • 546 को 12, 15, 20 और 54 से भाग देने पर शेषफल 8 नहीं आता है। यह संख्या भी उपयुक्त नहीं है।

इस प्रकार, विकल्प 4 (548) ही सही उत्तर है।

To determine which of the given years is a leap year, we need to understand the rules that define a leap year. According to the Gregorian calendar, a year is a leap year if:

1. It is divisible by 4.
2. However, if the year is divisible by 100, it is not a leap year, unless:
3. The year is also divisible by 400, in which case it is a leap year.

Now, let's apply these rules to each of the options:

1. 1800:

   • 1800 is divisible by 4 (1800 ÷ 4 = 450).
   • However, 1800 is also divisible by 100 (1800 ÷ 100 = 18), which means it is not a leap year unless it is divisible by 400.
   • 1800 is not divisible by 400 (1800 ÷ 400 = 4.5), so it is not a leap year.

2. 1900:

   • 1900 is divisible by 4 (1900 ÷ 4 = 475).
   • 1900 is also divisible by 100 (1900 ÷ 100 = 19), which means it is not a leap year unless it is divisible by 400.
   • 1900 is not divisible by 400 (1900 ÷ 400 = 4.75), so it is not a leap year.

3. 1700:

   • 1700 is divisible by 4 (1700 ÷ 4 = 425).
   • 1700 is also divisible by 100 (1700 ÷ 100 = 17), which means it is not a leap year unless it is divisible by 400.
   • 1700 is not divisible by 400 (1700 ÷ 400 = 4.25), so it is not a leap year.

4. 2000:

   • 2000 is divisible by 4 (2000 ÷ 4 = 500).
   • 2000 is also divisible by 100 (2000 ÷ 100 = 20), which means it is not a leap year unless it is divisible by 400.
   • 2000 is divisible by 400 (2000 ÷ 400 = 5), so it is a leap year.

Therefore, based on the rules of the Gregorian calendar, the year 2000 is a leap year, which makes Option 4 the correct answer. The other options (1800, 1900, and 1700) do not satisfy the conditions for being a leap year because they are not divisible by 400, even though they are divisible by 4 and 100.

लीप वर्ष का निर्धारण करने के लिए, हमें यह समझना होगा कि लीप वर्ष की गणना कैसे की जाती है। सामान्यतः, एक वर्ष लीप वर्ष होता है यदि:

1. वह 4 से विभाज्य हो, लेकिन 100 से विभाज्य न हो, या
2. वह 400 से विभाज्य हो।

अब हम दिए गए विकल्पों का विश्लेषण करते हैं:

1. 1800: यह वर्ष 4 से विभाज्य है, लेकिन 100 से भी विभाज्य है। चूंकि यह 400 से विभाज्य नहीं है, इसलिए यह लीप वर्ष नहीं है।

2. 1900: यह वर्ष 4 से विभाज्य है, लेकिन 100 से भी विभाज्य है। चूंकि यह 400 से विभाज्य नहीं है, इसलिए यह लीप वर्ष नहीं है।

3. 1700: यह वर्ष 4 से विभाज्य है, लेकिन 100 से भी विभाज्य है। चूंकि यह 400 से विभाज्य नहीं है, इसलिए यह लीप वर्ष नहीं है।

4. 2000: यह वर्ष 4 से विभाज्य है, और 100 से भी विभाज्य है। महत्वपूर्ण बात यह है कि यह 400 से भी विभाज्य है। इसलिए, यह लीप वर्ष है।

इस प्रकार, विकल्प 4 (2000) सही उत्तर है क्योंकि यह सभी लीप वर्ष के नियमों को पूरा करता है। अन्य विकल्प 1800, 1900, और 1700 लीप वर्ष नहीं हैं क्योंकि वे 400 से विभाज्य नहीं हैं।

To determine the smallest perfect square number that is exactly divisible by 4, 5, 6, 15, and 18, we need to follow these steps:

1. Find the Least Common Multiple (LCM):

   • First, we find the prime factorization of each number:

     • 4 = 2²
     • 5 = 5¹
     • 6 = 2 × 3
     • 15 = 3 × 5
     • 18 = 2 × 3²

   • The LCM is found by taking the highest power of each prime number that appears in these factorizations:

     • Highest power of 2: 2²
     • Highest power of 3: 3²
     • Highest power of 5: 5¹

   • Therefore, the LCM = 2² × 3² × 5 = 180.

2. Convert the LCM to a Perfect Square:

   • A perfect square must have even powers of all prime factors. The LCM of 180 is not a perfect square because:

     • 2² is already even.
     • 3² is already even.
     • 5¹ is odd.

   • To make it a perfect square, we need to multiply by 5 to make the power of 5 even:

     • New number = 180 × 5 = 900.

3. Verify that 900 is a Perfect Square:

   • The prime factorization of 900 is:
     • 900 = 2² × 3² × 5²
   • All prime factors have even powers, confirming that 900 is a perfect square.

4. Check Divisibility:

   • 900 is divisible by 4, 5, 6, 15, and 18 because it is a multiple of their LCM, 180.

Thus, the smallest perfect square number that is exactly divisible by 4, 5, 6, 15, and 18 is indeed 900, which corresponds to Option 3.

Explanation for Incorrect Options:

• Option 1 (800):

  • The prime factorization of 800 is 2⁵ × 5². It is not a perfect square because the power of 2 is odd.

• Option 2 (225):

  • The prime factorization of 225 is 3² × 5². While it is a perfect square, it is not divisible by 4 or 18.

• Option 4 (361):

  • The prime factorization of 361 is 19². It is a perfect square but not divisible by any of the given numbers except 1.

Therefore, Option 3 (900) is the correct answer as it satisfies all the conditions of being a perfect square and divisible by the given numbers.

छोटी से छोटी पूर्ण वर्ग संख्या जो 4, 5, 6, 15 तथा 18 से पूर्णतः विभाजित होनी चाहिए, उसे खोजने के लिए हमें इन संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक (LCM) ज्ञात करना होगा।

1. LCM का निर्धारण:

   • 4 = (2^2)
   • 5 = (5^1)
   • 6 = (2^1 \times 3^1)
   • 15 = (3^1 \times 5^1)
   • 18 = (2^1 \times 3^2)

   LCM में प्रत्येक अभाज्य संख्या का उच्चतम घातांक लिया जाता है:

   • (2^2) (4 से)
   • (3^2) (18 से)
   • (5^1) (5 और 15 से)

   अतः, LCM = (2^2 \times 3^2 \times 5 = 180)

2. पूर्ण वर्ग संख्या:

   • 180 को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए, हमें इसे (2^2 \times 3^2 \times 5^2) में बदलना होगा, ताकि सभी अभाज्य संख्याओं के घातांक सम हो जाएं।
   • (5^2) जोड़ने के लिए, हमें 180 को 5 से गुणा करना होगा, जिससे हमें 900 प्राप्त होता है।

3. पूर्ण वर्ग संख्या 900:

   • 900 = (30^2), जो एक पूर्ण वर्ग संख्या है।
   • यह 4, 5, 6, 15, और 18 से पूर्णतः विभाजित होती है।

4. अन्य विकल्पों का विश्लेषण:

   • 800: यह पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है और 180 का गुणज भी नहीं है।
   • 225: यह पूर्ण वर्ग संख्या है ((15^2)), लेकिन 180 का गुणज नहीं है।
   • 361: यह पूर्ण वर्ग संख्या है ((19^2)), लेकिन 180 का गुणज नहीं है।

इस प्रकार, विकल्प 3 (900) सही उत्तर है क्योंकि यह 4, 5, 6, 15, और 18 से पूर्णतः विभाजित होने वाली सबसे छोटी पूर्ण वर्ग संख्या है।

The Hindu-Arabic numeral of LXXXVI is 86. Let's break down the Roman numeral LXXXVI to understand why Option 3 is the correct answer:

1. L represents 50.
2. X represents 10. Since there are two X's following L, they add up to 20 (10 + 10).
3. V represents 5.
4. I represents 1.

When you add these values together, you get:

• L (50) + X (10) + X (10) + V (5) + I (1) = 86

Therefore, the Hindu-Arabic numeral for LXXXVI is indeed 86, which corresponds to Option 3.

Now, let's explain why the other options are incorrect:

• Option 1: 95 - This is incorrect because the Roman numeral for 95 would be XCV, not LXXXVI. XCV is composed of XC (90) and V (5), which adds up to 95.

• Option 2: 56 - This is incorrect because the Roman numeral for 56 would be LVI, not LXXXVI. LVI is composed of L (50), V (5), and I (1), which adds up to 56.

• Option 4: 126 - This is incorrect because the Roman numeral for 126 would be CXXVI, not LXXXVI. CXXVI is composed of C (100), XX (20), V (5), and I (1), which adds up to 126.

In conclusion, the correct Hindu-Arabic numeral for LXXXVI is 86, making Option 3 the correct choice.

LXXXVI का हिन्दू-अरबी अंक 86 है। आइए इसे विस्तार से समझते हैं:

1. LXXXVI का विश्लेषण:

   • L = 50
   • X = 10
   • X = 10
   • X = 10
   • V = 5
   • I = 1

   इन सभी को जोड़ने पर हमें मिलता है: 50 + 10 + 10 + 10 + 5 + 1 = 86

   इसलिए, LXXXVI का हिन्दू-अरबी अंक 86 है, जो विकल्प 3 के रूप में सही उत्तर है।

2. अन्य विकल्पों का विश्लेषण:

   • विकल्प 1: 95 - यह गलत है क्योंकि LXXXVI का मूल्य 95 नहीं है।
   • विकल्प 2: 56 - यह भी गलत है क्योंकि LXXXVI का मूल्य 56 नहीं है।
   • विकल्प 4: 126 - यह भी गलत है क्योंकि LXXXVI का मूल्य 126 नहीं है।

इस प्रकार, विकल्प 3 सही है क्योंकि LXXXVI का सही हिन्दू-अरबी अंक 86 है।

To explain why Option 4 is the correct answer, we need to analyze the product of the successor and predecessor of an even natural number.

Let's denote the even natural number as ( n ). The successor of ( n ) is ( n + 1 ), and the predecessor is ( n - 1 ). The product of the successor and predecessor is:

[
(n - 1) \times (n + 1) = n^2 - 1
]

This expression, ( n^2 - 1 ), is known as the difference of squares, which can be factored as:

[
(n - 1)(n + 1) = n^2 - 1 = (n - 1)(n + 1)
]

Now, let's evaluate why this product is always an odd number:

1. Even Natural Number: Since ( n ) is even, it can be expressed as ( n = 2k ) for some integer ( k ). Therefore, ( n^2 = (2k)^2 = 4k^2 ), which is clearly even.

2. Subtracting 1: When you subtract 1 from an even number, the result is always odd. Therefore, ( n^2 - 1 ) is odd.

Thus, the product of the successor and predecessor of an even natural number is always an odd number, confirming that Option 4 is correct.

Now, let's explain why the other options are incorrect:

1. Option 1: Divisible by 2 - Since ( n^2 - 1 ) is odd, it cannot be divisible by 2. An odd number is not divisible by 2.

2. Option 2: Divisible by 3 - There is no general rule that states ( n^2 - 1 ) is divisible by 3 for all even ( n ). While it might be true for specific cases, it is not universally true for all even natural numbers.

3. Option 3: Divisible by 4 - Similarly, ( n^2 - 1 ) is not guaranteed to be divisible by 4. For example, if ( n = 2 ), then ( n^2 - 1 = 3 ), which is not divisible by 4.

In conclusion, the product of the successor and predecessor of an even natural number is always an odd number, making Option 4 the correct answer.

सम प्राकृतिक संख्या के परवर्ती तथा पूर्ववर्ती का गुणनफल हमेशा एक विषम संख्या होता है। इसे समझने के लिए, हम एक सम प्राकृतिक संख्या ( n ) को लेते हैं। इसके परवर्ती और पूर्ववर्ती क्रमशः ( n+1 ) और ( n-1 ) होंगे। अब हम इन दोनों का गुणनफल निकालते हैं:

[ (n-1) \times (n+1) = n^2 - 1 ]

यह गुणनफल ( n^2 - 1 ) है। अब, चूंकि ( n ) एक सम संख्या है, इसका अर्थ है कि ( n ) को 2 से विभाजित किया जा सकता है। जब हम ( n^2 ) की बात करते हैं, तो यह भी 2 से विभाजित होगा क्योंकि ( n ) सम है। लेकिन ( n^2 - 1 ) में से 1 घटाने पर यह विषम संख्या बन जाती है। इसलिए, ( n^2 - 1 ) हमेशा एक विषम संख्या होगी।

अब अन्य विकल्पों को देखते हैं:

1. 2 से विभाजित: ( n^2 - 1 ) विषम संख्या है, इसलिए यह 2 से विभाजित नहीं हो सकती।

2. 3 से विभाजित: यह आवश्यक नहीं है कि ( n^2 - 1 ) हमेशा 3 से विभाजित हो। उदाहरण के लिए, यदि ( n = 4 ), तो ( n^2 - 1 = 15 ), जो 3 से विभाजित नहीं है।

3. 4 से विभाजित: ( n^2 - 1 ) का 4 से विभाजित होना भी आवश्यक नहीं है। उदाहरण के लिए, यदि ( n = 6 ), तो ( n^2 - 1 = 35 ), जो 4 से विभाजित नहीं है।

इस प्रकार, ( n^2 - 1 ) हमेशा एक विषम संख्या होती है, जो विकल्प 4 को सही ठहराता है।

To determine the sum of odd numbers from 1 to 50, we need to first identify the sequence of odd numbers within this range. The odd numbers from 1 to 50 are: 1, 3, 5, 7, ..., 49.

This sequence is an arithmetic series where the first term ( a = 1 ), the last term ( l = 49 ), and the common difference ( d = 2 ).

The formula for the sum ( S_n ) of an arithmetic series is:

[ S_n = \frac{n}{2} \times (a + l) ]

First, we need to find the number of terms ( n ) in the series. The formula for the ( n )-th term of an arithmetic sequence is:

[ a_n = a + (n-1) \times d ]

Setting ( a_n = 49 ), we solve for ( n ):

[ 49 = 1 + (n-1) \times 2 ]

[ 49 = 1 + 2n - 2 ]

[ 49 = 2n - 1 ]

[ 50 = 2n ]

[ n = 25 ]

Now, we can calculate the sum using the sum formula:

[ S_{25} = \frac{25}{2} \times (1 + 49) ]

[ S_{25} = \frac{25}{2} \times 50 ]

[ S_{25} = 25 \times 25 ]

[ S_{25} = 625 ]

Thus, the sum of odd numbers from 1 to 50 is 625, which confirms that Option 1 is correct.

Explanation for Incorrect Options:

• Option 2 (650): This option is incorrect because the calculation of the sum of the series using the arithmetic series formula results in 625, not 650. The arithmetic progression and the number of terms have been correctly calculated, and 650 does not match the result of the formula.

• Option 3 (667): This option is incorrect for the same reason as Option 2. The sum of the series calculated using the correct arithmetic progression formula is 625, and 667 is not the result of this calculation.

• Option 4 (670): This option is incorrect because, as with the other incorrect options, the sum of the odd numbers from 1 to 50 is 625, not 670. The arithmetic series formula has been applied correctly, and 670 does not match the calculated sum.

In conclusion, the correct answer is Option 1, as the sum of the odd numbers from 1 to 50 is indeed 625.

1 से 50 तक की विषम संख्याओं का योगफल निकालने के लिए हमें उन सभी विषम संख्याओं को जोड़ना होगा जो इस सीमा के भीतर आती हैं। विषम संख्याएं 1, 3, 5, ..., 49 तक होती हैं।

विषम संख्याओं की श्रृंखला: 1, 3, 5, 7, ..., 49

यह एक अंकगणितीय श्रेणी है, जिसमें पहला पद (a) 1 है और अंतर (d) 2 है। इस श्रेणी में कुल पदों की संख्या (n) ज्ञात करने के लिए हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

[ a_n = a + (n-1) \times d ]

जहां ( a_n ) अंतिम पद है, जो 49 है।

[ 49 = 1 + (n-1) \times 2 ]

[ 49 - 1 = (n-1) \times 2 ]

[ 48 = (n-1) \times 2 ]

[ n-1 = 24 ]

[ n = 25 ]

इसलिए, इस श्रेणी में 25 पद हैं।

अब, इन पदों का योगफल निकालने के लिए हम अंकगणितीय श्रेणी के योग का सूत्र उपयोग करेंगे:

[ S_n = \frac{n}{2} \times (a + a_n) ]

[ S_{25} = \frac{25}{2} \times (1 + 49) ]

[ S_{25} = \frac{25}{2} \times 50 ]

[ S_{25} = 25 \times 25 ]

[ S_{25} = 625 ]

इसलिए, 1 से 50 तक की विषम संख्याओं का योगफल 625 है, जो विकल्प 1 के अनुसार सही उत्तर है।

अन्य विकल्पों की गलतियों का स्पष्टीकरण:

2. 650: यह संख्या 1 से 50 तक की विषम संख्याओं के योगफल से अधिक है। गणना के अनुसार, सही योगफल 625 है।

3. 667: यह संख्या भी 1 से 50 तक की विषम संख्याओं के योगफल से अधिक है। सही उत्तर 625 है।

4. 670: यह संख्या भी सही उत्तर से अधिक है। सही योगफल 625 है।

इस प्रकार, विकल्प 1 सही उत्तर है।

To determine the difference between the place value and face value of 7 in the number 937521, we need to understand the concepts of place value and face value.

1. Face Value: The face value of a digit is the value of the digit itself, irrespective of its position in the number. For the digit 7, the face value is simply 7.

2. Place Value: The place value of a digit depends on its position in the number. In the number 937521, the digit 7 is in the thousands place. Therefore, the place value of 7 is calculated as:
   [
   7 \times 1000 = 7000
   ]

3. Difference: The difference between the place value and the face value of 7 is:
   [
   7000 - 7 = 6993
   ]

Thus, the correct answer is Option 3: 6993.

Explanation of Incorrect Options:

• Option 1: 7514: This option is incorrect because it does not represent the difference between the place value (7000) and the face value (7) of the digit 7. The calculation for this option would imply a different mathematical operation or misunderstanding of place and face values.

• Option 2: 521: This option is incorrect because it does not match the calculated difference of 6993. The number 521 does not relate to the place value or face value of 7 in any logical way within the context of this problem.

• Option 4: None of these: This option is incorrect because we have already determined that Option 3 correctly represents the difference between the place value and face value of 7, which is 6993.

Therefore, based on the calculations and logical reasoning provided, Option 3 is indeed the correct answer.

संख्या 937521 में 7 के स्थानीय मान तथा जातीय मान का अन्तर निकालने के लिए हमें पहले दोनों मानों को समझना होगा।

1. स्थानीय मान (Place Value): किसी संख्या में एक अंक का स्थानीय मान उस अंक के स्थान पर निर्भर करता है। संख्या 937521 में, 7 का स्थानीय मान 7000 है क्योंकि 7 हजारों के स्थान पर है।

2. जातीय मान (Face Value): किसी संख्या में एक अंक का जातीय मान वही होता है जो अंक स्वयं होता है। संख्या 937521 में, 7 का जातीय मान 7 है।

अब, 7 के स्थानीय मान और जातीय मान का अंतर निकालते हैं:

स्थानीय मान - जातीय मान = 7000 - 7 = 6993

इसलिए, 7 के स्थानीय मान और जातीय मान का अंतर 6993 है।

अब देखते हैं कि अन्य विकल्प क्यों गलत हैं:

1. विकल्प 1: 7514 - यह गलत है क्योंकि 7 के स्थानीय और जातीय मान का अंतर 6993 है, न कि 7514।

2. विकल्प 2: 521 - यह भी गलत है क्योंकि यह संख्या 7 के स्थानीय और जातीय मान के अंतर से मेल नहीं खाती।

3. विकल्प 4: इनमें से कोई नहीं - यह विकल्प भी गलत है क्योंकि हमने स्पष्ट रूप से गणना की है कि अंतर 6993 है, जो विकल्प 3 में दिया गया है।

इस प्रकार, विकल्प 3 सही है क्योंकि यह 7 के स्थानीय और जातीय मान के अंतर को सही रूप से दर्शाता है।

Explanation:

1. Correct Answer: Option 3 - "Three crore sixty lakh five thousand twenty three"

   • The number 36005023 is read by breaking it down according to the Indian numbering system, which uses terms like crore, lakh, thousand, etc.
   • The number can be divided as follows:
     • Crore: The first two digits (36) represent "three crore sixty lakh" because 36,000,000 is equivalent to 3 crore 60 lakh.
     • Thousand: The next three digits (005) represent "five thousand" because 5,000 is simply five thousand.
     • Units: The last three digits (023) represent "twenty three."
   • Therefore, when combined, the number is read as "Three crore sixty lakh five thousand twenty three."

2. Explanation of Incorrect Options:

   • Option 1: "Three crore sixty lakh five hundred twenty three"

     • This option incorrectly places "five hundred" instead of "five thousand." The number 36005023 has a "five thousand" component, not "five hundred."

   • Option 2: "Thirty six crore five thousand twenty three"

     • This option incorrectly reads the number as "thirty six crore," which would imply a much larger number (3,600,502,300). The correct reading should start with "three crore sixty lakh."

   • Option 4: "Three crore sixty thousand five hundred twenty three"

     • This option incorrectly places "sixty thousand" instead of "sixty lakh." The number 36005023 clearly has a "sixty lakh" component, not "sixty thousand."

By following the Indian numbering system and correctly identifying each segment of the number, Option 3 is the accurate representation of 36005023.

संख्या 36005023 को पढ़ने के लिए सही विकल्प विकल्प 3 है: "तीन करोड़ साठ लाख पाँच हजार तेईस"। आइए इसे विस्तार से समझते हैं:

1. विकल्प 3 की सही व्याख्या:

   • संख्या 36005023 को भारतीय संख्या प्रणाली में पढ़ते समय, हम इसे अलग-अलग भागों में विभाजित करते हैं:
     • "3" करोड़ के स्थान पर है, इसलिए यह "तीन करोड़" होगा।
     • "60" लाख के स्थान पर है, इसलिए यह "साठ लाख" होगा।
     • "005" हजार के स्थान पर है, इसलिए यह "पाँच हजार" होगा।
     • "023" इकाई के स्थान पर है, इसलिए यह "तेईस" होगा।
   • इस प्रकार, संख्या को पढ़ा जाएगा "तीन करोड़ साठ लाख पाँच हजार तेईस"।

2. अन्य विकल्पों की गलतियाँ:

   • विकल्प 1: "तीन करोड़ साठ लाख पाँच सौ तेईस":

     • यहाँ "पाँच सौ" का उल्लेख है, जबकि संख्या में "पाँच हजार" होना चाहिए। इसलिए यह विकल्प गलत है।

   • विकल्प 2: "छत्तीस करोड़ पाँच हजार तेईस":

     • यहाँ "छत्तीस करोड़" का उल्लेख है, जबकि सही संख्या "तीन करोड़ साठ लाख" है। इसलिए यह विकल्प गलत है।

   • विकल्प 4: "तीन करोड़ साठ हजार पाँच सौ तेईस":

     • यहाँ "साठ हजार" का उल्लेख है, जबकि सही संख्या "साठ लाख" है। इसलिए यह विकल्प गलत है।

इस प्रकार, विकल्प 3 सही है क्योंकि यह संख्या 36005023 को सही ढंग से पढ़ता है।

To solve the problem, we need to find a two-digit number that satisfies two conditions: it is four times the sum of its digits and three times the product of its digits. Let's analyze each option to determine why Option 4 (24) is the correct answer.

Explanation for Option 4 (24):

1. Sum of the digits: The digits of the number 24 are 2 and 4. The sum of these digits is 2 + 4 = 6.
2. Four times the sum: Four times the sum of the digits is 4 × 6 = 24. This matches the number itself.
3. Product of the digits: The product of the digits is 2 × 4 = 8.
4. Three times the product: Three times the product of the digits is 3 × 8 = 24. This also matches the number itself.

Since both conditions are satisfied, Option 4 (24) is indeed the correct answer.

Explanation for why other options are incorrect:

1. Option 1 (12):

   • Sum of the digits: 1 + 2 = 3
   • Four times the sum: 4 × 3 = 12 (This matches the number, but let's check the second condition)
   • Product of the digits: 1 × 2 = 2
   • Three times the product: 3 × 2 = 6 (This does not match the number)

2. Option 2 (22):

   • Sum of the digits: 2 + 2 = 4
   • Four times the sum: 4 × 4 = 16 (This does not match the number)
   • Product of the digits: 2 × 2 = 4
   • Three times the product: 3 × 4 = 12 (This does not match the number)

3. Option 3 (14):

   • Sum of the digits: 1 + 4 = 5
   • Four times the sum: 4 × 5 = 20 (This does not match the number)
   • Product of the digits: 1 × 4 = 4
   • Three times the product: 3 × 4 = 12 (This does not match the number)

In conclusion, Option 4 (24) is the only number that satisfies both conditions: it is four times the sum of its digits and three times the product of its digits. Therefore, Option 4 is the correct answer.

संख्या को ज्ञात करने के लिए, हम दिए गए शर्तों का उपयोग करेंगे।

शर्तें:

1. दो अंकीय संख्या, उन अंकों के योग का चार गुणा है।
2. दो अंकीय संख्या, उन अंकों के गुणन का तिगुना है।

मान लीजिए कि संख्या के अंक ( x ) और ( y ) हैं, तो संख्या होगी ( 10x + y )।

पहली शर्त के अनुसार:
[ 10x + y = 4(x + y) ]
[ 10x + y = 4x + 4y ]
[ 6x = 3y ]
[ 2x = y ] ...(i)

दूसरी शर्त के अनुसार:
[ 10x + y = 3(x \times y) ]
[ 10x + y = 3xy ]

अब, ( y = 2x ) को दूसरी शर्त में डालते हैं:
[ 10x + 2x = 3x \times 2x ]
[ 12x = 6x^2 ]
[ 2 = x ]

अब, ( x = 2 ) है, तो ( y = 2x = 4 ) होगा।

इस प्रकार, संख्या ( 10x + y = 10 \times 2 + 4 = 24 ) है।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 4 है: 24।

अन्य विकल्पों की जांच:

1. विकल्प 1: 12

   • ( 1 + 2 = 3 ), ( 4 \times 3 = 12 ) (सही)
   • ( 1 \times 2 = 2 ), ( 3 \times 2 = 6 \neq 12 ) (गलत)

2. विकल्प 2: 22

   • ( 2 + 2 = 4 ), ( 4 \times 4 = 16 \neq 22 ) (गलत)
   • ( 2 \times 2 = 4 ), ( 3 \times 4 = 12 \neq 22 ) (गलत)

3. विकल्प 3: 14

   • ( 1 + 4 = 5 ), ( 4 \times 5 = 20 \neq 14 ) (गलत)
   • ( 1 \times 4 = 4 ), ( 3 \times 4 = 12 \neq 14 ) (गलत)

इस प्रकार, केवल विकल्प 4: 24 ही सभी शर्तों को पूरा करता है।

To solve the problem of finding three consecutive multiples of 11 whose sum is 363, we can use the following logical reasoning:

1. Understanding the Problem:

   • We need to find three consecutive numbers that are multiples of 11.
   • Let these multiples be (11x), (11(x+1)), and (11(x+2)).

2. Setting Up the Equation:

   • The sum of these three multiples is given as 363.
   • Therefore, the equation is:
     [
     11x + 11(x+1) + 11(x+2) = 363
     ]

3. Simplifying the Equation:

   • Combine the terms:
     [
     11x + 11x + 11 + 11x + 22 = 363
     ]
   • Simplify further:
     [
     33x + 33 = 363
     ]

4. Solving for (x):

   • Subtract 33 from both sides:
     [
     33x = 330
     ]
   • Divide by 33:
     [
     x = 10
     ]

5. Finding the Multiples:

   • Substitute (x = 10) back into the expressions for the multiples:
     • First multiple: (11 \times 10 = 110)
     • Second multiple: (11 \times 11 = 121)
     • Third multiple: (11 \times 12 = 132)

6. Verification:

   • Check the sum: (110 + 121 + 132 = 363), which matches the given sum.

Explanation of Options:

• Option 1: 110, 121, 132

  • This option correctly lists the three consecutive multiples of 11 that add up to 363, as demonstrated above.

• Option 2: Wed Nov 22 1933 13:30:00 GMT+0530 (GMT+05:30)

  • This option is not relevant as it is a date and time, not a set of numbers.

• Option 3: 121, 132, 143

  • Although these are consecutive numbers, they are not all multiples of 11. Specifically, 143 is not a multiple of 11.

• Option 4: 132, 143, 154

  • These numbers are not consecutive multiples of 11. While 132 is a multiple of 11, 143 is not.

Thus, Option 1 is the correct answer, as it accurately represents the three consecutive multiples of 11 that sum to 363.

सही उत्तर विकल्प 1 है: 110, 121, 132

विस्तृत व्याख्या:

1. विकल्प 1: 110, 121, 132

   • तीन क्रमागत संख्याओं का योग 363 है।
   • 110 + 121 + 132 = 363
   • ये सभी संख्याएँ 11 के गुणज हैं:
     • 110 = 11 × 10
     • 121 = 11 × 11
     • 132 = 11 × 12
   • इस प्रकार, विकल्प 1 सही है क्योंकि यह सभी शर्तों को पूरा करता है।

2. विकल्प 2: Wed Nov 22 1933 13:30:00 GMT+0530 (GMT+05:30)

   • यह विकल्प एक तिथि और समय है, जो कि संख्याओं का समूह नहीं है।
   • यह 11 के गुणज या तीन क्रमागत संख्याओं के योग से संबंधित नहीं है।
   • इसलिए, यह विकल्प गलत है।

3. विकल्प 3: 121, 132, 143

   • इन संख्याओं का योग: 121 + 132 + 143 = 396
   • 396 ≠ 363, इसलिए यह विकल्प गलत है।
   • हालांकि 121 और 132, 11 के गुणज हैं, 143 भी 11 का गुणज है (11 × 13), लेकिन योग 363 नहीं है।

4. विकल्प 4: 132, 143, 154

   • इन संख्याओं का योग: 132 + 143 + 154 = 429
   • 429 ≠ 363, इसलिए यह विकल्प गलत है।
   • हालांकि ये सभी संख्याएँ 11 के गुणज हैं, लेकिन योग 363 नहीं है।

इस प्रकार, विकल्प 1 सही उत्तर है क्योंकि यह सभी शर्तों को पूरा करता है: तीन क्रमागत संख्याएँ हैं, जो 11 के गुणज हैं और उनका योग 363 है।

The least prime number is 2, which is correctly identified as Option 3. Here is a detailed explanation supporting this:

1. Explanation for Option 3 (2):

   • A prime number is defined as a natural number greater than 1 that has no positive divisors other than 1 and itself. The number 2 fits this definition perfectly as it is greater than 1 and can only be divided evenly by 1 and 2. Additionally, 2 is the smallest number that meets these criteria, making it the least prime number. It is also the only even prime number, as all other even numbers can be divided by 2, making them non-prime.

2. Explanation for why other options are incorrect:

   • Option 1 (0): The number 0 is not considered a prime number. Prime numbers must be greater than 1, and 0 does not meet this criterion. Additionally, 0 has an infinite number of divisors, which disqualifies it from being prime.
   • Option 2 (1): The number 1 is not a prime number. By definition, a prime number must have exactly two distinct positive divisors: 1 and itself. The number 1 only has one positive divisor (1), so it does not meet the criteria for being a prime number.
   • Option 4 (3): While 3 is a prime number, it is not the least prime number. The number 2 is smaller than 3 and is also a prime number, making 2 the least prime number. Therefore, Option 4 is incorrect in the context of identifying the least prime number.

In conclusion, Option 3 is the correct answer because 2 is the smallest number that satisfies the conditions of being a prime number.

सबसे छोटी अभाज्य संख्या 2 है, जो विकल्प 3 में दी गई है। आइए इसे विस्तार से समझते हैं:

1. अभाज्य संख्या की परिभाषा: अभाज्य संख्या वह संख्या होती है जो केवल 1 और स्वयं से विभाजित होती है। इसका मतलब है कि उसके दो ही भाजक होते हैं: 1 और वह संख्या स्वयं।

2. विकल्प 3 (2) क्यों सही है:

   • 2 एकमात्र ऐसी संख्या है जो केवल 1 और 2 से विभाजित होती है।
   • यह सबसे छोटी संख्या है जो इस परिभाषा को पूरा करती है, इसलिए यह सबसे छोटी अभाज्य संख्या है।

3. अन्य विकल्प क्यों गलत हैं:

   • विकल्प 1 (0): 0 को किसी भी संख्या से विभाजित किया जा सकता है, इसलिए इसके अनगिनत भाजक होते हैं। यह अभाज्य संख्या की परिभाषा को पूरा नहीं करता।
   • विकल्प 2 (1): 1 का केवल एक ही भाजक है, जो कि 1 स्वयं है। अभाज्य संख्या के लिए कम से कम दो भाजक होने चाहिए, इसलिए 1 अभाज्य संख्या नहीं है।
   • विकल्प 4 (3): यद्यपि 3 एक अभाज्य संख्या है, यह 2 से बड़ी है। प्रश्न में सबसे छोटी अभाज्य संख्या पूछी गई है, इसलिए 3 सही उत्तर नहीं हो सकता।

इस प्रकार, विकल्प 3 (2) सही उत्तर है क्योंकि यह सबसे छोटी अभाज्य संख्या है।

To solve the problem, we need to determine the sum of the last three natural numbers in a group of six consecutive natural numbers, given that the sum of the first three is 36.

Let's denote the six consecutive natural numbers as ( n, n+1, n+2, n+3, n+4, n+5 ).

1. Sum of the first three numbers:
   [
   n + (n+1) + (n+2) = 3n + 3
   ]
   We are given that this sum is 36:
   [
   3n + 3 = 36
   ]
   Solving for ( n ):
   [
   3n = 36 - 3 = 33
   ]
   [
   n = 11
   ]

2. Identifying the six numbers:
   With ( n = 11 ), the six consecutive numbers are:
   [
   11, 12, 13, 14, 15, 16
   ]

3. Sum of the last three numbers:
   The last three numbers are ( 14, 15, ) and ( 16 ).
   [
   14 + 15 + 16 = 45
   ]

Thus, the sum of the last three natural numbers is 45, which corresponds to Option 1.

Explanation for why other options are incorrect:

• Option 2 (52): This would imply a different set of numbers or incorrect calculation, which does not align with the given conditions.
• Option 3 (56): Similarly, this sum does not match the sum of the last three numbers in the sequence derived from the given conditions.
• Option 4 (55): This is also incorrect as it does not correspond to the sum of the last three numbers calculated from the sequence.

Therefore, based on the logical steps and calculations, Option 1 is indeed the correct answer.

छः लगातार आने वाली प्राकृत संख्याओं को ( n, n+1, n+2, n+3, n+4, n+5 ) के रूप में माना जा सकता है।

पहली तीन प्राकृत संख्याओं का योग दिया गया है:
[ n + (n+1) + (n+2) = 36 ]

इसका समाधान करते हैं:
[ n + n + 1 + n + 2 = 36 ]
[ 3n + 3 = 36 ]
[ 3n = 36 - 3 ]
[ 3n = 33 ]
[ n = 11 ]

अब, अंतिम तीन संख्याओं का योग निकालते हैं:
[ (n+3) + (n+4) + (n+5) ]

इन संख्याओं को ( n = 11 ) के मान के साथ रखते हैं:
[ (11+3) + (11+4) + (11+5) ]
[ 14 + 15 + 16 ]
[ = 45 ]

इस प्रकार, अंतिम तीन संख्याओं का योग 45 है। इसलिए, सही उत्तर विकल्प 1 है।

अब, अन्य विकल्पों के गलत होने का कारण:
2. 52: यह गलत है क्योंकि अंतिम तीन संख्याओं का योग 45 है, न कि 52।
3. 56: यह भी गलत है क्योंकि 45 के बजाय 56 नहीं आता।
4. 55: यह गलत है क्योंकि सही योग 45 है, न कि 55।

इस प्रकार, विकल्प 1 सही है और अन्य विकल्प गलत हैं।

Option 3, (\sqrt{2}), is not a rational number. A rational number is defined as any number that can be expressed as the quotient or fraction (\frac{p}{q}) of two integers, where (p) and (q) are integers and (q \neq 0).

1. Explanation for Option 3 ((\sqrt{2})):

   • (\sqrt{2}) is an irrational number. It cannot be expressed as a fraction of two integers. The decimal representation of (\sqrt{2}) is non-terminating and non-repeating, approximately 1.41421356..., which further confirms its irrationality. The proof of (\sqrt{2}) being irrational is a classic example in mathematics, often demonstrated by contradiction, showing that no fraction (\frac{p}{q}) can exactly equal (\sqrt{2}).

2. Explanation for why the other options are incorrect:

   • Option 1 ((\frac{15}{4})): This is a rational number because it is expressed as a fraction of two integers, 15 and 4. The division results in a terminating decimal, 3.75, which is characteristic of rational numbers.
   • Option 2 ((\frac{10}{3})): This is also a rational number. It is expressed as a fraction of two integers, 10 and 3. The division results in a repeating decimal, 3.333..., which is another characteristic of rational numbers.
   • Option 4 ((\frac{21}{4})): This is a rational number as well, expressed as a fraction of two integers, 21 and 4. The division results in a terminating decimal, 5.25, confirming its rationality.

In conclusion, Option 3 ((\sqrt{2})) is the correct answer as it is the only option that represents an irrational number, while all other options are rational numbers.

परिमेय संख्या वह संख्या होती है जिसे दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ हर अनुपात का हर पूर्णांक एक पूर्णांक होता है और हर अनुपात का हर हर पूर्णांक शून्य नहीं होता है।

अब हम दिए गए विकल्पों का विश्लेषण करते हैं:

1. (\frac{15}{4}): यह संख्या दो पूर्णांकों 15 और 4 के अनुपात के रूप में लिखी गई है। इसलिए, यह एक परिमेय संख्या है।

2. (\frac{10}{3}): यह संख्या भी दो पूर्णांकों 10 और 3 के अनुपात के रूप में लिखी गई है। इसलिए, यह भी एक परिमेय संख्या है।

3. (\sqrt{2}): यह संख्या एक अपरिमेय संख्या है। (\sqrt{2}) को किसी भी दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में नहीं लिखा जा सकता है। यह एक गैर-समाप्त होने वाली और गैर-आवर्ती दशमलव संख्या है, जो इसे अपरिमेय बनाती है।

4. (\frac{21}{4}): यह संख्या भी दो पूर्णांकों 21 और 4 के अनुपात के रूप में लिखी गई है। इसलिए, यह भी एक परिमेय संख्या है।

इस प्रकार, (\sqrt{2}) (विकल्प 3) एकमात्र संख्या है जो परिमेय संख्या नहीं है। यही कारण है कि विकल्प 3 सही उत्तर है।