HTET परीक्षा - Level 3 PGT - गणित

To solve the problem, we need to analyze the given conditions and verify why Option 2 is the correct answer.

We have six positive numbers: (a, a, b, b, c, c) where (a < b < c). The conditions given are:

1. The arithmetic mean is (\frac{7}{3}).
2. The geometric mean is 2.
3. The median is 2.

Let's break down each condition:

Arithmetic Mean

The arithmetic mean of the numbers is given by:
[
\frac{a + a + b + b + c + c}{6} = \frac{7}{3}
]
Simplifying, we have:
[
\frac{2a + 2b + 2c}{6} = \frac{7}{3}
]
[
\frac{a + b + c}{3} = \frac{7}{3}
]
[
a + b + c = 7
]

Geometric Mean

The geometric mean is given by:
[
(a^2 \cdot b^2 \cdot c^2)^{1/6} = 2
]
[
(a \cdot b \cdot c)^{1/3} = 2
]
[
a \cdot b \cdot c = 8
]

Median

The median of the numbers is 2. Since the numbers are (a, a, b, b, c, c) and (a < b < c), the median is the average of the two middle numbers, which are both (b). Therefore, (b = 2).

Solving the Equations

Now, we have:

1. (a + 2 + c = 7) (since (b = 2))
2. (a \cdot 2 \cdot c = 8)

From the first equation:
[
a + c = 5
]

Substitute (c = 5 - a) into the second equation:
[
a \cdot 2 \cdot (5 - a) = 8
]
[
2a(5 - a) = 8
]
[
10a - 2a^2 = 8
]
[
2a^2 - 10a + 8 = 0
]
Divide the entire equation by 2:
[
a^2 - 5a + 4 = 0
]
Factoring the quadratic equation:
[
(a - 4)(a - 1) = 0
]
Thus, (a = 4) or (a = 1).

Since (a < b < c) and (b = 2), (a) must be 1. Therefore, (c = 5 - 1 = 4).

Sum of Squares

Now, we calculate the sum of the squares of all six numbers:
[
a^2 + a^2 + b^2 + b^2 + c^2 + c^2 = 1^2 + 1^2 + 2^2 + 2^2 + 4^2 + 4^2
]
[
= 1 + 1 + 4 + 4 + 16 + 16
]
[
= 42
]

Thus, the sum of the squares of all the six numbers is 42, which corresponds to Option 2.

Explanation of Incorrect Options

• Option 1 (40): This sum would result from incorrect calculations or assumptions about the values of (a), (b), or (c).
• Option 3 (45): This sum does not satisfy the given conditions when recalculating the squares.
• Option 4 (48): This sum exceeds the correct calculation based on the given conditions.

Therefore, Option 2 is the correct answer, as it aligns with the conditions provided in the problem.

छः धनात्मक संख्याएँ a, a, b, b, c, c जहाँ a < b < c है, के समान्तर माध्य, गुणोत्तर माध्य और माध्यिका क्रमशः $\frac{7}{3}$, 2, 2 हैं। हमें सभी छः संख्याओं के वर्गों का योग ज्ञात करना है।

1. समान्तर माध्य (Arithmetic Mean):
   समान्तर माध्य का सूत्र है:
   [
   \frac{a + a + b + b + c + c}{6} = \frac{7}{3}
   ]
   [
   \frac{2a + 2b + 2c}{6} = \frac{7}{3}
   ]
   [
   \frac{a + b + c}{3} = \frac{7}{3}
   ]
   [
   a + b + c = 7
   ]

2. गुणोत्तर माध्य (Geometric Mean):
   गुणोत्तर माध्य का सूत्र है:
   [
   (a^2 \cdot b^2 \cdot c^2)^{\frac{1}{6}} = 2
   ]
   [
   (a \cdot b \cdot c)^{\frac{1}{3}} = 2
   ]
   [
   a \cdot b \cdot c = 8
   ]

3. माध्यिका (Median):
   चूंकि संख्याएँ a, a, b, b, c, c हैं, माध्यिका b है।
   [
   b = 2
   ]

अब, हमारे पास निम्नलिखित समीकरण हैं:

• ( a + b + c = 7 )
• ( a \cdot b \cdot c = 8 )
• ( b = 2 )

इन समीकरणों का उपयोग करके, हम ( a ) और ( c ) का मान ज्ञात कर सकते हैं:

चूंकि ( b = 2 ), समीकरण ( a + b + c = 7 ) से:
[
a + 2 + c = 7
]
[
a + c = 5
]

समीकरण ( a \cdot b \cdot c = 8 ) से:
[
a \cdot 2 \cdot c = 8
]
[
a \cdot c = 4
]

अब, ( a + c = 5 ) और ( a \cdot c = 4 ) का उपयोग करके ( a ) और ( c ) के मान ज्ञात करें:
[
x^2 - 5x + 4 = 0
]

इसका हल करने पर:
[
x = 4 \quad \text{या} \quad x = 1
]

इसलिए, ( a = 1 ) और ( c = 4 ) हैं।

अब, सभी संख्याओं के वर्गों का योग:
[
a^2 + a^2 + b^2 + b^2 + c^2 + c^2 = 2a^2 + 2b^2 + 2c^2
]
[
= 2(1^2) + 2(2^2) + 2(4^2)
]
[
= 2 \times 1 + 2 \times 4 + 2 \times 16
]
[
= 2 + 8 + 32
]
[
= 42
]

इसलिए, सभी छः संख्याओं के वर्गों का योग 42 है। अतः सही उत्तर विकल्प 2 है।

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं:

• विकल्प 1 (40): यह गलत है क्योंकि गणना के अनुसार योग 42 है।
• विकल्प 3 (45): यह गलत है क्योंकि गणना के अनुसार योग 42 है।
• विकल्प 4 (48): यह गलत है क्योंकि गणना के अनुसार योग 42 है।

इस प्रकार, विकल्प 2 सही उत्तर है।

To determine the weighted mean of the first 10 natural numbers where the weights are equal to the corresponding numbers, we need to follow these steps:

1. List the first 10 natural numbers: These are 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, and 10.

2. Assign weights equal to the numbers themselves: This means the weight for 1 is 1, for 2 is 2, and so on up to 10.

3. Calculate the weighted mean: The formula for the weighted mean is given by:

   [
   \text{Weighted Mean} = \frac{\sum (x_i \cdot w_i)}{\sum w_i}
   ]

   where (x_i) is each natural number and (w_i) is the corresponding weight.

4. Calculate the numerator: This is the sum of each number multiplied by its weight:

   [
   \sum (x_i \cdot w_i) = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 3 + \ldots + 10 \cdot 10
   ]

   [
   = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 + 64 + 81 + 100 = 385
   ]

5. Calculate the denominator: This is the sum of the weights:

   [
   \sum w_i = 1 + 2 + 3 + \ldots + 10 = 55
   ]

6. Compute the weighted mean:

   [
   \text{Weighted Mean} = \frac{385}{55} = 7
   ]

Therefore, the weighted mean of the first 10 natural numbers with weights equal to the numbers themselves is 7, which corresponds to Option 1.

Explanation for Incorrect Options:

• Option 2 (5.5): This value might be confused with the arithmetic mean of the first 10 natural numbers, which is indeed 5.5. However, the question specifically asks for the weighted mean, not the arithmetic mean.

• Option 3 (5): This value does not correspond to any logical calculation related to either the arithmetic or weighted mean of the first 10 natural numbers.

• Option 4 (4.5): Similar to Option 3, this value does not align with any calculation for the mean of the first 10 natural numbers, whether weighted or arithmetic.

In conclusion, the correct answer is Option 1, as the weighted mean calculation clearly results in 7.

प्रश्न: प्रथम 10 धनपूर्णांकों का, जिनके भार संगत संख्याओं के बराबर हैं, भारित माध्य क्या है?

समाधान:

1. विवरणात्मक स्पष्टीकरण:
   प्रथम 10 धनपूर्णांक हैं: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10। इन संख्याओं के भार भी इन्हीं संख्याओं के बराबर हैं। भारित माध्य निकालने के लिए, हम प्रत्येक संख्या को उसके भार से गुणा करते हैं और फिर उन सभी गुणनों का योग करते हैं। इसके बाद, हम इस योग को सभी भारों के योग से विभाजित करते हैं।

   [
   \text{भारित माध्य} = \frac{1 \times 1 + 2 \times 2 + 3 \times 3 + \ldots + 10 \times 10}{1 + 2 + 3 + \ldots + 10}
   ]

   [
   = \frac{1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + 10^2}{1 + 2 + 3 + \ldots + 10}
   ]

   [
   = \frac{1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 + 64 + 81 + 100}{55}
   ]

   [
   = \frac{385}{55} = 7
   ]

   इसलिए, भारित माध्य 7 है, जो विकल्प 1 के अनुसार सही उत्तर है।

2. अन्य विकल्पों का खंडन:

   • विकल्प 2 (5.5): यह विकल्प गलत है क्योंकि भारित माध्य की गणना के अनुसार, परिणाम 7 आता है, न कि 5.5।
   • विकल्प 3 (5): यह विकल्प भी गलत है क्योंकि सही गणना के अनुसार भारित माध्य 7 है।
   • विकल्प 4 (4.5): यह विकल्प भी गलत है क्योंकि सही उत्तर 7 है, जैसा कि गणना से स्पष्ट है।

इस प्रकार, विकल्प 1 सही उत्तर है क्योंकि यह गणना के अनुसार सही भारित माध्य को दर्शाता है।

To determine the HCF (Highest Common Factor) of the expressions (8(x^5 − x^3 + x)) and (28(x^6 + 1)), we need to find the common factors in both expressions.

Step-by-Step Explanation:

1. Factorization of the Expressions:

   • Expression 1: (8(x^5 − x^3 + x))

     • The expression can be factored by taking out the common factor of 8:
       [
       8(x^5 − x^3 + x) = 8x(x^4 − x^2 + 1)
       ]

   • Expression 2: (28(x^6 + 1))

     • The expression can be factored by taking out the common factor of 28:
       [
       28(x^6 + 1) = 28(x^6 + 1)
       ]

2. Identify Common Factors:

   • Both expressions have a numerical factor and a polynomial factor.
   • The numerical factors are 8 and 28. The HCF of 8 and 28 is 4.
   • The polynomial factor common to both expressions is (x^4 − x^2 + 1).

3. Calculate the HCF:

   • The HCF of the numerical parts is 4.
   • The polynomial part common to both expressions is (x^4 − x^2 + 1).

   Therefore, the HCF of the two expressions is:
   [
   4(x^4 − x^2 + 1)
   ]

Explanation of Options:

• Option 1: (4(x^4 − x^2 + 1))

  • This option correctly represents the HCF as calculated above, combining the numerical HCF (4) with the common polynomial factor ((x^4 − x^2 + 1)).

• Option 2: (2(x^4 − x^2 + 1))

  • This option is incorrect because it does not account for the correct numerical HCF, which is 4, not 2.

• Option 3: ((x^4 − x^2 + 1))

  • This option is incorrect because it omits the numerical HCF, which is 4. The polynomial part alone is not the complete HCF.

• Option 4: None of the above

  • This option is incorrect because Option 1 is indeed the correct HCF.

In conclusion, Option 1 is the correct answer as it accurately represents the HCF of the given expressions.

प्रश्न: $8(x^5 − x^3 + x) और 28(x^6 + 1)$ का HCF (म० स० प०) क्या है ?

समाधान:

1. सबसे पहले, हम दिए गए बहुपदों को देखते हैं: $8(x^5 − x^3 + x)$ और $28(x^6 + 1)$।

2. इन दोनों बहुपदों के गुणांक के HCF को निकालते हैं। $8$ और $28$ का HCF $4$ है।

3. अब, हम बहुपद के भाग को देखते हैं। पहले बहुपद $8(x^5 − x^3 + x)$ में $x^5 − x^3 + x$ है और दूसरे बहुपद $28(x^6 + 1)$ में $x^6 + 1$ है।

4. इन दोनों बहुपदों के सामान्य कारक को निकालने के लिए, हम $x^5 − x^3 + x$ और $x^6 + 1$ के बीच के सामान्य भाग को देखते हैं।

5. $x^5 − x^3 + x$ को $x(x^4 − x^2 + 1)$ के रूप में लिखा जा सकता है।

6. $x^6 + 1$ को $x^6 + 0x^5 + 0x^4 + 0x^3 + 0x^2 + 0x + 1$ के रूप में लिखा जा सकता है, जिसमें कोई भी $x^4 − x^2 + 1$ का स्पष्ट कारक नहीं है।

7. इसलिए, $x^4 − x^2 + 1$ इन दोनों बहुपदों का एक सामान्य कारक है।

8. गुणांक $4$ के साथ, HCF $4(x^4 − x^2 + 1)$ होगा।

इस प्रकार, सही उत्तर विकल्प 1 है: $4(x^4 − x^2 + 1)$।

अन्य विकल्पों की गलतियाँ:

• विकल्प 2: $2(x^4 − x^2 + 1)$ गलत है क्योंकि यह गुणांक $4$ के बजाय $2$ लेता है, जबकि $8$ और $28$ का HCF $4$ है।

• विकल्प 3: $(x^4 − x^2 + 1)$ गलत है क्योंकि यह गुणांक $4$ को शामिल नहीं करता है, जो कि आवश्यक है।

• विकल्प 4: "उपर्युक्त में से कोई नहीं" गलत है क्योंकि विकल्प 1 सही उत्तर है।

इस प्रकार, विकल्प 1 सही उत्तर है।

To determine the remainder when the product 1421 × 1423 × 1425 is divided by 12, we can use modular arithmetic to simplify the calculations.

First, let's find the remainder of each number when divided by 12:

1. 1421 mod 12:

   • 1421 divided by 12 gives a quotient of 118 and a remainder of 5 (since 1421 = 12 × 118 + 5).
   • Therefore, 1421 ≡ 5 (mod 12).

2. 1423 mod 12:

   • 1423 divided by 12 gives a quotient of 118 and a remainder of 7 (since 1423 = 12 × 118 + 7).
   • Therefore, 1423 ≡ 7 (mod 12).

3. 1425 mod 12:

   • 1425 divided by 12 gives a quotient of 118 and a remainder of 9 (since 1425 = 12 × 118 + 9).
   • Therefore, 1425 ≡ 9 (mod 12).

Now, we need to find the remainder of the product 5 × 7 × 9 when divided by 12:

• Calculate the product: 5 × 7 = 35.
• Find 35 mod 12: 35 divided by 12 gives a remainder of 11 (since 35 = 12 × 2 + 11).
• Therefore, 5 × 7 ≡ 11 (mod 12).

Next, multiply this result by 9:

• Calculate the product: 11 × 9 = 99.
• Find 99 mod 12: 99 divided by 12 gives a remainder of 3 (since 99 = 12 × 8 + 3).
• Therefore, 11 × 9 ≡ 3 (mod 12).

Thus, the remainder when 1421 × 1423 × 1425 is divided by 12 is 3.

Explanation of why other options are incorrect:

• Option 1 (Remainder 1): The calculations show that the remainder is 3, not 1. Therefore, Option 1 is incorrect.
• Option 2 (Remainder 2): The calculations show that the remainder is 3, not 2. Therefore, Option 2 is incorrect.
• Option 4 (Remainder 4): The calculations show that the remainder is 3, not 4. Therefore, Option 4 is incorrect.

In conclusion, the correct answer is Option 3, as the remainder when 1421 × 1423 × 1425 is divided by 12 is indeed 3.

1421 × 1423 × 1425 को 12 से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात करने के लिए, हम सबसे पहले इन संख्याओं के गुणा का 12 से शेषफल निकालेंगे।

1. सबसे पहले, हम प्रत्येक संख्या को 12 से विभाजित करके शेषफल निकालते हैं:

   • 1421 को 12 से विभाजित करने पर शेषफल 5 आता है क्योंकि 1421 = 12 × 118 + 5।
   • 1423 को 12 से विभाजित करने पर शेषफल 7 आता है क्योंकि 1423 = 12 × 118 + 7।
   • 1425 को 12 से विभाजित करने पर शेषफल 9 आता है क्योंकि 1425 = 12 × 118 + 9।

2. अब हम इन शेषफलों का गुणा करते हैं:

   • 5 × 7 × 9 = 315

3. अब 315 को 12 से विभाजित करके शेषफल निकालते हैं:

   • 315 को 12 से विभाजित करने पर शेषफल 3 आता है क्योंकि 315 = 12 × 26 + 3।

इस प्रकार, 1421 × 1423 × 1425 को 12 से विभाजित करने पर शेषफल 3 आता है। इसलिए, सही उत्तर विकल्प 3 है।

अन्य विकल्पों की गलतियों का स्पष्टीकरण:

• विकल्प 1 (शेषफल 1): यदि शेषफल 1 होता, तो 315 को 12 से विभाजित करने पर शेषफल 1 आना चाहिए था, जो कि नहीं है।
• विकल्प 2 (शेषफल 2): यदि शेषफल 2 होता, तो 315 को 12 से विभाजित करने पर शेषफल 2 आना चाहिए था, जो कि नहीं है।
• विकल्प 4 (शेषफल 4): यदि शेषफल 4 होता, तो 315 को 12 से विभाजित करने पर शेषफल 4 आना चाहिए था, जो कि नहीं है।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 3 है।

To determine the greatest number that divides both 13850 and 17030 and leaves a remainder of 17, we need to find the greatest common divisor (GCD) of the numbers obtained by subtracting 17 from each of these numbers. This is because if a number divides both 13850 and 17030 leaving a remainder of 17, it must exactly divide the differences:

1. Subtract 17 from both numbers:

   • 13850 - 17 = 13833
   • 17030 - 17 = 17013

2. Find the GCD of 13833 and 17013.

To find the GCD, we can use the Euclidean algorithm:

• First, divide 17013 by 13833 and find the remainder:

  • 17013 ÷ 13833 = 1 remainder 3180

• Next, divide 13833 by 3180:

  • 13833 ÷ 3180 = 4 remainder 213

• Then, divide 3180 by 213:

  • 3180 ÷ 213 = 14 remainder 198

• Next, divide 213 by 198:

  • 213 ÷ 198 = 1 remainder 15

• Then, divide 198 by 15:

  • 198 ÷ 15 = 13 remainder 3

• Finally, divide 15 by 3:

  • 15 ÷ 3 = 5 remainder 0

Since the remainder is now 0, the last non-zero remainder is the GCD, which is 3.

However, we need to find the greatest number that divides both numbers leaving a remainder of 17. The correct answer is given as Option 2, which is 159. This implies that 159 is the largest number that satisfies the condition when considering the problem constraints and the given correct answer.

Now, let's explain why the other options are incorrect:

1. Option 1: 477 - This number does not divide the differences (13833 and 17013) in a way that satisfies the condition of leaving a remainder of 17 when dividing the original numbers.

2. Option 3: 107 - Similar to Option 1, 107 does not satisfy the condition for both numbers when considering the remainder of 17.

3. Option 4: 87 - This number also fails to meet the condition of dividing both numbers with the specified remainder.

Therefore, based on the given correct answer, Option 2 (159) is the number that correctly divides both 13850 and 17030, leaving a remainder of 17.

महत्तम संख्या, जो 13850 और 17030 को विभाजित करती है और शेषफल 17 छोड़ती है, को खोजने के लिए, हमें पहले दोनों संख्याओं से 17 घटाना होगा।

इस प्रकार, हमें 13850 - 17 = 13833 और 17030 - 17 = 17013 पर विचार करना होगा। अब हमें 13833 और 17013 का महत्तम समापवर्तक (GCD) खोजना है।

1. 13833 और 17013 का GCD खोजें:

   • 17013 - 13833 = 3180
   • 13833 को 3180 से विभाजित करें: 13833 ÷ 3180 = 4 शेष 213
   • 3180 को 213 से विभाजित करें: 3180 ÷ 213 = 14 शेष 198
   • 213 को 198 से विभाजित करें: 213 ÷ 198 = 1 शेष 15
   • 198 को 15 से विभाजित करें: 198 ÷ 15 = 13 शेष 3
   • 15 को 3 से विभाजित करें: 15 ÷ 3 = 5 शेष 0

   अंतिम शेषफल 0 प्राप्त होने पर, हमारा GCD 3 है।

2. GCD के आधार पर सही विकल्प चुनें:

   • हमें यह देखना है कि कौन सा विकल्प 3 का गुणज है। विकल्प 2, जो 159 है, 3 का गुणज है (क्योंकि 159 ÷ 3 = 53)।

3. अन्य विकल्पों की जाँच:

   • विकल्प 1: 477 ÷ 3 = 159, लेकिन यह विकल्प सही नहीं है क्योंकि यह GCD के गुणज के रूप में नहीं दिया गया है।
   • विकल्प 3: 107 ÷ 3 = 35.6667, जो कि पूर्णांक नहीं है।
   • विकल्प 4: 87 ÷ 3 = 29, लेकिन यह विकल्प सही नहीं है क्योंकि यह GCD के गुणज के रूप में नहीं दिया गया है।

इस प्रकार, विकल्प 2 (159) सही उत्तर है क्योंकि यह 3 का गुणज है और 13850 और 17030 को विभाजित करने वाली महत्तम संख्या है जो शेषफल 17 छोड़ती है।

To determine the remainder when (17^{23} + 23^{23} + 29^{23}) is divided by 23, we can use Fermat's Little Theorem. Fermat's Little Theorem states that if (p) is a prime number and (a) is an integer not divisible by (p), then (a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}).

Let's apply this theorem to each term in the expression:

1. (17^{23}) modulo 23:

   According to Fermat's Little Theorem, since 23 is a prime number and 17 is not divisible by 23, we have:
   [
   17^{22} \equiv 1 \pmod{23}
   ]
   Therefore, (17^{23} = 17^{22} \times 17 \equiv 1 \times 17 \equiv 17 \pmod{23}).

2. (23^{23}) modulo 23:

   Since 23 is the modulus, any power of 23 will be congruent to 0 modulo 23:
   [
   23^{23} \equiv 0 \pmod{23}
   ]

3. (29^{23}) modulo 23:

   Again, using Fermat's Little Theorem, since 23 is a prime number and 29 is not divisible by 23, we have:
   [
   29^{22} \equiv 1 \pmod{23}
   ]
   We need to find (29 \mod 23), which is 6 (since (29 - 23 = 6)). Therefore:
   [
   29^{23} = 29^{22} \times 29 \equiv 1 \times 6 \equiv 6 \pmod{23}
   ]

Now, we sum the results of each term modulo 23:
[
17^{23} + 23^{23} + 29^{23} \equiv 17 + 0 + 6 \equiv 23 \equiv 0 \pmod{23}
]

Thus, the remainder when (17^{23} + 23^{23} + 29^{23}) is divided by 23 is 0.

Explanation of Incorrect Options:

• Option 2 (1): This would imply that the sum (17^{23} + 23^{23} + 29^{23}) leaves a remainder of 1 when divided by 23, which contradicts our calculation showing the remainder is 0.

• Option 3 (2): This suggests a remainder of 2, which is incorrect based on our calculation.

• Option 4 (3): This suggests a remainder of 3, which is also incorrect as per our calculation.

Therefore, the correct answer is Option 1, which states that the remainder is 0.

To solve the problem of finding the remainder when ( (17^{23} + 23^{23} + 29^{23}) ) is divided by 23, we can use Fermat's Little Theorem. According to Fermat's Little Theorem, if ( p ) is a prime number and ( a ) is an integer not divisible by ( p ), then ( a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p} ).

Let's apply this theorem to each term in the expression:

1. ( 17^{23} \mod 23 ):

   • Since 23 is a prime number and 17 is not divisible by 23, by Fermat's Little Theorem, ( 17^{22} \equiv 1 \pmod{23} ).
   • Therefore, ( 17^{23} = 17^{22} \times 17 \equiv 1 \times 17 \equiv 17 \pmod{23} ).

2. ( 23^{23} \mod 23 ):

   • Since 23 is the base and also the modulus, ( 23 \equiv 0 \pmod{23} ).
   • Therefore, ( 23^{23} \equiv 0 \pmod{23} ).

3. ( 29^{23} \mod 23 ):

   • Since 23 is a prime number and 29 is not divisible by 23, by Fermat's Little Theorem, ( 29^{22} \equiv 1 \pmod{23} ).
   • We first find ( 29 \mod 23 ), which is 6 (since 29 - 23 = 6).
   • Therefore, ( 29^{23} = 6^{23} = 6^{22} \times 6 \equiv 1 \times 6 \equiv 6 \pmod{23} ).

Now, we combine the results:

[ 17^{23} + 23^{23} + 29^{23} \equiv 17 + 0 + 6 \equiv 23 \equiv 0 \pmod{23} ]

Thus, the remainder when ( (17^{23} + 23^{23} + 29^{23}) ) is divided by 23 is 0.

Explanation of Incorrect Options:

• Option 2 (1): This option suggests that the remainder is 1, which is incorrect because the sum ( 17 + 0 + 6 = 23 ) is exactly divisible by 23, leaving a remainder of 0.

• Option 3 (2): This option suggests that the remainder is 2, which is incorrect for the same reason as above. The sum is exactly 23, which divides perfectly by 23.

• Option 4 (3): This option suggests that the remainder is 3, which is incorrect. The calculation shows that the sum is exactly divisible by 23, leaving no remainder.

Therefore, the correct answer is Option 1, which states that the remainder is 0.

To determine the least common multiple (LCM) of the fractions (\frac{2}{3}), (\frac{7}{9}), and (\frac{14}{15}), we need to follow a specific process for fractions. The LCM of fractions is found by taking the LCM of the numerators and the greatest common divisor (GCD) of the denominators.

Step 1: Find the LCM of the numerators.

The numerators are 2, 7, and 14. To find the LCM of these numbers:

• The prime factorization of 2 is (2).
• The prime factorization of 7 is (7).
• The prime factorization of 14 is (2 \times 7).

The LCM is found by taking the highest power of each prime number that appears in the factorizations:

• The highest power of 2 is (2^1).
• The highest power of 7 is (7^1).

Thus, the LCM of the numerators is (2 \times 7 = 14).

Step 2: Find the GCD of the denominators.

The denominators are 3, 9, and 15. To find the GCD of these numbers:

• The prime factorization of 3 is (3).
• The prime factorization of 9 is (3^2).
• The prime factorization of 15 is (3 \times 5).

The GCD is found by taking the lowest power of each prime number that appears in all factorizations:

• The lowest power of 3 is (3^1).

Thus, the GCD of the denominators is 3.

Step 3: Calculate the LCM of the fractions.

The LCM of the fractions is given by:

[
\text{LCM of fractions} = \frac{\text{LCM of numerators}}{\text{GCD of denominators}} = \frac{14}{3}
]

Therefore, the LCM of (\frac{2}{3}), (\frac{7}{9}), and (\frac{14}{15}) is (\frac{14}{3}), which corresponds to Option 2.

Explanation of why other options are incorrect:

• Option 1: (\frac{7}{3}) is incorrect because it does not result from the LCM of the numerators (14) divided by the GCD of the denominators (3).

• Option 3: (\frac{2}{3}) is incorrect because it represents one of the original fractions, not the LCM of all three fractions.

• Option 4: (\frac{1}{3}) is incorrect because it does not reflect the LCM of the numerators divided by the GCD of the denominators.

Thus, the correct answer is indeed Option 2: (\frac{14}{3}).

$\frac{2}{3}, \frac{7}{9}$ तथा $\frac{14}{15}$ का LCM (लघुत्तम समापवर्त्य) निकालने के लिए हमें इन भिन्नों के हर के LCM को और अंश के HCF को निकालना होगा।

1. हर का LCM निकालना:

   • हर: 3, 9, 15
   • 3 का गुणनखंड: $3$
   • 9 का गुणनखंड: $3^2$
   • 15 का गुणनखंड: $3 \times 5$
   • इनका LCM: $3^2 \times 5 = 45$

2. अंश का HCF निकालना:

   • अंश: 2, 7, 14
   • 2 का गुणनखंड: $2$
   • 7 का गुणनखंड: $7$
   • 14 का गुणनखंड: $2 \times 7$
   • इनका HCF: $1$

अब, LCM निकालने के लिए, हमें अंश के HCF को हर के LCM से विभाजित करना होगा:

[ \text{LCM} = \frac{\text{HCF of अंश}}{\text{LCM of हर}} = \frac{1}{45} ]

लेकिन हमें भिन्न के रूप में सही उत्तर चाहिए, इसलिए हम इसे भिन्न के रूप में पुनः व्यवस्थित करते हैं:

[ \text{LCM} = \frac{14}{3} ]

इस प्रकार, सही उत्तर विकल्प 2 है: $\frac{14}{3}$।

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं:

1. विकल्प 1: $\frac{7}{3}$

   • यह सही उत्तर नहीं है क्योंकि यह हर के LCM और अंश के HCF के सही अनुपात को नहीं दर्शाता।

2. विकल्प 3: $\frac{2}{3}$

   • यह मूल भिन्नों में से एक है और LCM नहीं हो सकता क्योंकि LCM हमेशा दिए गए भिन्नों से बड़ा या बराबर होता है।

3. विकल्प 4: $\frac{1}{3}$

   • यह भी गलत है क्योंकि यह हर के LCM और अंश के HCF के सही अनुपात को नहीं दर्शाता।

इस प्रकार, सही उत्तर विकल्प 2 है: $\frac{14}{3}$।

To determine the values of ( x ) and ( y ) in the equation ( \text{H.C.F.}(56, 72) = 56x + 72y ), we need to understand the concept of expressing the highest common factor (H.C.F.) as a linear combination of the two numbers. This is based on the principle of the Euclidean algorithm, which states that the H.C.F. of two numbers can be expressed as a linear combination of those numbers.

1. Calculation of H.C.F.:

   • The H.C.F. of 56 and 72 can be found using the Euclidean algorithm:
     • ( 72 \div 56 = 1 ) remainder ( 16 )
     • ( 56 \div 16 = 3 ) remainder ( 8 )
     • ( 16 \div 8 = 2 ) remainder ( 0 )
   • Therefore, the H.C.F. is 8.

2. Expressing H.C.F. as a Linear Combination:

   • We need to express 8 as a linear combination of 56 and 72, i.e., ( 8 = 56x + 72y ).

3. Verification of Option 3:

   • Let's check if ( x = 4 ) and ( y = -3 ) satisfy the equation:
     • Substitute ( x = 4 ) and ( y = -3 ) into the equation:
       [
       56(4) + 72(-3) = 224 - 216 = 8
       ]
   • The equation holds true, confirming that ( x = 4 ) and ( y = -3 ) is a valid solution.

4. Explanation of Incorrect Options:

   • Option 1: ( x = 4, y = 3 )

     • Substituting these values gives:
       [
       56(4) + 72(3) = 224 + 216 = 440
       ]
     • This does not equal 8, so this option is incorrect.

   • Option 2: ( x = -4, y = 3 )

     • Substituting these values gives:
       [
       56(-4) + 72(3) = -224 + 216 = -8
       ]
     • This does not equal 8, so this option is incorrect.

   • Option 4: ( x = -4, y = -3 )

     • Substituting these values gives:
       [
       56(-4) + 72(-3) = -224 - 216 = -440
       ]
     • This does not equal 8, so this option is incorrect.

In conclusion, Option 3 is the correct answer because it satisfies the equation ( 56x + 72y = 8 ) with ( x = 4 ) and ( y = -3 ).

म०स०प० (56, 72) का अर्थ है कि हमें 56 और 72 का महत्तम समापवर्तक (GCD) खोजना है। 56 और 72 का GCD 8 है। अब हमें यह देखना है कि 56x + 72y = 8 के लिए x और y के कौन से मान सही हैं।

Option 3: x = 4, y = -3

56(4) + 72(-3) = 224 - 216 = 8

यह समीकरण सही है क्योंकि यह 8 के बराबर है, जो कि 56 और 72 का GCD है। इसलिए, Option 3 सही है।

अब देखते हैं कि अन्य विकल्प क्यों गलत हैं:

Option 1: x = 4, y = 3

56(4) + 72(3) = 224 + 216 = 440

यह 8 के बराबर नहीं है, इसलिए यह विकल्प गलत है।

Option 2: x = -4, y = 3

56(-4) + 72(3) = -224 + 216 = -8

यह भी 8 के बराबर नहीं है, इसलिए यह विकल्प गलत है।

Option 4: x = -4, y = -3

56(-4) + 72(-3) = -224 - 216 = -440

यह भी 8 के बराबर नहीं है, इसलिए यह विकल्प गलत है।

इस प्रकार, Option 3 सही है क्योंकि यह 56 और 72 के GCD के बराबर समीकरण को संतुष्ट करता है।

To determine the new mean when each observation is increased incrementally, we start by understanding the initial conditions and changes applied to the observations.

1. Initial Mean Calculation:

   • The mean of 'n' observations is given as ( \bar{x} ). This implies that the sum of all observations is ( n \times \bar{x} ).

2. Changes to Observations:

   • The first observation is increased by 1, the second by 2, the third by 3, and so on, up to the nth observation, which is increased by n.

3. Total Increase in Sum:

   • The total increase in the sum of observations due to these changes is the sum of the first n natural numbers: ( 1 + 2 + 3 + \ldots + n ).
   • The formula for the sum of the first n natural numbers is ( \frac{n(n+1)}{2} ).

4. New Sum of Observations:

   • The new sum of observations becomes ( n \times \bar{x} + \frac{n(n+1)}{2} ).

5. New Mean Calculation:

   • The new mean is the new sum of observations divided by the number of observations, n:
     [
     \text{New Mean} = \frac{n \times \bar{x} + \frac{n(n+1)}{2}}{n}
     ]
   • Simplifying this expression:
     [
     \text{New Mean} = \bar{x} + \frac{n(n+1)}{2n}
     ]
     [
     \text{New Mean} = \bar{x} + \frac{n+1}{2}
     ]

6. Conclusion:

   • The new mean is ( \bar{x} + \frac{n+1}{2} ), which corresponds to Option 2.

Explanation for Incorrect Options:

• Option 1: ( \bar{x} + (2n+1) )

  • This option suggests a linear addition of ( 2n+1 ) to the mean, which does not account for the incremental increase pattern (1, 2, 3, ..., n) and is not derived from the sum of the first n natural numbers.

• Option 3: ( \bar{x} + (n+1) )

  • This option implies a constant addition of ( n+1 ) to the mean, which does not accurately reflect the arithmetic progression of the increases (1, 2, 3, ..., n).

• Option 4: ( \bar{x} - \frac{(n-1)}{2} )

  • This option incorrectly suggests a subtraction from the mean, which is not consistent with the fact that all observations are increased, leading to an increase in the mean.

Thus, Option 2 is the correct answer as it accurately represents the new mean after the specified changes to the observations.

प्रश्न: n' प्रेक्षणों का माध्य x है। यदि प्रथम प्रेक्षण में 1 की वृद्धि की जाती है, द्वितीय में 2 की, तृतीय में 3 की और इसी प्रकार, तो नया माध्य बराबर है :

समाधान:

1. Option 2: $\bar{x} + \frac{(n+1)}{2}$ (सही उत्तर)

   जब प्रत्येक प्रेक्षण में क्रमशः 1, 2, 3, ..., n की वृद्धि की जाती है, तो कुल वृद्धि का योग $1 + 2 + 3 + ... + n$ होगा। यह योग एक अंकगणितीय श्रेणी है जिसका योग $\frac{n(n+1)}{2}$ होता है। इस प्रकार, कुल वृद्धि $\frac{n(n+1)}{2}$ है।

   नए माध्य की गणना के लिए, इस कुल वृद्धि को n प्रेक्षणों की संख्या से विभाजित किया जाता है। इसलिए, नया माध्य $\bar{x} + \frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n}$ होगा, जो $\bar{x} + \frac{(n+1)}{2}$ के बराबर है। इस प्रकार, Option 2 सही है।

2. Option 1: $\bar{x} + (2n+1)$

   यह विकल्प गलत है क्योंकि यह कुल वृद्धि को गलत तरीके से प्रस्तुत करता है। वृद्धि का सही योग $\frac{n(n+1)}{2}$ है, न कि $(2n+1)$।

3. Option 3: $\bar{x} + (n+1)$

   यह विकल्प भी गलत है क्योंकि यह वृद्धि के योग को गलत तरीके से प्रस्तुत करता है। सही योग $\frac{n(n+1)}{2}$ है, जो $\frac{(n+1)}{2}$ के रूप में माध्य में जोड़ा जाता है, न कि $(n+1)$।

4. Option 4: $\bar{x} - \frac{(n-1)}{2}$

   यह विकल्प गलत है क्योंकि यह वृद्धि के योग को घटाव के रूप में प्रस्तुत करता है, जबकि वास्तव में वृद्धि हो रही है। सही योग $\frac{n(n+1)}{2}$ है, जो $\frac{(n+1)}{2}$ के रूप में माध्य में जोड़ा जाता है, न कि घटाया जाता है।

इस प्रकार, Option 2 सही उत्तर है क्योंकि यह सही तरीके से वृद्धि के योग को माध्य में जोड़ता है।

To determine the number of consecutive zeros at the end of the number (2^3 \times 3^4 \times 5^4 \times 7), we need to consider the factors of 10 in the number. Each factor of 10 is composed of a factor of 2 and a factor of 5. Therefore, the number of consecutive zeros is determined by the minimum number of pairs of 2s and 5s in the prime factorization of the number.

Let's break down the prime factorization:

• (2^3) provides 3 factors of 2.
• (3^4) provides no factors of 2 or 5.
• (5^4) provides 4 factors of 5.
• (7) provides no factors of 2 or 5.

To form a factor of 10, we need one 2 and one 5. The limiting factor here is the number of 2s, as we have only 3 factors of 2 available. Therefore, we can form 3 pairs of 2s and 5s, resulting in 3 factors of 10.

Thus, the number of consecutive zeros at the end of the number is 3.

Explanation of why each option is incorrect:

1. Option 1 (2 zeros): This option is incorrect because we have enough factors of 2 and 5 to form 3 pairs, not just 2. Therefore, there are more than 2 zeros.

2. Option 3 (4 zeros): This option is incorrect because, although we have 4 factors of 5, we only have 3 factors of 2. Hence, we cannot form 4 pairs of 2s and 5s, limiting us to 3 zeros.

3. Option 4 (5 zeros): This option is incorrect because we do not have enough factors of 2 to form 5 pairs with the factors of 5. We are limited by the 3 factors of 2, resulting in only 3 zeros.

In conclusion, the correct answer is Option 2, which states that there are 3 consecutive zeros at the end of the number.

$2^3 \times 3^4 \times 5^4 \times 7$ में क्रमागत शून्यों की संख्या ज्ञात करने के लिए हमें इस संख्या को उसके अभाज्य गुणनखंडों के आधार पर देखना होगा।

जब हम किसी संख्या में क्रमागत शून्यों की संख्या ज्ञात करना चाहते हैं, तो हम उस संख्या को 10 के गुणकों के रूप में देखना चाहते हैं। 10 को उसके अभाज्य गुणनखंडों के रूप में $2 \times 5$ लिखा जा सकता है। इसलिए, हमें यह देखना होगा कि $2^3 \times 3^4 \times 5^4 \times 7$ में कितने 10 के गुणक हैं।

इस संख्या में:

• $2^3$ का अर्थ है कि 2 का घातांक 3 है।
• $5^4$ का अर्थ है कि 5 का घातांक 4 है।

10 के गुणक बनाने के लिए हमें 2 और 5 के जोड़े चाहिए। चूंकि 2 का घातांक 3 है और 5 का घातांक 4 है, इसलिए 2 और 5 के जोड़े बनाने के लिए 2 के घातांक की संख्या 3 तक सीमित है। इसका अर्थ है कि हम 3 जोड़े बना सकते हैं, क्योंकि 2 की संख्या 3 है और 5 की संख्या 4 है।

इसलिए, $2^3 \times 3^4 \times 5^4 \times 7$ में क्रमागत शून्यों की संख्या 3 है।

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं:

1. विकल्प 1 (2): यह गलत है क्योंकि 2 और 5 के 3 जोड़े बनाए जा सकते हैं, न कि 2।
2. विकल्प 3 (4): यह गलत है क्योंकि 2 की संख्या केवल 3 है, इसलिए 4 जोड़े नहीं बन सकते।
3. विकल्प 4 (5): यह गलत है क्योंकि 2 की संख्या केवल 3 है, इसलिए 5 जोड़े नहीं बन सकते।

इस प्रकार, सही उत्तर विकल्प 2 (3) है।

To understand why Option 3 is the correct answer, we need to delve into the division algorithm, which is a fundamental concept in number theory. The division algorithm states that for any two integers ( a ) and ( b ) (where ( b > 0 )), there exist unique integers ( q ) (the quotient) and ( r ) (the remainder) such that:

[ a = bq + r ]

where the remainder ( r ) satisfies the condition:

[ 0 \le r < b ]

This condition ensures that the remainder ( r ) is non-negative and strictly less than the divisor ( b ). Let's break down why Option 3 is correct and why the other options are not:

1. Option 3: ( 0 \le r < b )

   • This option correctly reflects the condition of the remainder in the division algorithm. The remainder ( r ) can be zero, which is why the inequality includes ( 0 \le r ). Additionally, ( r ) must be less than ( b ), ensuring that ( r ) is not equal to or greater than ( b ). This is the precise definition of the remainder in the context of integer division.

2. Option 1: ( 1 < r < b )

   • This option is incorrect because it implies that the remainder ( r ) must be greater than 1, which is not always the case. For example, if ( a = 5 ) and ( b = 3 ), then ( r = 2 ), which satisfies ( 0 \le r < b ) but not ( 1 < r < b ). Additionally, if ( a = 3 ) and ( b = 3 ), then ( r = 0 ), which is valid under the correct condition but not under this option.

3. Option 2: ( 0 < r \le b )

   • This option is incorrect because it allows for the possibility that ( r = b ), which contradicts the requirement that ( r ) must be less than ( b ). For instance, if ( a = 6 ) and ( b = 3 ), then ( r = 0 ), which is valid under the correct condition but not under this option.

4. Option 4: ( 0 < r < b )

   • This option is incorrect because it excludes the possibility of ( r = 0 ). The division algorithm allows for ( r ) to be zero, as seen in cases where ( a ) is a multiple of ( b ). For example, if ( a = 6 ) and ( b = 3 ), then ( r = 0 ), which is valid under the correct condition but not under this option.

In conclusion, Option 3 accurately captures the conditions of the division algorithm, making it the correct choice. The other options fail to account for all possible values of ( r ) as defined by the division algorithm.

विभाजन एल्गोरिथ्म के अनुसार, जब दो धनात्मक पूर्णांक (a) और (b) दिए जाते हैं, तो अद्वितीय पूर्णांक (q) (भागफल) और (r) (शेषफल) का अस्तित्व होता है, जो इस समीकरण को संतुष्ट करता है: (a = bq + r), जहाँ (0 \leq r < b)। आइए समझते हैं कि क्यों विकल्प 3 सही है और अन्य विकल्प क्यों गलत हैं:

1. विकल्प 3: (0 \leq r < b)

   • यह विकल्प सही है क्योंकि विभाजन एल्गोरिथ्म के अनुसार, शेषफल (r) हमेशा 0 से बड़ा या बराबर होता है और (b) से छोटा होता है। इसका मतलब है कि (r) की न्यूनतम मान 0 हो सकती है और अधिकतम मान (b-1) हो सकती है। यह सीमा सुनिश्चित करती है कि (r) हमेशा (b) से छोटा रहता है, जो कि विभाजन की परिभाषा के अनुसार आवश्यक है।

2. विकल्प 1: (1 < r < b)

   • यह विकल्प गलत है क्योंकि यह शेषफल (r) के लिए गलत सीमा प्रदान करता है। (r) का न्यूनतम मान 0 हो सकता है, जबकि इस विकल्प में न्यूनतम मान 1 से अधिक बताया गया है, जो कि गलत है।

3. विकल्प 2: (0 < r \leq b)

   • यह विकल्प भी गलत है क्योंकि यह (r) के लिए गलत सीमा प्रदान करता है। (r) का अधिकतम मान (b-1) हो सकता है, जबकि इस विकल्प में अधिकतम मान (b) तक बताया गया है, जो कि गलत है। (r) कभी भी (b) के बराबर नहीं हो सकता।

4. विकल्प 4: (0 < r < b)

   • यह विकल्प भी गलत है क्योंकि यह (r) के लिए गलत न्यूनतम सीमा प्रदान करता है। (r) का न्यूनतम मान 0 हो सकता है, जबकि इस विकल्प में न्यूनतम मान 0 से अधिक बताया गया है, जो कि गलत है।

इस प्रकार, विकल्प 3 सही है क्योंकि यह विभाजन एल्गोरिथ्म के अनुसार (r) के लिए सही सीमा प्रदान करता है: (0 \leq r < b)।

To determine why the expression (9^{2n} - 4^{2n}) is always divisible by both 5 and 13, we can analyze the expression using algebraic identities and modular arithmetic.

Explanation:

1. Expression Analysis:
   The expression (9^{2n} - 4^{2n}) can be rewritten using the difference of squares:
   [
   9^{2n} - 4^{2n} = (9^n - 4^n)(9^n + 4^n)
   ]

2. Divisibility by 5:

   • Consider (9 \equiv 4 \pmod{5}). Therefore, (9^n \equiv 4^n \pmod{5}).
   • This implies (9^n - 4^n \equiv 0 \pmod{5}), meaning (9^n - 4^n) is divisible by 5.
   • Similarly, (9^n + 4^n \equiv 4^n + 4^n \equiv 2 \times 4^n \equiv 0 \pmod{5}) when (n) is such that (4^n \equiv 0 \pmod{5}).

3. Divisibility by 13:

   • Consider (9 \equiv -4 \pmod{13}). Therefore, (9^n \equiv (-4)^n \equiv (-1)^n \times 4^n \pmod{13}).
   • For even (n), (9^n \equiv 4^n \pmod{13}), so (9^n - 4^n \equiv 0 \pmod{13}).
   • For odd (n), (9^n \equiv -4^n \pmod{13}), so (9^n + 4^n \equiv 0 \pmod{13}).

4. Conclusion:
   Since (9^{2n} - 4^{2n}) is divisible by both 5 and 13 for any natural number (n), it is divisible by (5 \times 13 = 65).

Why Other Options are Incorrect:

• Option 1 (Only 5): This option is incorrect because, as shown, the expression is divisible by both 5 and 13, not just 5.

• Option 2 (Only 13): This option is incorrect because the expression is also divisible by 5, not just 13.

• Option 4 (None of these): This option is incorrect because the expression is indeed divisible by both 5 and 13, as demonstrated.

Thus, the correct answer is Option 3, as (9^{2n} - 4^{2n}) is always divisible by both 5 and 13.

समाधान:

हमें यह दिखाना है कि (9^{2n} - 4^{2n}) हमेशा 5 और 13 दोनों से विभाजित होगा।

1. 5 से विभाज्यता:

   (9^{2n} - 4^{2n}) को 5 से विभाजित होने के लिए, हमें यह दिखाना होगा कि यह अभिव्यक्ति 5 से विभाज्य है।

   • (9 \equiv 4 \pmod{5}) क्योंकि 9 को 5 से विभाजित करने पर शेषफल 4 आता है।
   • इसलिए, (9^{2n} \equiv 4^{2n} \pmod{5}) होगा।
   • (9^{2n} - 4^{2n} \equiv 4^{2n} - 4^{2n} \equiv 0 \pmod{5})।

   इस प्रकार, (9^{2n} - 4^{2n}) हमेशा 5 से विभाजित होगा।

2. 13 से विभाज्यता:

   (9^{2n} - 4^{2n}) को 13 से विभाजित होने के लिए, हमें यह दिखाना होगा कि यह अभिव्यक्ति 13 से विभाज्य है।

   • (9 \equiv -4 \pmod{13}) क्योंकि 9 को 13 से विभाजित करने पर शेषफल -4 आता है।
   • इसलिए, (9^{2n} \equiv (-4)^{2n} \equiv 4^{2n} \pmod{13}) होगा।
   • (9^{2n} - 4^{2n} \equiv 4^{2n} - 4^{2n} \equiv 0 \pmod{13})।

   इस प्रकार, (9^{2n} - 4^{2n}) हमेशा 13 से विभाजित होगा।

इसलिए, (9^{2n} - 4^{2n}) हमेशा 5 और 13 दोनों से विभाजित होगा।

अन्य विकल्पों की गलतियाँ:

1. केवल 5: यह विकल्प गलत है क्योंकि (9^{2n} - 4^{2n}) केवल 5 से नहीं, बल्कि 13 से भी विभाजित होता है।

2. केवल 13: यह विकल्प गलत है क्योंकि (9^{2n} - 4^{2n}) केवल 13 से नहीं, बल्कि 5 से भी विभाजित होता है।

3. इनमें से कोई नहीं: यह विकल्प गलत है क्योंकि (9^{2n} - 4^{2n}) वास्तव में 5 और 13 दोनों से विभाजित होता है।

इस प्रकार, सही उत्तर विकल्प 3 है: दोनों 5 और 13।

To solve the problem, we need to find two numbers whose sum is 296, and the sum and difference of their LCM (Least Common Multiple) and HCF (Highest Common Factor) are 592 and 518, respectively. Let's break down the solution step by step:

1. Understanding the Given Information:

   • Let the two numbers be ( a ) and ( b ).
   • We know that ( a + b = 296 ).
   • Let the LCM of ( a ) and ( b ) be ( L ) and the HCF be ( H ).
   • According to the problem, ( L + H = 592 ) and ( L - H = 518 ).

2. Solving for LCM and HCF:

   • We have two equations:
     [
     L + H = 592
     ]
     [
     L - H = 518
     ]
   • Adding these two equations, we get:
     [
     2L = 1110 \implies L = 555
     ]
   • Subtracting the second equation from the first, we get:
     [
     2H = 74 \implies H = 37
     ]

3. Using the Relationship Between LCM, HCF, and the Numbers:

   • The relationship between the LCM, HCF, and the numbers is given by:
     [
     L \times H = a \times b
     ]
   • Substituting the values we found:
     [
     555 \times 37 = a \times b
     ]
     [
     a \times b = 20535
     ]

4. Finding the Numbers:

   • We have two equations now:
     [
     a + b = 296
     ]
     [
     a \times b = 20535
     ]
   • These are the equations of a quadratic:
     [
     x^2 - 296x + 20535 = 0
     ]
   • Solving this quadratic equation using the quadratic formula:
     [
     x = \frac{296 \pm \sqrt{296^2 - 4 \times 20535}}{2}
     ]
     [
     x = \frac{296 \pm \sqrt{87616 - 82140}}{2}
     ]
     [
     x = \frac{296 \pm \sqrt{5476}}{2}
     ]
     [
     x = \frac{296 \pm 74}{2}
     ]
   • This gives us two solutions:
     [
     x = \frac{370}{2} = 185 \quad \text{and} \quad x = \frac{222}{2} = 111
     ]

5. Conclusion:

   • The numbers are 111 and 185, which matches Option 3.

6. Verification of Other Options:

   • Option 1 (107 and 111): The sum is 218, not 296.
   • Option 2 (111 and 158): The sum is 269, not 296.
   • Option 4 (158 and 167): The sum is 325, not 296.

Therefore, the correct answer is indeed Option 3: 111 and 185.

समस्या में हमें दो संख्याओं के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) और महत्तम समापवर्त्य (HCF) का योग 592 और उनका अंतर 518 दिया गया है। साथ ही, संख्याओं का योग 296 है। हमें यह पता लगाना है कि कौन सी संख्याएँ इन शर्तों को पूरा करती हैं।

1. Option 3: 111 तथा 185

   • सबसे पहले, हम इन संख्याओं का योग देखते हैं: (111 + 185 = 296), जो कि सही है।
   • अब, हम HCF और LCM का उपयोग करके दिए गए योग और अंतर की जाँच करते हैं।
   • (HCF(111, 185) = 37) है।
   • (LCM(111, 185) = \frac{111 \times 185}{HCF(111, 185)} = \frac{20535}{37} = 555)।
   • अब, (LCM + HCF = 555 + 37 = 592), जो कि सही है।
   • और, (LCM - HCF = 555 - 37 = 518), जो कि सही है।

इसलिए, Option 3 सही है।

2. अन्य विकल्पों का विश्लेषण:

   • Option 1: 107 तथा 111

     • (107 + 111 = 218), जो कि 296 नहीं है। इसलिए यह विकल्प गलत है।

   • Option 2: 111 तथा 158

     • (111 + 158 = 269), जो कि 296 नहीं है। इसलिए यह विकल्प गलत है।

   • Option 4: 158 तथा 167

     • (158 + 167 = 325), जो कि 296 नहीं है। इसलिए यह विकल्प गलत है।

इस प्रकार, केवल Option 3 ही सभी शर्तों को पूरा करता है और सही उत्तर है।

To solve the problem, we need to determine the remainder when the given number is divided by 19. Let's break down the problem step by step:

1. Understanding the Problem:

   • We have a number ( N ) which, when divided by 114, leaves a remainder of 21. This can be expressed as:
     [
     N = 114k + 21
     ]
     for some integer ( k ).

2. Finding the Remainder when Divided by 19:

   • We need to find the remainder when ( N ) is divided by 19. Substituting the expression for ( N ):
     [
     N = 114k + 21
     ]
   • We are interested in ( N \mod 19 ):
     [
     N \equiv 114k + 21 \pmod{19}
     ]

3. Simplifying the Expression:

   • First, find ( 114 \mod 19 ):
     [
     114 \div 19 = 6 \quad \text{remainder} \quad 0 \quad \Rightarrow \quad 114 \equiv 0 \pmod{19}
     ]
   • Therefore, the expression simplifies to:
     [
     N \equiv 0k + 21 \equiv 21 \pmod{19}
     ]

4. Calculating ( 21 \mod 19 ):

   • Now, calculate the remainder of 21 when divided by 19:
     [
     21 \div 19 = 1 \quad \text{remainder} \quad 2 \quad \Rightarrow \quad 21 \equiv 2 \pmod{19}
     ]

5. Conclusion:

   • The remainder when the number ( N ) is divided by 19 is 2. Therefore, the correct answer is Option 3.

Explanation of Incorrect Options:

• Option 1 (0): This would imply that 21 is a multiple of 19, which it is not, as 21 divided by 19 leaves a remainder of 2.
• Option 2 (1): This would imply that 21 divided by 19 leaves a remainder of 1, which is incorrect because the remainder is 2.
• Option 4 (5): This would imply that 21 divided by 19 leaves a remainder of 5, which is incorrect because the remainder is 2.

Thus, the correct answer is indeed Option 3, as the remainder when the number is divided by 19 is 2.

जब एक संख्या को 114 से विभाजित किया जाता है और शेषफल 21 आता है, तो इसका मतलब है कि वह संख्या 114 के किसी गुणज में 21 जोड़ने पर प्राप्त होती है। इसे हम इस प्रकार लिख सकते हैं:

संख्या = 114k + 21

जहां k एक पूर्णांक है।

अब, हमें यह संख्या 19 से विभाजित करनी है और शेषफल ज्ञात करना है। इसलिए, हम इस संख्या को 19 से विभाजित करेंगे:

(114k + 21) ÷ 19

हम जानते हैं कि 114 को 19 से विभाजित करने पर शेषफल 0 आता है क्योंकि 114, 19 का गुणज है (114 = 19 × 6)। इसलिए, हमें केवल 21 को 19 से विभाजित करना है:

21 ÷ 19 = 1 शेष 2

इसलिए, जब संख्या को 19 से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल 2 आता है। इस प्रकार, सही उत्तर विकल्प 3 है।

अब, अन्य विकल्पों को गलत साबित करने के लिए:

1. विकल्प 1 (शेषफल 0): यदि शेषफल 0 होता, तो संख्या 19 का गुणज होती। लेकिन 21 को 19 से विभाजित करने पर शेषफल 2 आता है, न कि 0।

2. विकल्प 2 (शेषफल 1): यदि शेषफल 1 होता, तो 21 को 19 से विभाजित करने पर शेषफल 1 आता। लेकिन वास्तव में शेषफल 2 आता है।

3. विकल्प 4 (शेषफल 5): यदि शेषफल 5 होता, तो 21 को 19 से विभाजित करने पर शेषफल 5 आता। लेकिन वास्तव में शेषफल 2 आता है।

इस प्रकार, विकल्प 3 सही है और अन्य सभी विकल्प गलत हैं।

To determine the least prime factor of (x + y), where (x) and (y) are positive integers with the least prime factor of (x) being 3 and the least prime factor of (y) being 5, we need to consider the properties of prime numbers and the sum of two numbers.

Explanation Supporting Option 4:

1. Understanding the Problem:

   • (x) is a positive integer whose smallest prime factor is 3. This means (x) could be 3, 6, 9, 12, etc., but not any number that has a smaller prime factor like 2.
   • (y) is a positive integer whose smallest prime factor is 5. This means (y) could be 5, 10, 15, 20, etc., but not any number that has a smaller prime factor like 2 or 3.

2. Analyzing (x + y):

   • Since (x) is not divisible by 2 (as its smallest prime factor is 3), (x) is an odd number.
   • Similarly, since (y) is not divisible by 2 (as its smallest prime factor is 5), (y) is also an odd number.
   • The sum of two odd numbers is always even. Therefore, (x + y) is an even number.

3. Determining the Least Prime Factor of an Even Number:

   • The smallest prime factor of any even number is 2. This is because 2 is the smallest prime number and any even number is divisible by 2.

4. Conclusion:

   • Since (x + y) is even, the least prime factor of (x + y) is 2.

Explanation for Why Other Options are Incorrect:

• Option 1 (1):

  • 1 is not a prime number. Prime numbers are defined as numbers greater than 1 that have no divisors other than 1 and themselves.

• Option 2 (11):

  • While 11 is a prime number, it cannot be the least prime factor of (x + y) because (x + y) is even, and the smallest prime factor of any even number is 2.

• Option 3 (7):

  • Similar to 11, 7 is a prime number, but it cannot be the least prime factor of (x + y) because (x + y) is even, and the smallest prime factor of any even number is 2.

Thus, the least prime factor of (x + y) is indeed 2, making Option 4 the correct answer.

प्रश्न में दिया गया है कि x तथा y दो धनात्मक पूर्णांक हैं, जिनमें x का न्यूनतम अभाज्य खण्ड 3 है और y का न्यूनतम अभाज्य खण्ड 5 है। हमें (x + y) का न्यूनतम अभाज्य खण्ड ज्ञात करना है।

1. विकल्प 4 (2) को सही ठहराना:

   • चूंकि x का न्यूनतम अभाज्य खण्ड 3 है, इसका अर्थ है कि x का सबसे छोटा अभाज्य गुणनखंड 3 है। इसका मतलब है कि x = 3 का गुणज हो सकता है, जैसे 3, 6, 9, आदि।
   • y का न्यूनतम अभाज्य खण्ड 5 है, इसका अर्थ है कि y का सबसे छोटा अभाज्य गुणनखंड 5 है। इसका मतलब है कि y = 5 का गुणज हो सकता है, जैसे 5, 10, 15, आदि।
   • अब, x और y के कुछ संभावित मान लेते हैं, जैसे x = 3 और y = 5। तब x + y = 3 + 5 = 8।
   • 8 का न्यूनतम अभाज्य खण्ड 2 है, क्योंकि 8 को 2 से विभाजित किया जा सकता है और 2 एक अभाज्य संख्या है।
   • इसलिए, (x + y) का न्यूनतम अभाज्य खण्ड 2 है, जो विकल्प 4 के अनुसार सही है।

2. अन्य विकल्पों को गलत ठहराना:

   • विकल्प 1 (1): 1 कोई अभाज्य संख्या नहीं है। इसलिए, यह विकल्प सही नहीं हो सकता।
   • विकल्प 2 (11): 11 एक अभाज्य संख्या है, लेकिन x और y के दिए गए गुणजों के लिए (x + y) का न्यूनतम अभाज्य खण्ड 11 नहीं हो सकता। उदाहरण के लिए, x = 3 और y = 5 के लिए x + y = 8 है, जिसका न्यूनतम अभाज्य खण्ड 2 है, न कि 11।
   • विकल्प 3 (7): 7 भी एक अभाज्य संख्या है, लेकिन x और y के दिए गए गुणजों के लिए (x + y) का न्यूनतम अभाज्य खण्ड 7 नहीं हो सकता। उदाहरण के लिए, x = 3 और y = 5 के लिए x + y = 8 है, जिसका न्यूनतम अभाज्य खण्ड 2 है, न कि 7।

इस प्रकार, दिए गए विकल्पों में से विकल्प 4 (2) ही सही उत्तर है।

To determine why Option 3 is the correct answer, we need to analyze the relationship between the Highest Common Factor (HCF) and the Least Common Multiple (LCM) of two numbers.

1. Explanation for Option 3 (Correct Answer):

   • The relationship between two numbers (a) and (b), their HCF, and their LCM is given by the formula:
     [
     \text{HCF}(a, b) \times \text{LCM}(a, b) = a \times b
     ]
   • Given that the HCF is 16 and the LCM is 146, we substitute these values into the formula:
     [
     16 \times 146 = a \times b
     ]
   • Calculating the product, we get:
     [
     2336 = a \times b
     ]
   • For two numbers to have an HCF of 16, each number must be a multiple of 16. Let (a = 16m) and (b = 16n), where (m) and (n) are coprime (since the HCF of (a) and (b) is 16).
   • Substituting into the equation:
     [
     16m \times 16n = 2336
     ]
     [
     256mn = 2336
     ]
     [
     mn = \frac{2336}{256} = 9.125
     ]
   • Since (m) and (n) must be integers, and 9.125 is not an integer, no such pair of integers (m) and (n) exists. Therefore, no such pair of numbers (a) and (b) exists that satisfy the given conditions.

2. Explanation for why other options are incorrect:

   • Option 1 (Many such pairs of numbers exist): This option is incorrect because, as shown above, the equation (mn = 9.125) does not yield integer solutions for (m) and (n). Therefore, multiple pairs cannot exist.
   • Option 2 (Only one such pair of numbers exists): This option is incorrect because the equation (mn = 9.125) does not yield even a single integer solution for (m) and (n). Hence, there is not even one pair that satisfies the conditions.
   • Option 4 (Only two such pairs of numbers exist): This option is incorrect for the same reason as Option 1 and 2. Since (mn = 9.125) does not provide integer solutions, there cannot be two pairs of numbers that satisfy the conditions.

In conclusion, Option 3 is the correct answer because the mathematical conditions required for the existence of such a pair of numbers are not met.

दो संख्याओं का महत्तम समापवर्त्य (HCF) 16 और लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) 146 है। हमें यह पता करना है कि क्या ऐसा कोई जोड़ा संभव है जो इन शर्तों को पूरा करता हो।

1. महत्तम समापवर्त्य (HCF) और लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) का गुणनफल:
   दो संख्याओं (a) और (b) के लिए, HCF और LCM का गुणनफल हमेशा उन दो संख्याओं के गुणनफल के बराबर होता है। अर्थात्:
   [
   HCF(a, b) \times LCM(a, b) = a \times b
   ]
   यहाँ, (HCF = 16) और (LCM = 146) है। अतः:
   [
   16 \times 146 = a \times b
   ]
   [
   2336 = a \times b
   ]

2. संख्याओं का गुणनफल:
   अब हमें यह देखना है कि क्या 2336 को दो संख्याओं के रूप में विभाजित किया जा सकता है जिनका HCF 16 हो।

3. संख्याओं का गुणनखंड:
   2336 को 16 से विभाजित करने पर:
   [
   2336 \div 16 = 146
   ]
   इसका मतलब है कि यदि (a = 16) और (b = 146) होता, तो (a \times b = 2336) होता। लेकिन (HCF(16, 146) = 2) होता, जो कि 16 नहीं है।

4. निष्कर्ष:
   चूंकि 2336 को ऐसे दो संख्याओं के रूप में विभाजित नहीं किया जा सकता जिनका HCF 16 हो, इसलिए ऐसा कोई जोड़ा विद्यमान नहीं है।

इसलिए, विकल्प 3 सही है: ऐसा कोई जोड़ा विद्यमान नहीं है।

अन्य विकल्पों का खंडन:

1. विकल्प 1: "संख्याओं के ऐसे कई जोड़े विद्यमान हैं।" - यह गलत है क्योंकि कोई भी जोड़ा नहीं है जो इन शर्तों को पूरा करता हो।
2. विकल्प 2: "केवल ऐसा एक मात्र जोड़ा विद्यमान है।" - यह गलत है क्योंकि कोई भी जोड़ा नहीं है।
3. विकल्प 4: "केवल ऐसे दो जोड़े विद्यमान हैं।" - यह गलत है क्योंकि कोई भी जोड़ा नहीं है।

इस प्रकार, विकल्प 3 सही है।

To determine how many numbers lie between 10 and 300 that leave a remainder of 3 when divided by 4, we need to identify the sequence of numbers that satisfy this condition.

Explanation:

1. Understanding the Condition:

   • A number leaves a remainder of 3 when divided by 4 if it can be expressed in the form (4k + 3), where (k) is an integer.

2. Finding the Range:

   • We need numbers between 10 and 300. Therefore, we need to find the smallest and largest numbers in this range that fit the form (4k + 3).

3. Finding the Smallest Number:

   • The smallest number greater than 10 that leaves a remainder of 3 when divided by 4 is 11. This is because (11 \div 4 = 2) remainder 3.

4. Finding the Largest Number:

   • The largest number less than or equal to 300 that leaves a remainder of 3 when divided by 4 is 299. This is because (299 \div 4 = 74) remainder 3.

5. Formulating the Sequence:

   • The sequence of numbers that satisfy the condition is: 11, 15, 19, ..., 299. This sequence is an arithmetic sequence where the first term (a = 11) and the common difference (d = 4).

6. Finding the Number of Terms:

   • The general formula for the (n)-th term of an arithmetic sequence is given by:
     [
     a_n = a + (n-1) \times d
     ]
   • Setting (a_n = 299), we solve for (n):
     [
     299 = 11 + (n-1) \times 4
     ]
     [
     299 = 11 + 4n - 4
     ]
     [
     299 = 7 + 4n
     ]
     [
     292 = 4n
     ]
     [
     n = \frac{292}{4} = 73
     ]

Thus, there are 73 numbers between 10 and 300 that leave a remainder of 3 when divided by 4.

Justification for Other Options:

• Option 2 (71): This option is incorrect because, as calculated, the number of terms in the sequence is 73, not 71.
• Option 3 (68): This option is incorrect because it underestimates the number of terms in the sequence.
• Option 4 (72): This option is incorrect because it also underestimates the number of terms in the sequence.

Therefore, the correct answer is Option 1, which is 73.

10 से 300 के मध्य ऐसी संख्याएँ खोजनी हैं जिन्हें 4 से भाग देने पर शेषफल 3 रहता है। इसका अर्थ है कि ऐसी संख्याएँ 4n + 3 के रूप में होंगी, जहाँ n एक पूर्णांक है।

1. सबसे छोटी संख्या जो इस रूप में है, वह 11 है (क्योंकि 10 को 4 से भाग देने पर शेषफल 2 आता है, जबकि 11 को 4 से भाग देने पर शेषफल 3 आता है)।
2. सबसे बड़ी संख्या जो इस रूप में है, वह 299 है (क्योंकि 300 को 4 से भाग देने पर शेषफल 0 आता है, जबकि 299 को 4 से भाग देने पर शेषफल 3 आता है)।

अब, हमें 11 से 299 तक की संख्याओं की गणना करनी है जो 4n + 3 के रूप में हैं।

यह एक अंकगणितीय अनुक्रम है जहाँ:

• प्रारंभिक पद (a) = 11
• अंतिम पद (l) = 299
• अंतर (d) = 4

अंकगणितीय अनुक्रम का nवाँ पद ज्ञात करने का सूत्र है:
[ a_n = a + (n-1) \times d ]

यहाँ, ( a_n = 299 ), ( a = 11 ), और ( d = 4 ) है।

299 = 11 + (n-1) \times 4

288 = (n-1) \times 4

n-1 = 72

n = 73

इसलिए, 10 से 300 के मध्य ऐसी 73 संख्याएँ हैं जिन्हें 4 से भाग देने पर शेषफल 3 आता है।

इस प्रकार, विकल्प 1 सही है।

अन्य विकल्पों की गलतियाँ:

• विकल्प 2 (71): यह संख्या अनुक्रम की सही गणना नहीं दर्शाती।
• विकल्प 3 (68): यह संख्या अनुक्रम की सही गणना नहीं दर्शाती।
• विकल्प 4 (72): यह संख्या अनुक्रम की सही गणना नहीं दर्शाती।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 1 (73) है।

The mean of a data set is calculated by summing all the values in the data set and then dividing by the number of values. In this case, we are given that the correct answer is Option 3, which is 16. Let's explore why this is the correct answer and why the other options are incorrect.

1. Explanation for Option 3 (Correct Answer):

   • The mean is calculated as the total sum of all data points divided by the number of data points. Although the specific data set is not provided in the question, we are instructed to accept that the mean is 16. This implies that when the data points are summed and divided by their count, the result is 16. Therefore, Option 3 is correct because it accurately represents the mean of the given data set.

2. Explanation for why Option 1 (14) is incorrect:

   • If the mean were 14, it would mean that the total sum of the data points divided by their count equals 14. However, since we are given that the correct mean is 16, a mean of 14 does not accurately represent the data set. Thus, Option 1 is incorrect.

3. Explanation for why Option 2 (15) is incorrect:

   • Similarly, if the mean were 15, the total sum of the data points divided by their count would equal 15. However, the correct mean is specified as 16, so a mean of 15 does not match the given information. Therefore, Option 2 is incorrect.

4. Explanation for why Option 4 (18) is incorrect:

   • If the mean were 18, it would imply that the total sum of the data points divided by their count equals 18. Since the correct mean is 16, a mean of 18 is not consistent with the provided data. Hence, Option 4 is incorrect.

In conclusion, Option 3 is the correct answer because it aligns with the given information that the mean of the data set is 16. The other options do not match this value and are therefore incorrect.

माध्य (औसत) की गणना करने के लिए, हमें दिए गए आँकड़ों के सभी मानों का योग करना होता है और फिर उसे कुल मानों की संख्या से विभाजित करना होता है। हालांकि, प्रश्न में दिए गए आँकड़े स्पष्ट नहीं हैं, लेकिन हम यह मान सकते हैं कि दिए गए आँकड़ों का माध्य 16 है, क्योंकि सही उत्तर विकल्प 3 के रूप में दिया गया है।

अब हम यह समझते हैं कि अन्य विकल्प क्यों गलत हैं:

1. विकल्प 1 (14): यदि माध्य 14 होता, तो सभी मानों का योग और उनकी संख्या के अनुसार विभाजन 14 के बराबर होना चाहिए। लेकिन ऐसा नहीं है, इसलिए यह विकल्प गलत है।

2. विकल्प 2 (15): इसी प्रकार, यदि माध्य 15 होता, तो सभी मानों का योग और उनकी संख्या के अनुसार विभाजन 15 के बराबर होना चाहिए। लेकिन ऐसा नहीं है, इसलिए यह विकल्प भी गलत है।

3. विकल्प 4 (18): यदि माध्य 18 होता, तो सभी मानों का योग और उनकी संख्या के अनुसार विभाजन 18 के बराबर होना चाहिए। लेकिन ऐसा नहीं है, इसलिए यह विकल्प भी गलत है।

इस प्रकार, दिए गए आँकड़ों के लिए सही माध्य 16 है, जो विकल्प 3 के रूप में सही उत्तर है।

To determine why Option 4 is the correct answer, we need to analyze the problem using the properties of prime numbers and the concept of the least common multiple (L.C.M.).

1. Understanding the Problem:

   • We are given that the L.C.M. of two prime numbers ( x ) and ( y ) (where ( x > y )) is 161.
   • Prime numbers are numbers greater than 1 that have no divisors other than 1 and themselves.

2. Analyzing the L.C.M.:

   • The L.C.M. of two numbers is the smallest number that is a multiple of both.
   • Since ( x ) and ( y ) are prime, the L.C.M. of two distinct prime numbers is simply their product, ( x \times y ).

3. Finding the Prime Numbers:

   • We need to find two prime numbers whose product is 161.
   • By factorization, 161 can be expressed as ( 161 = 7 \times 23 ).
   • Both 7 and 23 are prime numbers.

4. Determining ( x ) and ( y ):

   • Given ( x > y ), we assign ( x = 23 ) and ( y = 7 ).

5. Calculating ( x - y ):

   • The difference ( x - y = 23 - 7 = 16 ).

6. Conclusion:

   • Therefore, the value of ( x - y ) is 16, which corresponds to Option 4.

Explanation of Incorrect Options:

• Option 1 (9): If ( x - y = 9 ), then ( x ) and ( y ) would not satisfy the condition ( x \times y = 161 ) with the given prime numbers.
• Option 2 (13): Similarly, if ( x - y = 13 ), the numbers would not multiply to 161.
• Option 3 (15): If ( x - y = 15 ), the numbers would again not satisfy the product condition of 161.

Thus, Option 4 is the only correct answer, as it aligns with the mathematical properties of prime numbers and their L.C.M.

दो अभाज्य संख्याएँ x तथा y (x > y) का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) 161 है। हमें (x - y) का मान ज्ञात करना है।

1. Option 4: 16 (सही उत्तर)

   • चूंकि x और y अभाज्य संख्याएँ हैं, इसलिए उनका लघुत्तम समापवर्त्य उनके गुणनफल के बराबर होगा।
   • 161 को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करें: 161 = 7 × 23।
   • यहाँ, x और y के संभावित मान 23 और 7 हो सकते हैं, क्योंकि ये दोनों अभाज्य हैं और इनका गुणनफल 161 है।
   • चूंकि x > y, इसलिए x = 23 और y = 7।
   • अब, (x - y) = 23 - 7 = 16।
   • इसलिए, (x - y) का मान 16 है, जो कि विकल्प 4 के अनुसार सही है।

2. अन्य विकल्पों का विश्लेषण:

   • Option 1: 9

     • यदि (x - y) = 9 होता, तो x और y के मान 16 और 7 हो सकते थे। लेकिन 16 और 7 का गुणनफल 112 होता है, जो 161 नहीं है। इसलिए यह विकल्प गलत है।

   • Option 2: 13

     • यदि (x - y) = 13 होता, तो x और y के मान 20 और 7 हो सकते थे। लेकिन 20 और 7 का गुणनफल 140 होता है, जो 161 नहीं है। इसलिए यह विकल्प गलत है।

   • Option 3: 15

     • यदि (x - y) = 15 होता, तो x और y के मान 22 और 7 हो सकते थे। लेकिन 22 और 7 का गुणनफल 154 होता है, जो 161 नहीं है। इसलिए यह विकल्प गलत है।

इस प्रकार, दिए गए विकल्पों में से केवल विकल्प 4 ही सही है, क्योंकि यह x और y के सही मानों के साथ मेल खाता है और लघुत्तम समापवर्त्य की शर्त को पूरा करता है।

To determine the average value of (a^2 + b^2 + c^2) given that the average of (a, b, c) is (m) and ((ab + bc + ca) = 0), we can follow these steps:

1. Understanding the Given Conditions:

   • The average of (a, b, c) is (m), which implies:
     [
     \frac{a + b + c}{3} = m \quad \Rightarrow \quad a + b + c = 3m
     ]
   • The condition ((ab + bc + ca) = 0) is also given.

2. Expression for (a^2 + b^2 + c^2):

   • We know the identity:
     [
     a^2 + b^2 + c^2 = (a + b + c)^2 - 2(ab + bc + ca)
     ]
   • Substituting the given conditions:
     [
     a^2 + b^2 + c^2 = (3m)^2 - 2 \times 0 = 9m^2
     ]

3. Average Value of (a^2 + b^2 + c^2):

   • Since we are looking for the average value of (a^2 + b^2 + c^2), we divide by 3:
     [
     \text{Average of } a^2 + b^2 + c^2 = \frac{9m^2}{3} = 3m^2
     ]

4. Conclusion:

   • Therefore, the average value of (a^2 + b^2 + c^2) is (3m^2), which corresponds to Option 2.

5. Explanation of Incorrect Options:

   • Option 1 ((m^2)): This option suggests that the average of (a^2 + b^2 + c^2) is simply (m^2), which does not account for the squared sum of (a, b, c) and the given condition ((ab + bc + ca) = 0).
   • Option 3 ((6m^2)): This option overestimates the average by assuming a different relationship or miscalculation in the identity used.
   • Option 4 ((9m^2)): This option represents the total sum (a^2 + b^2 + c^2) without dividing by 3 to find the average.

Thus, the correct answer is indeed Option 2, (3m^2), as it accurately reflects the average value of (a^2 + b^2 + c^2) given the conditions.

समस्या में दिया गया है कि a, b, c का औसत 'm' है और (ab + bc + ca) = 0 है। हमें $a^2 + b^2 + c^2$ का औसत मान निकालना है।

1. औसत 'm' का अर्थ है कि:

   [
   \frac{a + b + c}{3} = m \implies a + b + c = 3m
   ]

2. हमें यह भी दिया गया है कि:

   [
   ab + bc + ca = 0
   ]

3. हमें $a^2 + b^2 + c^2$ का औसत मान निकालना है। हम जानते हैं कि:

   [
   (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca)
   ]

   चूंकि (ab + bc + ca = 0), तो यह समीकरण बन जाता है:

   [
   (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2
   ]

4. अब (a + b + c = 3m) को उपरोक्त समीकरण में डालते हैं:

   [
   (3m)^2 = a^2 + b^2 + c^2
   ]

   [
   9m^2 = a^2 + b^2 + c^2
   ]

5. चूंकि हमें $a^2 + b^2 + c^2$ का औसत मान चाहिए, तो:

   [
   \text{औसत} = \frac{a^2 + b^2 + c^2}{3} = \frac{9m^2}{3} = 3m^2
   ]

इस प्रकार, $a^2 + b^2 + c^2$ का औसत मान $3m^2$ है, जो विकल्प 2 के अनुसार सही है।

अब अन्य विकल्पों की गलतियों को समझते हैं:

• विकल्प 1: $\text{m}^2$ गलत है क्योंकि यह $a^2 + b^2 + c^2$ के औसत मान को कम करके दर्शाता है।
• विकल्प 3: $6 \text{m}^2$ गलत है क्योंकि यह $a^2 + b^2 + c^2$ के औसत मान को अधिक करके दर्शाता है।
• विकल्प 4: $9 \text{m}^2$ गलत है क्योंकि यह $a^2 + b^2 + c^2$ के औसत मान को त्रुटिपूर्ण रूप से अधिक दर्शाता है।

इसलिए, विकल्प 2 सही है।