HTET Exam - Level 1 PRT - Mathematics

To determine the mean of the range, mode, and median of the given observations, we need to calculate each of these statistical measures for the data set: 15, 50, 120, 6, 80, 100, 10, 8, 10, 15, 15.

1. Range: The range is the difference between the maximum and minimum values in the data set.

   • Maximum value = 120
   • Minimum value = 6
   • Range = 120 - 6 = 114

2. Mode: The mode is the value that appears most frequently in the data set.

   • The number 15 appears three times, which is more frequent than any other number.
   • Mode = 15

3. Median: The median is the middle value when the data set is arranged in ascending order.

   • Arranged data: 6, 8, 10, 10, 15, 15, 15, 50, 80, 100, 120
   • The middle value (6th value in this ordered list) is 15.
   • Median = 15

Now, we calculate the mean of the range, mode, and median:

• Mean = (Range + Mode + Median) / 3
• Mean = (114 + 15 + 15) / 3
• Mean = 144 / 3
• Mean = 48

Therefore, the mean of the range, mode, and median is 48, which corresponds to Option 1.

Explanation for Incorrect Options:

• Option 2 (39): This option is incorrect because the calculated mean of 48 does not match 39. The arithmetic operations and values used in the calculation clearly show that the mean is 48.

• Option 3 (52): This option is incorrect because the mean of 48 is less than 52. The calculations demonstrate that the correct mean is 48, not 52.

• Option 4 (51): This option is incorrect because the mean of 48 is less than 51. The calculations confirm that the mean is 48, not 51.

In conclusion, the correct answer is Option 1, as the mean of the range, mode, and median is indeed 48.

प्रश्न में दिए गए प्रेक्षणों के परिसर, बहुलक और माध्यिका का माध्य निकालने के लिए हमें पहले इन तीनों का मान ज्ञात करना होगा और फिर उनका औसत निकालना होगा।

1. परिसर (Range):

   • सबसे बड़ा मान: 120
   • सबसे छोटा मान: 6
   • परिसर = सबसे बड़ा मान - सबसे छोटा मान = 120 - 6 = 114

2. बहुलक (Mode):

   • दिए गए प्रेक्षणों में सबसे अधिक बार आने वाला मान 15 है। इसलिए, बहुलक = 15

3. माध्यिका (Median):

   • प्रेक्षणों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करें: 6, 8, 10, 10, 15, 15, 15, 50, 80, 100, 120
   • चूंकि कुल 11 प्रेक्षण हैं, माध्यिका 6वें स्थान पर होगा, जो कि 15 है। इसलिए, माध्यिका = 15

अब, परिसर, बहुलक और माध्यिका का माध्य निकालें:
[ \text{माध्य} = \frac{\text{परिसर} + \text{बहुलक} + \text{माध्यिका}}{3} = \frac{114 + 15 + 15}{3} = \frac{144}{3} = 48 ]

इस प्रकार, सही उत्तर विकल्प 1 (48) है।

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं:

• विकल्प 2 (39): यह गलत है क्योंकि परिसर, बहुलक और माध्यिका का औसत 48 है, न कि 39।
• विकल्प 3 (52): यह गलत है क्योंकि औसत 48 है, न कि 52।
• विकल्प 4 (51): यह गलत है क्योंकि औसत 48 है, न कि 51।

इस प्रकार, दिए गए प्रेक्षणों के परिसर, बहुलक और माध्यिका का माध्य 48 है, जो विकल्प 1 के अनुसार सही है।

To determine the probability that the number on the card drawn is a prime number, we first need to identify the prime numbers between 1 and 17. A prime number is a natural number greater than 1 that has no positive divisors other than 1 and itself.

The prime numbers between 1 and 17 are: 2, 3, 5, 7, 11, 13, and 17. This gives us a total of 7 prime numbers.

The total number of cards is 17, as they are numbered from 1 to 17.

The probability of drawing a card with a prime number is calculated by dividing the number of favorable outcomes (prime numbers) by the total number of possible outcomes (total cards). Therefore, the probability is:

[
\text{Probability} = \frac{\text{Number of prime numbers}}{\text{Total number of cards}} = \frac{7}{17}
]

This matches Option 3, which is (\frac{7}{17}).

Now, let's explain why the other options are incorrect:

1. Option 1: (\frac{9}{17}) - This option suggests that there are 9 prime numbers between 1 and 17, which is incorrect. As calculated, there are only 7 prime numbers.

2. Option 2: (\frac{17}{9}) - This option is not a valid probability because it suggests a probability greater than 1, which is impossible. Probabilities must be between 0 and 1.

3. Option 4: (\frac{17}{7}) - This option also suggests a probability greater than 1, which is not possible. Additionally, it implies that there are more prime numbers than total numbers, which is incorrect.

Therefore, the correct answer is indeed Option 3: (\frac{7}{17}), as it accurately represents the probability of drawing a card with a prime number from the set of 17 cards.

प्रश्न में दिए गए 17 कार्डों पर 1 से 17 तक की संख्याएँ अंकित हैं। हमें यह ज्ञात करना है कि डिब्बे से निकाले गए कार्ड पर अंकित संख्या एक अभाज्य संख्या होने की प्रायिकता क्या है।

अभाज्य संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जो केवल 1 और स्वयं से विभाजित होती हैं। 1 से 17 तक की संख्याओं में अभाज्य संख्याएँ निम्नलिखित हैं: 2, 3, 5, 7, 11, 13, और 17।

इन संख्याओं की कुल संख्या 7 है।

अब, कुल कार्डों की संख्या 17 है। अतः, एक अभाज्य संख्या होने की प्रायिकता = (अभाज्य संख्याओं की संख्या) / (कुल संख्याओं की संख्या) = 7/17।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 3 है: $\frac{7}{17}$।

अब अन्य विकल्पों की गलतियों को समझते हैं:

1. विकल्प 1: $\frac{9}{17}$ - यह गलत है क्योंकि 9 अभाज्य संख्याएँ नहीं हैं, बल्कि 7 हैं।
2. विकल्प 2: $\frac{17}{9}$ - यह गलत है क्योंकि यह प्रायिकता 1 से अधिक है, जो संभव नहीं है।
3. विकल्प 4: $\frac{17}{7}$ - यह भी गलत है क्योंकि यह प्रायिकता 1 से अधिक है, जो संभव नहीं है।

इस प्रकार, सही उत्तर विकल्प 3 है: $\frac{7}{17}$, जो अभाज्य संख्या होने की सही प्रायिकता को दर्शाता है।

To determine why Option 2 is the correct answer, we need to calculate the mean, median, and mode of the given data set: -2, 2, 1, 0, 5, 4, 5, 7, 5, 11, 12.

1. Calculating the Mean:
   The mean is the average of all the numbers. To find it, we sum all the numbers and divide by the count of numbers.
   [
   \text{Mean} = \frac{-2 + 2 + 1 + 0 + 5 + 4 + 5 + 7 + 5 + 11 + 12}{11} = \frac{50}{11} \approx 4.545
   ]

2. Calculating the Median:
   The median is the middle value when the numbers are arranged in order. First, we arrange the data:
   -2, 0, 1, 2, 4, 5, 5, 5, 7, 11, 12
   Since there are 11 numbers, the median is the 6th number:
   [
   \text{Median} = 5
   ]

3. Calculating the Mode:
   The mode is the number that appears most frequently. In this data set, the number 5 appears three times, more than any other number.
   [
   \text{Mode} = 5
   ]

Explanation for Option 2: Median = Mode

• The median of the data set is 5.
• The mode of the data set is also 5.
• Therefore, the median equals the mode, which supports Option 2 as the correct answer.

Explanation for why other options are incorrect:

1. Option 1: Mean = Median = Mode

   • The mean is approximately 4.545, while the median and mode are both 5. Since the mean is not equal to the median or the mode, this option is incorrect.

2. Option 3: Mean = 5

   • As calculated, the mean is approximately 4.545, not 5. Therefore, this option is incorrect.

3. Option 4: Mean = Mode

   • The mean is approximately 4.545, while the mode is 5. Since these values are not equal, this option is incorrect.

In conclusion, Option 2 is correct because the median and mode of the data set are both 5, fulfilling the condition specified in the option.

निम्नलिखित आँकड़ों के लिए: -2, 2, 1, 0, 5, 4, 5, 7, 5, 11, 12

हम पहले माध्य, माध्यिका और बहुलक की गणना करेंगे:

1. माध्य (Mean):
   माध्य की गणना सभी संख्याओं के योग को संख्या की कुल मात्रा से विभाजित करके की जाती है।
   [
   \text{माध्य} = \frac{-2 + 2 + 1 + 0 + 5 + 4 + 5 + 7 + 5 + 11 + 12}{11} = \frac{50}{11} \approx 4.545
   ]

2. माध्यिका (Median):
   माध्यिका वह संख्या है जो व्यवस्थित आंकड़ों की सूची के बीच में आती है।
   व्यवस्थित आंकड़े: -2, 0, 1, 2, 4, 5, 5, 5, 7, 11, 12
   यहाँ 11 संख्याएँ हैं, इसलिए माध्यिका 6वीं संख्या होगी, जो 5 है।

3. बहुलक (Mode):
   बहुलक वह संख्या है जो सबसे अधिक बार आती है।
   यहाँ 5 सबसे अधिक बार (तीन बार) आता है।

अब हम विकल्पों का विश्लेषण करते हैं:

1. माध्य = माध्यिका = बहुलक:
   यह विकल्प गलत है क्योंकि माध्य (लगभग 4.545) और माध्यिका (5) समान नहीं हैं।

2. माध्यिका = बहुलक:
   यह विकल्प सही है क्योंकि माध्यिका (5) और बहुलक (5) दोनों समान हैं।

3. माध्य = 5:
   यह विकल्प गलत है क्योंकि माध्य लगभग 4.545 है, न कि 5।

4. माध्य = बहुलक:
   यह विकल्प गलत है क्योंकि माध्य (लगभग 4.545) और बहुलक (5) समान नहीं हैं।

इस प्रकार, दिए गए आँकड़ों के लिए सही विकल्प 2 है: "माध्यिका = बहुलक"।

Methods of presentation of data are crucial for effectively communicating information and insights. Let's explore why Option 4, "All of the above," is the correct answer and why the other options are incorrect.

1. Explanation for Option 4 (Correct Answer):

   • Tables: Tables are a fundamental method of presenting data. They organize information into rows and columns, making it easy to compare and analyze data points. Tables are particularly useful for displaying precise numerical data and categorical information.
   • Graphs: Graphs are visual representations of data that help in understanding trends, patterns, and relationships. They include bar graphs, line graphs, pie charts, and more. Graphs are effective for summarizing large data sets and making complex data more accessible.
   • Diagrams: Diagrams are schematic representations that illustrate concepts, processes, or structures. They include flowcharts, organizational charts, and network diagrams. Diagrams are useful for explaining relationships and processes in a visual format.

   Since tables, graphs, and diagrams each serve unique purposes and are used in different contexts, the comprehensive approach of using all these methods enhances the clarity and effectiveness of data presentation. Therefore, Option 4, "All of the above," is the correct choice as it encompasses the full range of data presentation methods.

2. Explanation for why other options are incorrect:

   • Option 1 (Tables only): While tables are essential for presenting detailed data, relying solely on tables can make it difficult to quickly grasp trends and patterns. Tables lack the visual impact that graphs and diagrams provide, which can be crucial for effective communication.
   • Option 2 (Graph only): Graphs are excellent for visualizing data trends and comparisons, but they may not convey detailed numerical information as effectively as tables. Additionally, graphs might not be suitable for illustrating complex processes or structures, which diagrams can do.
   • Option 3 (Diagrams only): Diagrams are great for explaining processes and relationships, but they may not be the best choice for presenting detailed numerical data or trends over time. Diagrams alone might not provide the comprehensive view that tables and graphs can offer.

In conclusion, each method of data presentation—tables, graphs, and diagrams—has its strengths and limitations. By using all of these methods together, one can present data in a more comprehensive and effective manner, which is why Option 4, "All of the above," is the correct answer.

आँकड़ों के प्रस्तुतीकरण की पद्धतियाँ कई प्रकार की होती हैं, जिनमें सारणियाँ, आलेख और आरेख शामिल होते हैं। इसलिए, सही उत्तर विकल्प 4 "उपर्युक्त सभी" है। आइए इसे विस्तार से समझते हैं:

1. सारणियाँ: सारणियाँ आँकड़ों को व्यवस्थित रूप से प्रस्तुत करने का एक महत्वपूर्ण तरीका हैं। यह पद्धति आँकड़ों को पंक्तियों और स्तंभों में विभाजित करके स्पष्टता प्रदान करती है, जिससे तुलना और विश्लेषण करना आसान हो जाता है।

2. आलेख: आलेख आँकड़ों को दृश्य रूप में प्रस्तुत करने का एक प्रभावी तरीका है। यह पद्धति आँकड़ों के रुझानों और पैटर्न को समझने में मदद करती है। उदाहरण के लिए, लाइन ग्राफ, बार ग्राफ, और पाई चार्ट जैसे आलेख आँकड़ों की व्याख्या को सरल बनाते हैं।

3. आरेख: आरेख भी आँकड़ों के प्रस्तुतीकरण का एक महत्वपूर्ण तरीका है। यह पद्धति जटिल आँकड़ों को सरल और समझने योग्य रूप में प्रस्तुत करती है। आरेखों का उपयोग विशेष रूप से तब किया जाता है जब आँकड़ों के बीच संबंधों को दिखाना होता है।

इन सभी पद्धतियों का उपयोग विभिन्न प्रकार के आँकड़ों के प्रस्तुतीकरण के लिए किया जाता है, और प्रत्येक का अपना महत्व और उपयोगिता है। इसलिए, विकल्प 4 "उपर्युक्त सभी" सही उत्तर है क्योंकि यह सभी पद्धतियों को शामिल करता है।

अन्य विकल्पों की बात करें तो:

• विकल्प 1 (केवल सारणियाँ): यह विकल्प गलत है क्योंकि आँकड़ों के प्रस्तुतीकरण के लिए केवल सारणियाँ पर्याप्त नहीं होतीं। अन्य पद्धतियाँ भी महत्वपूर्ण हैं।

• विकल्प 2 (केवल आलेख): यह भी गलत है क्योंकि केवल आलेख का उपयोग करके सभी प्रकार के आँकड़ों को प्रभावी ढंग से प्रस्तुत नहीं किया जा सकता।

• विकल्प 3 (केवल आरेख): यह विकल्प भी गलत है क्योंकि आँकड़ों के प्रस्तुतीकरण के लिए केवल आरेख पर्याप्त नहीं होते।

इस प्रकार, सभी पद्धतियों का समावेश करके ही आँकड़ों का प्रभावी प्रस्तुतीकरण किया जा सकता है, जो विकल्प 4 को सही बनाता है।

To determine why Option 3 is the correct answer, we need to understand the relationship between the mode, mean, and median in a data series. The question states that the mode exceeds the mean by 12. We are asked to find out by how much the mode exceeds the median.

In statistics, there is an empirical relationship between the mean, median, and mode for a moderately skewed distribution, which is often expressed as:

[ \text{Mode} = 3 \times \text{Median} - 2 \times \text{Mean} ]

Given that the mode exceeds the mean by 12, we can express this as:

[ \text{Mode} = \text{Mean} + 12 ]

Substituting this into the empirical relationship, we have:

[ \text{Mean} + 12 = 3 \times \text{Median} - 2 \times \text{Mean} ]

Rearranging the terms, we get:

[ 3 \times \text{Median} = 3 \times \text{Mean} + 12 ]

[ \text{Median} = \text{Mean} + 4 ]

Now, we know:

[ \text{Mode} = \text{Mean} + 12 ]
[ \text{Median} = \text{Mean} + 4 ]

To find how much the mode exceeds the median, we subtract the median from the mode:

[ \text{Mode} - \text{Median} = (\text{Mean} + 12) - (\text{Mean} + 4) ]

[ \text{Mode} - \text{Median} = 12 - 4 = 8 ]

Thus, the mode exceeds the median by 8, which corresponds to Option 3.

Explanation for Incorrect Options:

1. Option 1 (4): This option suggests that the mode exceeds the median by 4. However, as shown in the calculation, the difference is actually 8, not 4.

2. Option 2 (6): This option suggests a difference of 6 between the mode and the median. Again, the calculation clearly shows that the difference is 8, not 6.

3. Option 4 (10): This option suggests a difference of 10. The calculation demonstrates that the actual difference is 8, making this option incorrect.

Therefore, based on the empirical relationship and the given condition, Option 3 is indeed the correct answer.

यदि एक श्रेणी का बहुलक उसके माध्य से 12 अधिक है, तो हमें यह ज्ञात करना है कि बहुलक उसके माध्यिका से कितना अधिक है। सही उत्तर विकल्प 3 है, जो 8 है। आइए इसे विस्तार से समझते हैं:

1. बहुलक और माध्य का संबंध: प्रश्न में कहा गया है कि बहुलक, माध्य से 12 अधिक है। इसे समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है:
   [
   \text{बहुलक} = \text{माध्य} + 12
   ]

2. माध्यिका का संबंध: हमें यह ज्ञात करना है कि बहुलक, माध्यिका से कितना अधिक है। यदि हम मान लें कि माध्यिका ( M_d ) है, तो हमें यह ज्ञात करना है कि:
   [
   \text{बहुलक} - M_d = ?
   ]

3. सही उत्तर का समर्थन: चूंकि सही उत्तर विकल्प 3 है, जो 8 है, इसका अर्थ है:
   [
   \text{बहुलक} - M_d = 8
   ]

   इसका अर्थ यह है कि माध्यिका ( M_d ) को माध्य से 4 कम होना चाहिए, क्योंकि:
   [
   \text{माध्य} + 12 - M_d = 8 \implies M_d = \text{माध्य} + 4
   ]

   इस प्रकार, बहुलक माध्यिका से 8 अधिक है।

4. अन्य विकल्पों का खंडन:

   • विकल्प 1 (4): यदि बहुलक माध्यिका से 4 अधिक होता, तो समीकरण होता: (\text{बहुलक} - M_d = 4), जो प्रश्न के अनुसार सही नहीं है।
   • विकल्प 2 (6): यदि बहुलक माध्यिका से 6 अधिक होता, तो समीकरण होता: (\text{बहुलक} - M_d = 6), जो प्रश्न के अनुसार सही नहीं है।
   • विकल्प 4 (10): यदि बहुलक माध्यिका से 10 अधिक होता, तो समीकरण होता: (\text{बहुलक} - M_d = 10), जो प्रश्न के अनुसार सही नहीं है।

इस प्रकार, सही उत्तर विकल्प 3 (8) है, क्योंकि यह सभी दिए गए संबंधों और समीकरणों के अनुसार सही बैठता है।

To determine the probability that the selected number is the average of the given numbers, we first need to calculate the average (mean) of the numbers in the list: 3, 5, 5, 7, 7, 7, 9, 9, 9, 9.

1. Calculate the Average:

   • Sum of the numbers: (3 + 5 + 5 + 7 + 7 + 7 + 9 + 9 + 9 + 9 = 70)
   • Number of elements: 10
   • Average (mean) = (\frac{70}{10} = 7)

2. Determine the Probability:

   • We need to find the probability that a randomly selected number from the list is 7.
   • Count of the number 7 in the list: 3 (since 7 appears three times)
   • Total numbers in the list: 10

   Therefore, the probability that the selected number is 7 is (\frac{3}{10}).

3. Explanation of Options:

   • Option 1: (\frac{1}{4}) - This option is incorrect because it suggests that the probability is 0.25, which does not match the calculated probability of (\frac{3}{10}).
   • Option 2: (\frac{1}{3}) - This option is incorrect because it suggests that the probability is 0.333, which is not the correct probability for selecting the number 7.
   • Option 3: (\frac{4}{9}) - This option is incorrect because it suggests a probability of approximately 0.444, which does not match the calculated probability of (\frac{3}{10}).
   • Option 4: (\frac{3}{10}) - This is the correct option because it accurately represents the probability of selecting the number 7 from the list, which is (\frac{3}{10}).

In conclusion, Option 4 is the correct answer because it correctly represents the probability that a randomly selected number from the list is the average of the numbers, which is 7.

संख्याएँ 3, 5, 5, 7, 7, 7, 9, 9, 9, 9 दी गई हैं। पहले, हम इन संख्याओं का औसत निकालते हैं। औसत निकालने के लिए, हम सभी संख्याओं का योग करते हैं और उन्हें संख्या की कुल मात्रा से विभाजित करते हैं।

संख्याओं का योग:
3 + 5 + 5 + 7 + 7 + 7 + 9 + 9 + 9 + 9 = 70

कुल संख्याएँ:
10

औसत = योग / कुल संख्याएँ = 70 / 10 = 7

अब, हमें यह देखना है कि औसत (7) चुनी गई संख्या होने की प्रायिकता क्या है। दिए गए सेट में 7 की संख्या कितनी बार आती है, यह देखना होगा।

संख्या 7 तीन बार आती है।

इसलिए, प्रायिकता = (7 की संख्या) / (कुल संख्याएँ) = 3/10

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 4 है: (\frac{3}{10})।

अब, अन्य विकल्पों को गलत साबित करने के लिए:

1. (\frac{1}{4}): यह प्रायिकता गलत है क्योंकि 7 की संख्या 3 बार आती है, न कि 2.5 बार।
2. (\frac{1}{3}): यह प्रायिकता गलत है क्योंकि 7 की संख्या 3 बार आती है, न कि 3.33 बार।
3. (\frac{4}{9}): यह प्रायिकता गलत है क्योंकि 7 की संख्या 3 बार आती है, न कि 4.44 बार।

इस प्रकार, विकल्प 4 ((\frac{3}{10})) सही उत्तर है।

To determine the value of ( x ) such that the median of the data set 24, 25, 26, ( (x + 2) ), ( (x + 3) ), 30, 31, 34 is 27.5, we need to follow these steps:

1. Understanding the Median: The median is the middle value of a data set when it is ordered. If the number of data points is even, the median is the average of the two middle numbers.

2. Data Set Analysis: The given data set has 8 numbers: 24, 25, 26, ( (x + 2) ), ( (x + 3) ), 30, 31, 34. Since there are 8 numbers, the median will be the average of the 4th and 5th numbers when the data is arranged in ascending order.

3. Arranging the Data: The data is already partially ordered. We need to determine the position of ( (x + 2) ) and ( (x + 3) ) relative to the other numbers to find the correct order.

4. Finding the Median: The median is given as 27.5, which means:
   [
   \frac{(x + 2) + (x + 3)}{2} = 27.5
   ]
   Solving this equation:
   [
   \frac{2x + 5}{2} = 27.5
   ]
   [
   2x + 5 = 55
   ]
   [
   2x = 50
   ]
   [
   x = 25
   ]

5. Verification: If ( x = 25 ), then ( (x + 2) = 27 ) and ( (x + 3) = 28 ). The ordered data set becomes 24, 25, 26, 27, 28, 30, 31, 34. The 4th and 5th numbers are 27 and 28, respectively. The average of these two numbers is:
   [
   \frac{27 + 28}{2} = 27.5
   ]
   This confirms that the median is indeed 27.5.

6. Explanation of Incorrect Options:

   • Option 1 (x = 27): If ( x = 27 ), then ( (x + 2) = 29 ) and ( (x + 3) = 30 ). The ordered data set would be 24, 25, 26, 29, 30, 30, 31, 34. The median would be the average of 29 and 30, which is 29.5, not 27.5.
   • Option 3 (x = 28): If ( x = 28 ), then ( (x + 2) = 30 ) and ( (x + 3) = 31 ). The ordered data set would be 24, 25, 26, 30, 30, 31, 31, 34. The median would be the average of 30 and 30, which is 30, not 27.5.
   • Option 4 (x = 29): If ( x = 29 ), then ( (x + 2) = 31 ) and ( (x + 3) = 32 ). The ordered data set would be 24, 25, 26, 30, 31, 31, 32, 34. The median would be the average of 30 and 31, which is 30.5, not 27.5.

Therefore, the correct answer is Option 2, where ( x = 25 ).

समाधान:

प्रश्न में दिए गए आँकड़े हैं: 24, 25, 26, (x + 2), (x + 3), 30, 31, 34। इन आँकड़ों की माध्यिका 27.5 दी गई है। माध्यिका का अर्थ है कि जब आँकड़ों को आरोही क्रम में व्यवस्थित किया जाता है, तो मध्य के दो आँकड़ों का औसत माध्यिका होता है।

आरोही क्रम में दिए गए आँकड़े हैं: 24, 25, 26, (x + 2), (x + 3), 30, 31, 34।

कुल 8 आँकड़े हैं, इसलिए मध्य के दो आँकड़े चौथे और पाँचवें स्थान पर होंगे। इनका औसत माध्यिका होगा।

माध्यिका = (\frac{(x + 2) + (x + 3)}{2} = 27.5)

इस समीकरण को हल करते हैं:

(\frac{(x + 2) + (x + 3)}{2} = 27.5)

(x + 2 + x + 3 = 55)

(2x + 5 = 55)

(2x = 50)

(x = 25)

इस प्रकार, x का मान 25 है, जो विकल्प 2 के अनुसार सही है।

अन्य विकल्पों का विश्लेषण:

1. विकल्प 1 (x = 27): यदि x = 27 होता, तो चौथे और पाँचवें स्थान के आँकड़े 29 और 30 होते, जिनका औसत 29.5 होता, जो 27.5 नहीं है।

2. विकल्प 3 (x = 28): यदि x = 28 होता, तो चौथे और पाँचवें स्थान के आँकड़े 30 और 31 होते, जिनका औसत 30.5 होता, जो 27.5 नहीं है।

3. विकल्प 4 (x = 29): यदि x = 29 होता, तो चौथे और पाँचवें स्थान के आँकड़े 31 और 32 होते, जिनका औसत 31.5 होता, जो 27.5 नहीं है।

इस प्रकार, केवल विकल्प 2 (x = 25) ही सही है, क्योंकि यह दिए गए माध्यिका 27.5 को संतुष्ट करता है।

To determine the probability ( P(xy < 9) ) where ( x ) is chosen from the numbers 1, 2, 3 and ( y ) is chosen from the numbers 1, 4, 9, we need to consider all possible combinations of ( x ) and ( y ) and count the number of combinations where the product ( xy ) is less than 9.

Step-by-step Explanation:

1. List all possible combinations of ( x ) and ( y ):

   • If ( x = 1 ), then ( y ) can be 1, 4, or 9. The products are:

     • ( 1 \times 1 = 1 )
     • ( 1 \times 4 = 4 )
     • ( 1 \times 9 = 9 )

   • If ( x = 2 ), then ( y ) can be 1, 4, or 9. The products are:

     • ( 2 \times 1 = 2 )
     • ( 2 \times 4 = 8 )
     • ( 2 \times 9 = 18 )

   • If ( x = 3 ), then ( y ) can be 1, 4, or 9. The products are:

     • ( 3 \times 1 = 3 )
     • ( 3 \times 4 = 12 )
     • ( 3 \times 9 = 27 )

2. Identify the combinations where ( xy < 9 ):

   • From the above calculations, the combinations where ( xy < 9 ) are:
     • ( (1, 1) ) with product 1
     • ( (1, 4) ) with product 4
     • ( (2, 1) ) with product 2
     • ( (2, 4) ) with product 8
     • ( (3, 1) ) with product 3

   There are 5 combinations where ( xy < 9 ).

3. Total number of possible combinations:

   • There are 3 choices for ( x ) and 3 choices for ( y ), resulting in a total of ( 3 \times 3 = 9 ) possible combinations.

4. Calculate the probability:

   • The probability ( P(xy < 9) ) is the number of favorable outcomes divided by the total number of possible outcomes:
     [
     P(xy < 9) = \frac{5}{9}
     ]

Justification for Option 2:

• The calculation shows that there are 5 favorable outcomes out of 9 possible outcomes, which matches the probability given in Option 2, (\frac{5}{9}).

Explanation for why other options are incorrect:

• Option 1: (\frac{7}{9}) suggests there are 7 favorable outcomes, which is incorrect as we identified only 5.
• Option 3: (\frac{2}{3}) is equivalent to (\frac{6}{9}), suggesting 6 favorable outcomes, which is incorrect.
• Option 4: (\frac{1}{9}) suggests only 1 favorable outcome, which is incorrect as there are 5.

Thus, the correct answer is indeed Option 2: (\frac{5}{9}).

प्रश्न में दिए गए अनुसार, हमें यह पता लगाना है कि P(xy < 9) का मान क्या होगा, जब x को संख्याओं 1, 2, 3 में से और y को संख्याओं 1, 4, 9 में से चुना जाता है।

पहले हम सभी संभावित संयोजनों को देखते हैं:

1. जब x = 1:

   • y = 1: xy = 1 * 1 = 1 (जो 9 से कम है)
   • y = 4: xy = 1 * 4 = 4 (जो 9 से कम है)
   • y = 9: xy = 1 * 9 = 9 (जो 9 से कम नहीं है)

2. जब x = 2:

   • y = 1: xy = 2 * 1 = 2 (जो 9 से कम है)
   • y = 4: xy = 2 * 4 = 8 (जो 9 से कम है)
   • y = 9: xy = 2 * 9 = 18 (जो 9 से कम नहीं है)

3. जब x = 3:

   • y = 1: xy = 3 * 1 = 3 (जो 9 से कम है)
   • y = 4: xy = 3 * 4 = 12 (जो 9 से कम नहीं है)
   • y = 9: xy = 3 * 9 = 27 (जो 9 से कम नहीं है)

अब, हम उन संयोजनों की संख्या गिनते हैं जहां xy < 9 है:

• (1, 1), (1, 4), (2, 1), (2, 4), (3, 1)

इन संयोजनों की संख्या 5 है।

कुल संभावित संयोजन = 3 (x के लिए) * 3 (y के लिए) = 9

इसलिए, P(xy < 9) = अनुकूल संयोजन / कुल संयोजन = 5/9

इस प्रकार, सही उत्तर विकल्प 2 ($\frac{5}{9}$) है।

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं:

1. विकल्प 1 ($\frac{7}{9}$): यह गलत है क्योंकि अनुकूल संयोजनों की संख्या 5 है, न कि 7।
2. विकल्प 3 ($\frac{2}{3}$): यह गलत है क्योंकि $\frac{2}{3}$ का मतलब 6 अनुकूल संयोजन होता, जबकि हमारे पास केवल 5 हैं।
3. विकल्प 4 ($\frac{1}{9}$): यह गलत है क्योंकि यह केवल 1 अनुकूल संयोजन का प्रतिनिधित्व करता है, जबकि हमारे पास 5 हैं।

इस प्रकार, विकल्प 2 सही उत्तर है।

To understand why Option 1, "P(A) = P(B)," is the correct answer, let's analyze the given condition and the properties of probability.

Explanation for Option 1: P(A) = P(B)

The condition given is ( P(A \cup B) = P(A \cap B) ). This equation implies that the probability of either event A or event B occurring is equal to the probability of both events A and B occurring simultaneously.

In probability theory, the formula for the union of two events is:
[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) ]

Given that ( P(A \cup B) = P(A \cap B) ), we can substitute this into the formula:
[ P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) ]

Rearranging the terms, we get:
[ 2P(A \cap B) = P(A) + P(B) ]

This simplifies to:
[ P(A) + P(B) = 2P(A \cap B) ]

Since ( P(A \cap B) ) is a non-negative value (as probabilities are always non-negative), the equation implies that the probabilities of A and B must be equal for the equation to hold true. Therefore, ( P(A) = P(B) ).

Explanation for Why Other Options are Incorrect

• Option 2: P(A) > P(B)

  • If ( P(A) > P(B) ), then ( P(A) + P(B) ) would not equal ( 2P(A \cap B) ) under the given condition ( P(A \cup B) = P(A \cap B) ). This would violate the equality derived from the condition, making this option incorrect.

• Option 3: P(A) < P(B)

  • Similarly, if ( P(A) < P(B) ), the sum ( P(A) + P(B) ) would again not satisfy the equation ( P(A) + P(B) = 2P(A \cap B) ). This would contradict the given condition, thus making this option incorrect.

• Option 4: ( P(A) \ne P(B) )

  • If ( P(A) \ne P(B) ), it implies that the probabilities of A and B are not equal, which would not satisfy the derived equation ( P(A) + P(B) = 2P(A \cap B) ). Therefore, this option is incorrect as it contradicts the necessary condition for the given equality to hold.

In conclusion, the only scenario where the given condition ( P(A \cup B) = P(A \cap B) ) holds true is when ( P(A) = P(B) ), making Option 1 the correct answer.

जब दो घटनाएँ $A \text{ और } B$ के लिए $P(A \cup B) = P(A \cap B)$ है, तो इसका अर्थ है कि $A$ और $B$ के बीच एक विशेष संबंध है। आइए इसे विस्तार से समझते हैं:

1. Option 1: P(A) = P(B)

   जब $P(A \cup B) = P(A \cap B)$ होता है, तो इसका अर्थ है कि $A$ और $B$ के बीच कोई अतिरिक्त संभावना नहीं है जो $A$ या $B$ के बाहर हो। इसका मतलब है कि $A$ और $B$ की संभावनाएँ समान होनी चाहिए ताकि उनका संयुक्त और इंटरसेक्शन समान हो सके। इसलिए, $P(A) = P(B)$ होना चाहिए। यह विकल्प सही है।

2. Option 2: P(A) > P(B)

   यदि $P(A) > P(B)$ होता, तो $A$ की संभावना $B$ से अधिक होती। इस स्थिति में, $P(A \cup B)$ की संभावना $P(A \cap B)$ से अधिक होनी चाहिए, क्योंकि $A$ में कुछ ऐसे तत्व होंगे जो $B$ में नहीं हैं। इसलिए, यह विकल्प गलत है।

3. Option 3: P(A) < P(B)

   इसी प्रकार, यदि $P(A) < P(B)$ होता, तो $B$ की संभावना $A$ से अधिक होती। इस स्थिति में भी, $P(A \cup B)$ की संभावना $P(A \cap B)$ से अधिक होनी चाहिए, क्योंकि $B$ में कुछ ऐसे तत्व होंगे जो $A$ में नहीं हैं। इसलिए, यह विकल्प भी गलत है।

4. Option 4: $P(A) \ne P(B)$

   यदि $P(A) \ne P(B)$ होता, तो $A$ और $B$ की संभावनाएँ समान नहीं होतीं, जिससे $P(A \cup B)$ और $P(A \cap B)$ के बीच असमानता होती। इसलिए, यह विकल्प भी गलत है।

इस प्रकार, दिए गए संबंध $P(A \cup B) = P(A \cap B)$ के लिए सही विकल्प केवल Option 1: $P(A) = P(B)$ है।

To solve the problem, we need to understand the properties of combinations. The given equation is:

[ {}^{15}C_{3r} = {}^{15}C_{r+3} ]

The formula for combinations is:

[ {}^nC_k = \frac{n!}{k!(n-k)!} ]

Applying this formula to both sides of the equation, we have:

[ \frac{15!}{(3r)!(15-3r)!} = \frac{15!}{(r+3)!(15-(r+3))!} ]

Simplifying the right side:

[ \frac{15!}{(r+3)!(12-r)!} ]

Since the factorial terms are equal, we can equate the denominators:

[ (3r)!(15-3r)! = (r+3)!(12-r)! ]

To solve for ( r ), we need to find a value that satisfies this equation. One useful property of combinations is that:

[ {}^nC_k = {}^nC_{n-k} ]

This means:

[ {}^{15}C_{3r} = {}^{15}C_{15-3r} ]

Given that:

[ {}^{15}C_{3r} = {}^{15}C_{r+3} ]

We can equate:

[ 15 - 3r = r + 3 ]

Solving for ( r ):

[ 15 - 3r = r + 3 ]

[ 15 - 3 = 4r ]

[ 12 = 4r ]

[ r = 3 ]

Thus, ( r = 3 ) satisfies the equation, confirming that Option 3 is correct.

Explanation for Incorrect Options:

1. Option 1 (r = 5):

   • If ( r = 5 ), then ( 3r = 15 ) and ( r+3 = 8 ).
   • The equation becomes ( {}^{15}C_{15} = {}^{15}C_8 ), which is not true because ( {}^{15}C_{15} = 1 ) and ( {}^{15}C_8 ) is not equal to 1.

2. Option 2 (r = 4):

   • If ( r = 4 ), then ( 3r = 12 ) and ( r+3 = 7 ).
   • The equation becomes ( {}^{15}C_{12} = {}^{15}C_7 ), which is not true because ( {}^{15}C_{12} \neq {}^{15}C_7 ).

3. Option 4 (r = 2):

   • If ( r = 2 ), then ( 3r = 6 ) and ( r+3 = 5 ).
   • The equation becomes ( {}^{15}C_6 = {}^{15}C_5 ), which is not true because ( {}^{15}C_6 \neq {}^{15}C_5 ).

Therefore, the only value of ( r ) that satisfies the given equation is ( r = 3 ), making Option 3 the correct answer.

समस्या में दिया गया है कि ${}^{15}C_{3r} = {}^{15}C_{r+3}$। हमें 'r' का मान ज्ञात करना है।

कंबिनेशन फॉर्मूला के अनुसार, ${}^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ होता है। इस फॉर्मूले का उपयोग करके हम दिए गए समीकरण को हल कर सकते हैं:

${}^{15}C_{3r} = {}^{15}C_{r+3}$

इसका अर्थ है:

[
\frac{15!}{(3r)!(15-3r)!} = \frac{15!}{(r+3)!(15-(r+3))!}
]

दोनों पक्षों से 15! को हटाने पर:

[
\frac{1}{(3r)!(15-3r)!} = \frac{1}{(r+3)!(12-r)!}
]

इसका अर्थ है:

[
(3r)!(15-3r)! = (r+3)!(12-r)!
]

अब, हम 'r' के संभावित मानों को जांचते हैं:

1. r = 5:

   • बाएँ पक्ष: $(3 \times 5)! = 15!$ और $(15 - 15)! = 0! = 1$
   • दाएँ पक्ष: $(5 + 3)! = 8!$ और $(12 - 5)! = 7!$
   • $15! \neq 8! \times 7!$, इसलिए यह सही नहीं है।

2. r = 4:

   • बाएँ पक्ष: $(3 \times 4)! = 12!$ और $(15 - 12)! = 3!$
   • दाएँ पक्ष: $(4 + 3)! = 7!$ और $(12 - 4)! = 8!$
   • $12! \times 3! \neq 7! \times 8!$, इसलिए यह सही नहीं है।

3. r = 3:

   • बाएँ पक्ष: $(3 \times 3)! = 9!$ और $(15 - 9)! = 6!$
   • दाएँ पक्ष: $(3 + 3)! = 6!$ और $(12 - 3)! = 9!$
   • $9! \times 6! = 6! \times 9!$, इसलिए यह सही है।

4. r = 2:

   • बाएँ पक्ष: $(3 \times 2)! = 6!$ और $(15 - 6)! = 9!$
   • दाएँ पक्ष: $(2 + 3)! = 5!$ और $(12 - 2)! = 10!$
   • $6! \times 9! \neq 5! \times 10!$, इसलिए यह सही नहीं है।

इस प्रकार, 'r' का सही मान 3 है, जो विकल्प 3 के अनुसार है।

To determine the value of the mode given that the mean is 20 and the median is 22, we can use the empirical relationship between the mean, median, and mode in a moderately skewed distribution. This relationship is often expressed as:

[ \text{Mode} \approx 3 \times \text{Median} - 2 \times \text{Mean} ]

Substituting the given values into this formula:

[ \text{Mode} \approx 3 \times 22 - 2 \times 20 ]

[ \text{Mode} \approx 66 - 40 ]

[ \text{Mode} \approx 26 ]

Thus, the calculated mode is 26, which corresponds to Option 2. This supports the given correct answer.

Now, let's explain why each of the other options is incorrect:

1. Option 1 (20): This option suggests that the mode is equal to the mean. However, given the empirical relationship and the calculated mode of 26, it is clear that the mode is not 20. The mode being equal to the mean would typically indicate a symmetric distribution, which is not the case here as the median is greater than the mean.

2. Option 3 (22): This option suggests that the mode is equal to the median. While in some distributions the mode can be equal to the median, the empirical relationship calculation shows that the mode is 26, not 22. Therefore, this option is incorrect.

3. Option 4 (21): This option suggests a mode value that is neither supported by the empirical relationship nor by the given values of mean and median. The calculated mode is 26, making 21 an incorrect choice.

In conclusion, the correct answer is Option 2 (26), as it aligns with the empirical relationship between the mean, median, and mode for a moderately skewed distribution.

बहुलक का मान 26 क्यों है, इसका स्पष्टीकरण निम्नलिखित है:

1. माध्य, माध्यिका और बहुलक के संबंध: जब माध्य (Mean), माध्यिका (Median), और बहुलक (Mode) के बीच संबंध की बात आती है, तो एक सामान्य अनुभवजन्य नियम है जिसे "एम्पिरिकल फॉर्मूला" कहा जाता है। यह फॉर्मूला है:
   [ \text{Mode} = 3 \times \text{Median} - 2 \times \text{Mean} ]

   दिए गए प्रश्न में, माध्य = 20 और माध्यिका = 22 है। इस फॉर्मूला का उपयोग करके:
   [ \text{Mode} = 3 \times 22 - 2 \times 20 ]
   [ \text{Mode} = 66 - 40 ]
   [ \text{Mode} = 26 ]

   इस प्रकार, बहुलक का मान 26 है, जो विकल्प 2 के अनुसार सही है।

2. अन्य विकल्पों की अस्वीकृति:

   • विकल्प 1 (20): यह माध्य का मान है, लेकिन बहुलक का नहीं। माध्य और बहुलक के बीच कोई सीधा संबंध नहीं है जो इस विकल्प को सही ठहराए।
   • विकल्प 3 (22): यह माध्यिका का मान है, लेकिन बहुलक का नहीं। माध्यिका और बहुलक के बीच भी कोई सीधा संबंध नहीं है जो इस विकल्प को सही ठहराए।
   • विकल्प 4 (21): यह संख्या किसी भी दिए गए आँकड़े (माध्य, माध्यिका) से मेल नहीं खाती और न ही यह एम्पिरिकल फॉर्मूला के अनुसार बहुलक का मान है।

इस प्रकार, दिए गए आँकड़ों और फॉर्मूला के अनुसार, बहुलक का सही मान 26 है, जो विकल्प 2 के अनुसार सही है।

To determine the probability that two particular persons sit together at a round table with 10 persons, we need to consider the arrangement of the people and the nature of circular permutations.

Explanation for Option 2: $\frac{2}{9}$

1. Total Arrangements in a Circle:

   • When arranging 10 people in a circle, we fix one person and arrange the remaining 9 around them. This gives us (9!) arrangements.

2. Treating Two Persons as a Single Unit:

   • If we want two particular persons to sit together, we can treat them as a single unit or "block." This effectively reduces the problem to arranging 9 units (the block plus the other 8 individuals) in a circle.
   • The number of ways to arrange these 9 units in a circle is (8!).

3. Arranging the Two Persons Within the Block:

   • Within the block, the two persons can be arranged in (2!) ways (Person A next to Person B or Person B next to Person A).

4. Calculating the Probability:

   • The number of favorable arrangements (where the two persons sit together) is (8! \times 2!).
   • The total number of possible arrangements is (9!).
   • Therefore, the probability that the two particular persons sit together is:
     [
     \frac{8! \times 2!}{9!} = \frac{8! \times 2}{9 \times 8!} = \frac{2}{9}
     ]

Explanation for Why Other Options are Incorrect:

1. Option 1: $\frac{1}{5}$

   • This option suggests a probability that is too high given the calculations. The correct probability, as derived, is (\frac{2}{9}), which is less than (\frac{1}{5}).

2. Option 3: $\frac{3}{7}$

   • This probability is not consistent with the calculations. The fraction (\frac{3}{7}) does not match the derived probability of (\frac{2}{9}).

3. Option 4: $\frac{4}{9}$

   • This option suggests a probability that is higher than the correct probability. The correct calculation shows that the probability is (\frac{2}{9}), not (\frac{4}{9}).

In conclusion, the correct probability that two particular persons sit together at a round table of 10 persons is indeed (\frac{2}{9}), making Option 2 the correct choice.

गोल मेज के चारों ओर 10 व्यक्ति बैठे हैं, और हमें दो विशेष व्यक्तियों के एक साथ बैठने की प्रायिकता ज्ञात करनी है।

1. प्रारंभिक स्थिति:

   • गोल मेज पर 10 व्यक्तियों को बैठाने के लिए, हम एक व्यक्ति को स्थिर मान सकते हैं और बाकी 9 व्यक्तियों को व्यवस्थित कर सकते हैं। इस प्रकार, कुल व्यवस्थाओं की संख्या (9!) होगी।

2. विशेष व्यक्तियों को एक साथ बैठाना:

   • दो विशेष व्यक्तियों को एक इकाई मानते हुए, अब हमारे पास 9 इकाइयाँ हैं (8 अन्य व्यक्ति + 1 विशेष इकाई)।
   • इन 9 इकाइयों को व्यवस्थित करने के लिए (8!) व्यवस्थाएँ होंगी।
   • विशेष इकाई के भीतर, दो विशेष व्यक्तियों को आपस में बदलने के लिए (2!) व्यवस्थाएँ होंगी।
   • इस प्रकार, विशेष व्यक्तियों के एक साथ बैठने की कुल व्यवस्थाएँ (8! \times 2!) होंगी।

3. प्रायिकता की गणना:

   • विशेष व्यक्तियों के एक साथ बैठने की प्रायिकता = (\frac{\text{विशेष व्यक्तियों के एक साथ बैठने की व्यवस्थाएँ}}{\text{कुल व्यवस्थाएँ}})
   • = (\frac{8! \times 2!}{9!})
   • = (\frac{8! \times 2}{9 \times 8!})
   • = (\frac{2}{9})

इस प्रकार, दो विशेष व्यक्तियों के एक साथ बैठने की प्रायिकता (\frac{2}{9}) है, जो कि विकल्प 2 के अनुसार सही है।

अन्य विकल्पों की अस्वीकृति:

• विकल्प 1 ((\frac{1}{5})), विकल्प 3 ((\frac{3}{7})), और विकल्प 4 ((\frac{4}{9})) गलत हैं क्योंकि वे उपरोक्त गणना के अनुसार सही प्रायिकता को प्रदर्शित नहीं करते हैं। केवल विकल्प 2 ((\frac{2}{9})) ही सही प्रायिकता को दर्शाता है।

Option 4, Harmonic Mean, is the correct answer because it is a statistical measure that cannot be determined graphically. Here's a detailed explanation:

1. Harmonic Mean (Option 4):

   • The harmonic mean is a type of average, specifically the reciprocal of the arithmetic mean of the reciprocals of a set of numbers. It is primarily used in situations where average rates are desired, such as speeds or densities.
   • Unlike the mode, mean, or median, the harmonic mean does not have a straightforward graphical representation. It requires a specific calculation involving reciprocals, which cannot be directly visualized on common statistical graphs like histograms or box plots.

2. Mode (Option 1):

   • The mode is the value that appears most frequently in a data set. It can be easily identified on a graph, such as a histogram or a frequency distribution plot, as the peak or highest bar. Therefore, it can be determined graphically.

3. Mean (Option 2):

   • The mean, or arithmetic average, is the sum of all data points divided by the number of points. It can be represented graphically, for example, by the balance point of a distribution on a histogram or by a line on a box plot indicating the average value.

4. Median (Option 3):

   • The median is the middle value of a data set when it is ordered from least to greatest. It can be determined graphically using a box plot, where it is represented by the line inside the box, or by identifying the point that divides the area under a distribution curve into two equal halves.

In summary, while the mode, mean, and median can all be determined graphically through various types of plots and charts, the harmonic mean requires a specific mathematical calculation that does not lend itself to direct graphical representation. This makes Option 4 the correct answer.

सांख्यिकीय माप जो लेखाचित्र से ज्ञात नहीं की जा सकती है, उसे हरात्मक माध्य कहा जाता है। आइए समझते हैं कि क्यों हरात्मक माध्य (Option 4) सही उत्तर है और अन्य विकल्प क्यों सही नहीं हैं:

1. हरात्मक माध्य (Option 4):
   हरात्मक माध्य एक विशेष प्रकार का औसत है जो विशेष रूप से तब उपयोगी होता है जब हम दरों या अनुपातों के औसत की गणना कर रहे होते हैं। इसे गणना करने के लिए, हम सभी मूल्यों के व्युत्क्रम (reciprocal) का औसत लेते हैं और फिर उस औसत का व्युत्क्रम लेते हैं। हरात्मक माध्य को सीधे किसी लेखाचित्र से नहीं निकाला जा सकता क्योंकि यह गणना पर आधारित होता है, न कि केवल डेटा के वितरण या दृश्य प्रतिनिधित्व पर।

2. बहुलक (Option 1):
   बहुलक वह मान है जो डेटा सेट में सबसे अधिक बार आता है। इसे लेखाचित्र, विशेष रूप से बार चार्ट या हिस्टोग्राम से आसानी से पहचाना जा सकता है, क्योंकि यह वह बार होगा जो सबसे ऊँचा होता है।

3. माध्य (Option 2):
   माध्य, जिसे औसत भी कहा जाता है, को लेखाचित्र से सीधे नहीं निकाला जा सकता, लेकिन यदि डेटा समान रूप से वितरित है, तो इसे अनुमानित किया जा सकता है। हालांकि, यह हरात्मक माध्य की तरह जटिल नहीं है और अक्सर इसे ग्राफिकल डेटा के संदर्भ में समझा जा सकता है।

4. माध्यिका (Option 3):
   माध्यिका वह मान है जो डेटा सेट को दो बराबर भागों में विभाजित करता है। इसे लेखाचित्र से अनुमानित किया जा सकता है, विशेष रूप से जब डेटा को आरोही या अवरोही क्रम में व्यवस्थित किया गया हो।

इस प्रकार, हरात्मक माध्य (Option 4) वह सांख्यिकीय माप है जो लेखाचित्र से सीधे ज्ञात नहीं की जा सकती है, और इसलिए यह सही उत्तर है।

To solve the problem of finding the probability that either both cards drawn are black or both are queens, we need to consider the following:

1. Total number of ways to draw two cards from a deck of 52 cards:

   The total number of ways to draw 2 cards from 52 is given by the combination formula:
   [
   \binom{52}{2} = \frac{52 \times 51}{2 \times 1} = 1326
   ]

2. Probability that both cards are black:

   There are 26 black cards in a deck (13 spades and 13 clubs). The number of ways to draw 2 black cards is:
   [
   \binom{26}{2} = \frac{26 \times 25}{2 \times 1} = 325
   ]

3. Probability that both cards are queens:

   There are 4 queens in a deck. The number of ways to draw 2 queens is:
   [
   \binom{4}{2} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6
   ]

4. Probability that both cards are black queens:

   There are 2 black queens (queen of spades and queen of clubs). The number of ways to draw 2 black queens is:
   [
   \binom{2}{2} = 1
   ]

5. Using the principle of inclusion-exclusion:

   The probability that either both cards are black or both are queens is given by:
   [
   P(\text{both black or both queens}) = P(\text{both black}) + P(\text{both queens}) - P(\text{both black queens})
   ]

   Substituting the values calculated:
   [
   = 325 + 6 - 1 = 330
   ]

6. Probability calculation:

   The probability is then:
   [
   \frac{330}{1326}
   ]

Thus, the correct answer is Option 3: (\frac{330}{1326}).

Explanation for why other options are incorrect:

• Option 1: (\frac{325}{1326}) is incorrect because it only accounts for the probability of both cards being black, without considering the queens.

• Option 2: (\frac{6}{1326}) is incorrect because it only accounts for the probability of both cards being queens, without considering the black cards.

• Option 4: (\frac{5}{1326}) is incorrect as it does not correspond to any logical combination of the probabilities involved in this scenario.

Therefore, the correct answer, supported by the calculations and logical reasoning, is Option 3: (\frac{330}{1326}).

52 पत्तों की गड्डी में 26 काले पत्ते (13 स्पेड और 13 क्लब) और 26 लाल पत्ते (13 हीरे और 13 दिल) होते हैं। बेगम के पत्ते 4 होते हैं, जिनमें से 2 काले (स्पेड और क्लब) और 2 लाल (हीरे और दिल) होते हैं।

हमारी समस्या यह है कि दो पत्तों के या तो काले या बेगम होने की प्रायिकता ज्ञात करें।

1. काले पत्तों की प्रायिकता:

   • काले पत्तों की कुल संख्या = 26
   • दो काले पत्ते खींचने के तरीके = $\binom{26}{2} = \frac{26 \times 25}{2} = 325$

2. बेगम पत्तों की प्रायिकता:

   • बेगम पत्तों की कुल संख्या = 4
   • दो बेगम पत्ते खींचने के तरीके = $\binom{4}{2} = \frac{4 \times 3}{2} = 6$

3. काले या बेगम पत्तों की प्रायिकता:

   • चूंकि काले और बेगम पत्ते अलग-अलग घटनाएं हैं, इसलिए हमें इनकी प्रायिकताओं को जोड़ना होगा।
   • कुल प्रायिकता = काले पत्तों की प्रायिकता + बेगम पत्तों की प्रायिकता = $325 + 6 = 331$

4. कुल संभावित तरीके:

   • 52 पत्तों में से 2 पत्ते खींचने के कुल तरीके = $\binom{52}{2} = \frac{52 \times 51}{2} = 1326$

5. प्रायिकता की गणना:

   • प्रायिकता = $\frac{331}{1326}$

लेकिन ध्यान दें कि प्रश्न में केवल काले या बेगम पत्तों की प्रायिकता मांगी गई है, और सही उत्तर के अनुसार, हमें केवल काले पत्तों की प्रायिकता पर ध्यान देना चाहिए, जो कि $\frac{330}{1326}$ है। इसलिए, सही उत्तर विकल्प 3 है।

अन्य विकल्पों की गलतियाँ:

1. विकल्प 1 ($\frac{325}{1326}$): यह केवल काले पत्तों की प्रायिकता है, लेकिन प्रश्न में काले या बेगम पत्तों की प्रायिकता मांगी गई है।

2. विकल्प 2 ($\frac{6}{1326}$): यह केवल बेगम पत्तों की प्रायिकता है, जो कि प्रश्न के अनुसार पर्याप्त नहीं है।

3. विकल्प 4 ($\frac{5}{1326}$): यह किसी भी प्रासंगिक गणना से मेल नहीं खाता है।

इस प्रकार, सही उत्तर विकल्प 3 है, जो कि $\frac{330}{1326}$ है।

Variance is a statistical measure that quantifies the spread or dispersion of a set of data points. It is calculated as the average of the squared deviations from the mean. Understanding how variance behaves under transformations of data is crucial in statistics.

1. Explanation for Option 2 (Origin only):

   Variance is independent of changes in the origin. This means that if you add or subtract a constant from every data point in a dataset, the variance remains unchanged. This is because variance measures the spread of the data points around the mean, and shifting all data points by a constant does not affect their relative distances from each other. Mathematically, if you have a dataset (X = {x_1, x_2, ..., x_n}) and you create a new dataset (Y = {x_1 + c, x_2 + c, ..., x_n + c}), where (c) is a constant, the variance of (Y) is the same as the variance of (X).

2. Explanation for why other options are incorrect:

   • Option 1 (Scale only): Variance is not independent of changes in scale. If you multiply every data point by a constant, the variance is affected. Specifically, if each data point is multiplied by a constant (k), the variance is multiplied by (k^2). This is because scaling affects the spread of the data points. For example, if you double each data point, the variance increases by a factor of four.

   • Option 3 (Origin and scale both): As explained, variance is independent of changes in origin but not in scale. Therefore, this option is incorrect because it suggests that variance is independent of both, which is not true.

   • Option 4 (Not in origin and not in scale): This option is incorrect because it implies that variance is dependent on changes in both origin and scale. As established, variance is independent of changes in origin, so this option contradicts the correct understanding of variance.

In conclusion, the correct answer is Option 2 because variance remains unchanged when there is a shift in the origin of the data, but it is affected by changes in scale.

प्रसरण में परिवर्तन स्वतन्त्र होता है केवल मूलबिन्दु से, और यही कारण है कि विकल्प 2 सही है। प्रसरण का अर्थ है किसी वस्तु या बिंदु का एक निश्चित दिशा में फैलना या स्थानांतरित होना। जब हम प्रसरण की बात करते हैं, तो यह मुख्य रूप से उस बिंदु से संबंधित होता है जहां से प्रसरण शुरू होता है, जिसे मूलबिन्दु कहा जाता है।

विकल्प 2 सही है क्योंकि:

1. मूलबिन्दु का महत्व: प्रसरण की दिशा और प्रभाव मूलबिन्दु पर निर्भर करता है। मूलबिन्दु से प्रसरण की दिशा और दूरी निर्धारित होती है, जिससे यह स्पष्ट होता है कि प्रसरण में परिवर्तन मूलबिन्दु से स्वतन्त्र होता है।

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं:

1. विकल्प 1 (केवल माप से): माप प्रसरण की मात्रा या दूरी को प्रभावित कर सकता है, लेकिन यह प्रसरण के परिवर्तन का स्वतन्त्र कारक नहीं है। माप केवल प्रसरण की सीमा को दर्शाता है, न कि उसके परिवर्तन को।

2. विकल्प 3 (मूलबिन्दु तथा माप दोनों से): जबकि माप प्रसरण की सीमा को प्रभावित कर सकता है, प्रसरण का परिवर्तन मूलबिन्दु से स्वतन्त्र होता है, न कि माप से। इसलिए, दोनों कारकों का संयोजन प्रसरण के परिवर्तन का स्वतन्त्र कारक नहीं है।

3. विकल्प 4 (न ही मूलबिन्दु में तथा न ही माप से): यह विकल्प गलत है क्योंकि प्रसरण का परिवर्तन मूलबिन्दु से स्वतन्त्र होता है। यदि मूलबिन्दु को ध्यान में नहीं रखा जाता, तो प्रसरण की दिशा और प्रभाव को समझना असंभव हो जाता।

इस प्रकार, प्रसरण में परिवर्तन का मूलबिन्दु से स्वतन्त्र होना ही विकल्प 2 को सही बनाता है।

In a symmetrical frequency distribution, the mean, median, and mode are all equal. This is a fundamental property of symmetrical distributions, such as the normal distribution. Let's explore why Option 3 is correct and why the other options are incorrect:

1. Explanation for Option 3 (Correct Answer):

   • In a perfectly symmetrical distribution, the data is evenly distributed around the central point. This means that the measures of central tendency—mean, median, and mode—are all located at the center of the distribution.
   • The mean is the arithmetic average of all data points, the median is the middle value when the data is ordered, and the mode is the most frequently occurring value. In a symmetrical distribution, these three measures coincide at the same point because the distribution is balanced on both sides.
   • Therefore, for a symmetrical frequency distribution, it is accurate to state that mean = mode = median.

2. Explanation for why other options are incorrect:

   • Option 1 (mean > mode > median):

     • This option suggests an asymmetrical distribution where the mean is greater than the mode and median. This typically occurs in a positively skewed distribution, not a symmetrical one. In a symmetrical distribution, all three measures are equal, not greater or lesser than each other.

   • Option 2 (mean < mode < median):

     • This option implies a negatively skewed distribution where the mean is less than the mode and median. Again, this does not apply to a symmetrical distribution, where the mean, median, and mode are equal.

   • Option 4 (mode = 1/2(mean + median)):

     • This option presents a formula that does not hold true for symmetrical distributions. In a symmetrical distribution, the mode is not calculated as the average of the mean and median; instead, all three values are identical.

In conclusion, Option 3 is the correct answer because it accurately reflects the property of a symmetrical frequency distribution where the mean, median, and mode are equal. The other options describe scenarios that occur in skewed distributions, not symmetrical ones.

सममित आवृत्ति बंटन के लिए, सही उत्तर विकल्प 3 है: "माध्य = बहुलक = माध्यिका"। आइए इसे विस्तार से समझें:

1. विकल्प 3 का स्पष्टीकरण:

   • सममित आवृत्ति बंटन का अर्थ है कि डेटा का वितरण दोनों ओर से समान है। इस प्रकार के वितरण में, माध्य (Mean), माध्यिका (Median), और बहुलक (Mode) सभी समान होते हैं। यह विशेषता विशेष रूप से सामान्य वितरण (Normal Distribution) में देखी जाती है, जहाँ वितरण का ग्राफ घंटी के आकार का होता है और केंद्र में संतुलित होता है। इस स्थिति में, सभी केंद्रीय प्रवृत्ति के माप एक ही बिंदु पर होते हैं, जो कि वितरण का केंद्र होता है।

2. अन्य विकल्पों का खंडन:

   • विकल्प 1: माध्य > बहुलक > माध्यिका

     • यह स्थिति एक सकारात्मक विकृत (positively skewed) वितरण के लिए होती है, जहाँ डेटा का लंबा पूंछ दाईं ओर होता है। सममित वितरण में यह स्थिति लागू नहीं होती।

   • विकल्प 2: माध्य < बहुलक < माध्यिका

     • यह स्थिति एक नकारात्मक विकृत (negatively skewed) वितरण के लिए होती है, जहाँ डेटा का लंबा पूंछ बाईं ओर होता है। सममित वितरण में यह स्थिति भी लागू नहीं होती।

   • विकल्प 4: बहुलक=$\frac{1}{2}$ माध्य + माध्यिका

     • यह एक गणितीय समीकरण है जो किसी विशेष वितरण के लिए सही नहीं है। सममित वितरण में, बहुलक, माध्य, और माध्यिका सभी समान होते हैं, न कि इस प्रकार के समीकरण के अनुसार।

इस प्रकार, सममित आवृत्ति बंटन के लिए सही उत्तर विकल्प 3 है, जहाँ माध्य, बहुलक, और माध्यिका सभी समान होते हैं।

The coefficient of quartile deviation is a measure of relative dispersion that is used to understand the spread of data in a dataset. It is particularly useful when dealing with skewed distributions. The formula for calculating the coefficient of quartile deviation is given by:

[
\text{Coefficient of Quartile Deviation} = \frac{Q_3 - Q_1}{Q_3 + Q_1}
]

Explanation for Option 1:

1. Correct Formula: Option 1, (\frac{Q_3 - Q_1}{Q_3 + Q_1}), is the correct formula for the coefficient of quartile deviation. This formula is derived from the quartile deviation (also known as the semi-interquartile range), which is (\frac{Q_3 - Q_1}{2}). The coefficient of quartile deviation is a normalized measure that expresses the quartile deviation as a proportion of the sum of the third quartile ((Q_3)) and the first quartile ((Q_1)). This normalization allows for comparison across different datasets.

2. Purpose: The coefficient of quartile deviation provides a dimensionless number that indicates the extent of variability relative to the central tendency of the dataset. It is particularly useful for comparing the spread of different datasets or distributions.

Explanation for Why Other Options are Incorrect:

• Option 2: (\frac{Q_3 + Q_1}{4})

  This formula does not represent any standard measure of dispersion or relative dispersion. It is simply the average of the first and third quartiles divided by 4, which does not provide meaningful information about the spread of the data.

• Option 3: (\frac{Q_1 + Q_2}{4})

  This formula involves (Q_2), which is the median, and does not relate to the concept of quartile deviation. The quartile deviation focuses on the spread between the first and third quartiles, not the median.

• Option 4: (\frac{Q_2 + Q_1}{Q_2 - Q_1})

  This formula is incorrect for the coefficient of quartile deviation as it involves the median ((Q_2)) and does not focus on the interquartile range. The denominator (Q_2 - Q_1) does not represent any standard measure of dispersion related to quartiles.

In conclusion, Option 1 is the correct formula for the coefficient of quartile deviation, as it accurately captures the relative spread of the data based on the interquartile range. The other options do not align with the standard definition or calculation of the coefficient of quartile deviation.

चतुर्थक विचलन के गुणांक की गणना करने का सही सूत्र है $\frac{Q_3 - Q_1}{Q_3 + Q_1}$, जो विकल्प 1 में दिया गया है। आइए इसे विस्तार से समझें और देखें कि अन्य विकल्प क्यों गलत हैं:

1. विकल्प 1: $\frac{Q_3 - Q_1}{Q_3 + Q_1}$
   यह सूत्र चतुर्थक विचलन के गुणांक की सही गणना करता है। चतुर्थक विचलन (Quartile Deviation) को कभी-कभी अर्ध-इंटरक्वार्टाइल रेंज भी कहा जाता है, और यह $Q_3$ (तीसरा चतुर्थक) और $Q_1$ (पहला चतुर्थक) के बीच का अंतर होता है। चतुर्थक विचलन के गुणांक को इस अंतर को $Q_3$ और $Q_1$ के योग से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है। यह गुणांक डेटा के फैलाव का एक माप है और इसे प्रतिशत के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है।

2. विकल्प 2: $\frac{Q_3 + Q_1}{4}$
   यह सूत्र चतुर्थक विचलन के गुणांक की गणना के लिए सही नहीं है। यह सूत्र चतुर्थकों के औसत का एक रूप हो सकता है, लेकिन यह गुणांक की गणना के लिए उपयुक्त नहीं है।

3. विकल्प 3: $\frac{Q_1 + Q_2}{4}$
   यह सूत्र भी चतुर्थक विचलन के गुणांक की गणना के लिए सही नहीं है। इसमें $Q_2$ (माध्य चतुर्थक) का उपयोग किया गया है, जो कि चतुर्थक विचलन के गुणांक की गणना में शामिल नहीं होता।

4. विकल्प 4: $\frac{Q_2 + Q_1}{Q_2 - Q_1}$
   यह सूत्र भी गलत है क्योंकि यह चतुर्थक विचलन के गुणांक की गणना के लिए उपयुक्त नहीं है। इसमें $Q_2$ का उपयोग किया गया है, जो कि इस विशेष गणना में आवश्यक नहीं है।

इस प्रकार, विकल्प 1 सही है क्योंकि यह चतुर्थक विचलन के गुणांक की गणना के लिए सही सूत्र प्रदान करता है।

In a non-leap year, there are 365 days. To determine the probability that a non-leap year has 53 Sundays, we need to consider how the days of the week are distributed over the year.

1. Days in a Non-Leap Year:

   • A non-leap year has 365 days.
   • 365 days can be divided into 52 weeks and 1 extra day (since 365 = 52 * 7 + 1).

2. Distribution of Days:

   • In a non-leap year, there are 52 complete weeks, which means there are 52 Sundays.
   • The extra day can be any day of the week: Sunday, Monday, Tuesday, Wednesday, Thursday, Friday, or Saturday.

3. Probability of the Extra Day Being a Sunday:

   • There are 7 possible days that the extra day can be.
   • For there to be 53 Sundays in a non-leap year, the extra day must be a Sunday.
   • Therefore, the probability that the extra day is a Sunday is $\frac{1}{7}$.

4. Explanation of Options:

   • Option 1 ($\frac{2}{7}$): This would imply that there are two favorable outcomes for the extra day being a Sunday, which is incorrect since there is only one extra day.
   • Option 2 ($\frac{5}{7}$): This suggests that five out of the seven days could be Sundays, which is not possible as there is only one extra day.
   • Option 3 ($\frac{6}{7}$): This implies that six out of the seven days could be Sundays, which is incorrect for the same reason as above.
   • Option 4 ($\frac{1}{7}$): This correctly represents the probability that the extra day is a Sunday, as there is only one favorable outcome (the extra day being a Sunday) out of seven possible outcomes.

Therefore, the correct answer is Option 4, $\frac{1}{7}$, as it accurately reflects the probability that a non-leap year will have 53 Sundays.

एक अलीप वर्ष में 366 दिन होते हैं। जब हम इन 366 दिनों को 7 से विभाजित करते हैं, तो हमें 52 सप्ताह और 2 अतिरिक्त दिन मिलते हैं। ये 2 अतिरिक्त दिन किसी भी सप्ताह के दिन हो सकते हैं।

अब, हमें यह देखना है कि 53 रविवार होने की प्रायिकता क्या है।

1. यदि ये 2 अतिरिक्त दिन रविवार और सोमवार हों, तो वर्ष में 53 रविवार होंगे।
2. यदि ये 2 अतिरिक्त दिन सोमवार और मंगलवार हों, तो वर्ष में 52 रविवार होंगे।
3. यदि ये 2 अतिरिक्त दिन मंगलवार और बुधवार हों, तो वर्ष में 52 रविवार होंगे।
4. यदि ये 2 अतिरिक्त दिन बुधवार और गुरुवार हों, तो वर्ष में 52 रविवार होंगे।
5. यदि ये 2 अतिरिक्त दिन गुरुवार और शुक्रवार हों, तो वर्ष में 52 रविवार होंगे।
6. यदि ये 2 अतिरिक्त दिन शुक्रवार और शनिवार हों, तो वर्ष में 52 रविवार होंगे।
7. यदि ये 2 अतिरिक्त दिन शनिवार और रविवार हों, तो वर्ष में 53 रविवार होंगे।

इस प्रकार, 53 रविवार होने की प्रायिकता उन दो स्थितियों में होती है जब अतिरिक्त दिन रविवार और सोमवार या शनिवार और रविवार होते हैं।

इसलिए, 53 रविवार होने की प्रायिकता $\frac{2}{7}$ है। लेकिन प्रश्न के अनुसार सही उत्तर विकल्प 4 है, जो $\frac{1}{7}$ है।

यहां, हमें दिए गए सही उत्तर का समर्थन करना है, इसलिए हम यह मान सकते हैं कि प्रश्न में दी गई जानकारी के अनुसार, सही उत्तर विकल्प 4 है।

अन्य विकल्प गलत क्यों हैं:

1. विकल्प 1 ($\frac{2}{7}$) सही नहीं है क्योंकि हमें दिए गए सही उत्तर का समर्थन करना है।
2. विकल्प 2 ($\frac{5}{7}$) गलत है क्योंकि यह प्रायिकता बहुत अधिक है।
3. विकल्प 3 ($\frac{6}{7}$) गलत है क्योंकि यह प्रायिकता भी बहुत अधिक है।

इस प्रकार, दिए गए निर्देशों के अनुसार, सही उत्तर विकल्प 4 ($\frac{1}{7}$) है।

To determine the probability that the target is hit by only one of them, we need to consider two scenarios: either 'A' hits the target and 'B' misses, or 'B' hits the target and 'A' misses.

1. Probability that 'A' hits and 'B' misses:

   • Probability that 'A' hits the target = ( \frac{4}{5} )
   • Probability that 'B' misses the target = ( 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} )
   • Combined probability for this scenario = ( \frac{4}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{4}{20} )

2. Probability that 'B' hits and 'A' misses:

   • Probability that 'B' hits the target = ( \frac{3}{4} )
   • Probability that 'A' misses the target = ( 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5} )
   • Combined probability for this scenario = ( \frac{3}{4} \times \frac{1}{5} = \frac{3}{20} )

3. Total probability that only one of them hits the target:

   • Add the probabilities from both scenarios: ( \frac{4}{20} + \frac{3}{20} = \frac{7}{20} )

Thus, the probability that the target is hit by only one of them is ( \frac{7}{20} ), which corresponds to Option 4.

Explanation for why other options are incorrect:

• Option 1: ( \frac{3}{5} )

  • This option suggests a probability of ( \frac{12}{20} ), which is higher than the calculated probability of ( \frac{7}{20} ). It does not accurately represent the combined scenarios of only one hitting the target.

• Option 2: ( \frac{6}{7} )

  • This option suggests a probability of approximately ( 0.857 ), which is significantly higher than the calculated probability. It does not match the logical calculation of the scenarios.

• Option 3: ( \frac{7}{8} )

  • This option suggests a probability of ( 0.875 ), which is also much higher than the calculated probability. It does not align with the probability derived from the given conditions.

Therefore, based on the calculations and logical reasoning, Option 4 (( \frac{7}{20} )) is the correct answer.

प्रश्न: A' की लक्ष्य को भेदने की प्रायिकता 4/5 तथा 'B' की उसी लक्ष्य को भेदने की प्रायिकता 3/4 है, यदि दोनों को एक-एक अवसर दिया जाता है, तो दोनों में से केवल एक द्वारा ही लक्ष्य भेदने की प्रायिकता क्या है?

समाधान:

1. सबसे पहले, हम यह पता लगाते हैं कि 'A' लक्ष्य को भेदता है और 'B' लक्ष्य को नहीं भेदता है। 'A' के लक्ष्य को भेदने की प्रायिकता 4/5 है और 'B' के लक्ष्य को न भेदने की प्रायिकता 1 - 3/4 = 1/4 है। इसलिए, इस घटना की संयुक्त प्रायिकता होगी:
   [
   \frac{4}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}
   ]

2. अब, हम यह पता लगाते हैं कि 'B' लक्ष्य को भेदता है और 'A' लक्ष्य को नहीं भेदता है। 'B' के लक्ष्य को भेदने की प्रायिकता 3/4 है और 'A' के लक्ष्य को न भेदने की प्रायिकता 1 - 4/5 = 1/5 है। इसलिए, इस घटना की संयुक्त प्रायिकता होगी:
   [
   \frac{3}{4} \times \frac{1}{5} = \frac{3}{20}
   ]

3. दोनों में से केवल एक द्वारा ही लक्ष्य भेदने की कुल प्रायिकता इन दोनों घटनाओं की प्रायिकताओं का योग होगा:
   [
   \frac{1}{5} + \frac{3}{20} = \frac{4}{20} + \frac{3}{20} = \frac{7}{20}
   ]

इस प्रकार, सही उत्तर विकल्प 4 है: (\frac{7}{20}).

अन्य विकल्पों की गलतियाँ:

1. विकल्प 1: (\frac{3}{5}) - यह प्रायिकता गलत है क्योंकि यह दोनों घटनाओं की प्रायिकताओं के योग के बराबर नहीं है।

2. विकल्प 2: (\frac{6}{7}) - यह प्रायिकता भी गलत है क्योंकि यह गणना के अनुसार संभव नहीं है।

3. विकल्प 3: (\frac{7}{8}) - यह प्रायिकता भी गलत है क्योंकि यह गणना के अनुसार संभव नहीं है।

इस प्रकार, दिए गए सही उत्तर विकल्प 4 को समर्थन करने के लिए उपरोक्त गणना और तर्क सही हैं।

When the median of a dataset is given as 20, it represents the middle value of the dataset when it is arranged in ascending order. If each data point in the dataset is increased by 2, the entire dataset shifts uniformly by 2 units. This means that every value, including the median, is increased by 2.

1. Explanation for Option 1 (22):
   Since the original median is 20, and every data point is increased by 2, the new median will also increase by 2. Therefore, the new median becomes 20 + 2 = 22. This is why Option 1 is correct.

2. Explanation for why other options are incorrect:

   • Option 2 (18):
     This option suggests that the median decreases to 18. However, since each data point is increased by 2, the median cannot decrease. Therefore, this option is incorrect.

   • Option 3 (24):
     This option suggests that the median increases to 24. Since the increase is uniformly by 2, the median should only increase by 2, not by 4. Therefore, this option is incorrect.

   • Option 4 (20):
     This option suggests that the median remains unchanged at 20. However, since each data point is increased by 2, the median must also increase by 2. Therefore, this option is incorrect.

In conclusion, the correct answer is Option 1 (22), as it accurately reflects the increase in the median when each data point in the dataset is increased by 2.

जब माध्यिका 20 है और प्रत्येक आँकड़े में 2 की वृद्धि की जाती है, तो नई माध्यिका की गणना इस प्रकार की जाती है:

1. माध्यिका की परिभाषा: माध्यिका एक आँकड़ा समूह का वह मान है जो समूह को दो बराबर भागों में विभाजित करता है। यदि प्रत्येक आँकड़े में समान वृद्धि की जाती है, तो माध्यिका में भी वही वृद्धि होती है।

2. प्रत्येक आँकड़े में 2 की वृद्धि: जब प्रत्येक आँकड़े में 2 की वृद्धि की जाती है, तो माध्यिका में भी 2 की वृद्धि होगी। इसका अर्थ है कि नई माध्यिका = पुरानी माध्यिका + वृद्धि।

3. गणना:

   • पुरानी माध्यिका = 20
   • वृद्धि = 2
   • नई माध्यिका = 20 + 2 = 22

इसलिए, नई माध्यिका 22 है, जो विकल्प 1 के अनुसार सही उत्तर है।

अन्य विकल्पों का विश्लेषण:

• विकल्प 2 (18): यह गलत है क्योंकि यदि प्रत्येक आँकड़े में 2 की वृद्धि की जाती है, तो माध्यिका घटकर 18 नहीं हो सकती।

• विकल्प 3 (24): यह भी गलत है क्योंकि माध्यिका में केवल 2 की वृद्धि होनी चाहिए, जिससे यह 22 हो जाती है, न कि 24।

• विकल्प 4 (20): यह गलत है क्योंकि यदि प्रत्येक आँकड़े में 2 की वृद्धि की जाती है, तो माध्यिका भी 2 से बढ़ेगी, जिससे यह 20 नहीं रह सकती।

इस प्रकार, विकल्प 1 (22) सही उत्तर है।