HTET Exam Level 3 PGT

Option 4 सही है क्योंकि देव, रीतिकाल के प्रमुख अलंकारवादी आचार्य नहीं हैं। देवदत्त (देव) रीतिकाल के महत्वपूर्ण कवियों में से एक हैं, लेकिन उन्हें मुख्य रूप से रसवादी आचार्य माना जाता है। उन्होंने भाव-विलास, रस-विलास, सुजान-विनोद जैसे ग्रंथों की रचना की, जिनमें रस, भाव और श्रृंगार का विस्तृत वर्णन है। अलंकार उनके काव्य में महत्वपूर्ण हैं, लेकिन उनकी पहचान एक अलंकारवादी आचार्य के रूप में स्थापित नहीं है, बल्कि रसवादी आचार्य के रूप में है।

अब अन्य विकल्पों की व्याख्या:

1. हिंदी के रीतिशास्त्र का आधार संस्कृत काव्यशास्त्र है। यह कथन सत्य है। हिंदी रीतिशास्त्र, संस्कृत काव्यशास्त्र से ही प्रेरित है। अलंकार, रस, ध्वनि, रीति, गुण, दोष आदि की अवधारणाएं संस्कृत काव्यशास्त्र से ही हिंदी में आई हैं।

2. हिंदी कवियों में अलंकार, रस और ध्वनि के ही लक्षण और उदाहरण देने का सामान्यतः प्रयत्न देखने को मिलता है। यह कथन भी सामान्य रूप से सही है। रीतिकाल के कवियों ने अपनी रचनाओं में अलंकार, रस और ध्वनि के लक्षणों और उदाहरणों को प्रस्तुत करने का प्रयास किया, क्योंकि ये उस समय काव्य के महत्वपूर्ण तत्व माने जाते थे।

3. केशव का काव्य प्रवृत्ति की दृष्टि से तो रीतिकाल में आता है किंतु कालक्रम की दृष्टि से नहीं। यह कथन भी सही है। केशवदास को रीतिकाल का प्रवर्तक माना जाता है, लेकिन उनका समय रीतिकाल के आरंभिक चरण में आता है। उनकी रचनाएँ रीतिकाल की प्रवृत्तियों को दर्शाती हैं, लेकिन वे कालक्रम की दृष्टि से रीतिकाल के मध्य या उत्तरकाल में नहीं आते।

इसलिए, केवल Option 4 ही असंगत है क्योंकि देव मुख्य रूप से रसवादी आचार्य हैं, न कि अलंकारवादी।

Option 1 सही है क्योंकि:

• (अ) ग्यारह वर्ष का समय : (iii) रामचंद्र शुक्ल: 'ग्यारह वर्ष का समय' कहानी रामचंद्र शुक्ल द्वारा लिखी गई है। यह शुक्ल जी की प्रसिद्ध कहानियों में से एक है।

• (ब) बड़े भाई साहब : (iv) प्रेमचंद: 'बड़े भाई साहब' कहानी मुंशी प्रेमचंद द्वारा लिखी गई है। यह कहानी दो भाइयों के बीच के संबंध और शिक्षा के महत्व को दर्शाती है।

• (स) फेंस के इधर और उधर : (i) ज्ञानरंजन: 'फेंस के इधर और उधर' कहानी ज्ञानरंजन द्वारा लिखी गई है।

• (द) यही सच है : (ii) मन्नू भंडारी: 'यही सच है' कहानी मन्नू भंडारी द्वारा लिखी गई है। यह कहानी एक महिला के प्रेम और पहचान की खोज पर आधारित है।

अन्य विकल्प गलत हैं क्योंकि वे कहानियों और कहानीकारों का सही मिलान नहीं करते हैं। उदाहरण के लिए, विकल्प 2 में 'ग्यारह वर्ष का समय' को प्रेमचंद से जोड़ा गया है, जो गलत है। इसी तरह, अन्य विकल्पों में भी गलत मिलान किए गए हैं। इसलिए, केवल विकल्प 1 ही सभी कहानियों और कहानीकारों का सही मिलान प्रदान करता है।

To determine the value of ( k ) that makes the function ( f(x) ) continuous at ( x = \frac{\pi}{2} ), we need to ensure that the limit of ( f(x) ) as ( x ) approaches (\frac{\pi}{2}) is equal to ( f\left(\frac{\pi}{2}\right) ).

The function ( f(x) ) is defined as:

[
f(x) =
\begin{cases}
\frac{k \cos x}{\pi - 2x}, & x \ne \frac{\pi}{2} \
3, & x = \frac{\pi}{2}
\end{cases}
]

For continuity at ( x = \frac{\pi}{2} ), we need:

[
\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} f(x) = f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 3
]

First, we calculate the limit of ( f(x) ) as ( x ) approaches (\frac{\pi}{2}):

[
\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{k \cos x}{\pi - 2x}
]

As ( x \to \frac{\pi}{2} ), (\cos x \to 0) and (\pi - 2x \to 0), resulting in an indeterminate form (\frac{0}{0}). We can apply L'Hôpital's Rule to resolve this:

Differentiate the numerator and the denominator:

• The derivative of ( k \cos x ) is (-k \sin x).
• The derivative of (\pi - 2x) is (-2).

Applying L'Hôpital's Rule:

[
\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{-k \sin x}{-2} = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{k \sin x}{2}
]

As ( x \to \frac{\pi}{2} ), (\sin x \to 1). Therefore, the limit becomes:

[
\frac{k \cdot 1}{2} = \frac{k}{2}
]

For continuity, this limit must equal the value of the function at ( x = \frac{\pi}{2} ), which is 3:

[
\frac{k}{2} = 3
]

Solving for ( k ):

[
k = 6
]

Thus, the correct value of ( k ) is 6, which corresponds to Option 2.

Explanation for Other Options:

• Option 1 (k = 3): If ( k = 3 ), then (\frac{k}{2} = \frac{3}{2}), which does not equal 3. Therefore, this option does not satisfy the continuity condition.

• Option 3 (k = 9): If ( k = 9 ), then (\frac{k}{2} = \frac{9}{2} = 4.5), which does not equal 3. Therefore, this option does not satisfy the continuity condition.

• Option 4 (k = 12): If ( k = 12 ), then (\frac{k}{2} = \frac{12}{2} = 6), which does not equal 3. Therefore, this option does not satisfy the continuity condition.

In conclusion, only Option 2 (k = 6) ensures that the function ( f(x) ) is continuous at ( x = \frac{\pi}{2} ).

प्रश्न में दिया गया है कि यदि ( f(x) = \begin{cases} \frac{k \cos x}{\pi - 2x}, & x \ne \frac{\pi}{2} \ 3, & x = \frac{\pi}{2} \end{cases} ) बिन्दु ( x = \frac{\pi}{2} ) पर संतत हो, तो ( k ) का मान क्या होगा।

संततता के लिए, हमें यह सुनिश्चित करना होगा कि (\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} f(x) = f\left(\frac{\pi}{2}\right)) हो। यहाँ ( f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 3 ) है।

अब, ( x \to \frac{\pi}{2} ) के लिए ( f(x) = \frac{k \cos x}{\pi - 2x} ) का मान निकालते हैं:

1. (\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{k \cos x}{\pi - 2x}) को हल करने के लिए, हम (\cos x) के मान का उपयोग करेंगे। जब ( x \to \frac{\pi}{2} ), तब (\cos x \to 0)।

2. (\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{k \cos x}{\pi - 2x} = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{k \cdot 0}{\pi - 2x} = 0)।

लेकिन हमें ( \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} f(x) = 3 ) चाहिए, इसलिए हमें लोपिटल के नियम का उपयोग करना होगा क्योंकि यह ( \frac{0}{0} ) रूप है।

3. लोपिटल के नियम के अनुसार, (\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{k \cos x}{\pi - 2x} = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{-k \sin x}{-2} = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{k \sin x}{2})।

4. जब ( x \to \frac{\pi}{2} ), तब (\sin x \to 1), इसलिए (\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{k \sin x}{2} = \frac{k \cdot 1}{2} = \frac{k}{2})।

5. संततता के लिए, (\frac{k}{2} = 3) होना चाहिए। इसलिए, ( k = 6 )।

इस प्रकार, सही उत्तर विकल्प 2 है, जो ( k = 6 ) है।

अन्य विकल्प गलत क्यों हैं:

1. विकल्प 1 (( k = 3 )): यदि ( k = 3 ), तो (\frac{k}{2} = \frac{3}{2} \neq 3), जो संततता की शर्त को पूरा नहीं करता।

2. विकल्प 3 (( k = 9 )): यदि ( k = 9 ), तो (\frac{k}{2} = \frac{9}{2} \neq 3), जो संततता की शर्त को पूरा नहीं करता।

3. विकल्प 4 (( k = 12 )): यदि ( k = 12 ), तो (\frac{k}{2} = \frac{12}{2} = 6 \neq 3), जो संततता की शर्त को पूरा नहीं करता।

इसलिए, ( k = 6 ) ही सही उत्तर है।

To determine the distance of the point ((-1, -5, -10)) from the point of intersection of the line (\frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{4}=\frac{z-2}{12}) and the plane (x-y+z=5), we need to follow these steps:

1. Find the Point of Intersection:

   The line is given in the symmetric form:
   [
   \frac{x-2}{3} = \frac{y+1}{4} = \frac{z-2}{12} = t
   ]
   From this, we can express (x), (y), and (z) in terms of the parameter (t):
   [
   x = 3t + 2, \quad y = 4t - 1, \quad z = 12t + 2
   ]

   Substitute these into the plane equation (x - y + z = 5):
   [
   (3t + 2) - (4t - 1) + (12t + 2) = 5
   ]
   Simplify:
   [
   3t + 2 - 4t + 1 + 12t + 2 = 5
   ]
   [
   11t + 5 = 5
   ]
   [
   11t = 0 \quad \Rightarrow \quad t = 0
   ]

   Substitute (t = 0) back into the parametric equations:
   [
   x = 3(0) + 2 = 2, \quad y = 4(0) - 1 = -1, \quad z = 12(0) + 2 = 2
   ]

   Thus, the point of intersection is ((2, -1, 2)).

2. Calculate the Distance:

   The distance (d) between the points ((-1, -5, -10)) and ((2, -1, 2)) is given by the distance formula:
   [
   d = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (-1 - (-5))^2 + (2 - (-10))^2}
   ]
   Simplify:
   [
   d = \sqrt{(2 + 1)^2 + (-1 + 5)^2 + (2 + 10)^2}
   ]
   [
   d = \sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2}
   ]
   [
   d = \sqrt{9 + 16 + 144}
   ]
   [
   d = \sqrt{169}
   ]
   [
   d = 13
   ]

Therefore, the distance is 13, which corresponds to Option 4.

3. Explanation of Incorrect Options:

   • Option 1 (10): This option is incorrect because the calculated distance using the distance formula does not yield 10.
   • Option 2 (8): This option is incorrect for the same reason; the distance calculation does not result in 8.
   • Option 3 (21): This option is incorrect as the distance calculation clearly shows the result is not 21.

In conclusion, the correct answer is Option 4, as the calculated distance between the given points is indeed 13.

समस्या यह है कि हमें बिन्दु (-1, -5, -10) की रेखा $\frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{4}=\frac{z-2}{12}$ और समतल $x-y+z=5$ के प्रतिच्छेद बिन्दु से दूरी ज्ञात करनी है।

1. प्रतिच्छेद बिन्दु ज्ञात करना:

   रेखा का समीकरण $\frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{4}=\frac{z-2}{12}=t$ के रूप में लिखा जा सकता है। इससे हमें बिन्दु $(x, y, z)$ के लिए:
   [
   x = 3t + 2, \quad y = 4t - 1, \quad z = 12t + 2
   ]
   अब, इस बिन्दु को समतल $x-y+z=5$ में प्रतिस्थापित करते हैं:
   [
   (3t + 2) - (4t - 1) + (12t + 2) = 5
   ]
   [
   3t + 2 - 4t + 1 + 12t + 2 = 5
   ]
   [
   11t + 5 = 5
   ]
   [
   11t = 0 \quad \Rightarrow \quad t = 0
   ]

   जब $t = 0$, तब प्रतिच्छेद बिन्दु $(x, y, z)$ होगा:
   [
   x = 3(0) + 2 = 2, \quad y = 4(0) - 1 = -1, \quad z = 12(0) + 2 = 2
   ]
   अतः प्रतिच्छेद बिन्दु $(2, -1, 2)$ है।

2. दूरी की गणना:

   अब, बिन्दु $(-1, -5, -10)$ से प्रतिच्छेद बिन्दु $(2, -1, 2)$ तक की दूरी ज्ञात करते हैं:
   [
   \text{दूरी} = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (-1 - (-5))^2 + (2 - (-10))^2}
   ]
   [
   = \sqrt{(2 + 1)^2 + (-1 + 5)^2 + (2 + 10)^2}
   ]
   [
   = \sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2}
   ]
   [
   = \sqrt{9 + 16 + 144}
   ]
   [
   = \sqrt{169}
   ]
   [
   = 13
   ]

इस प्रकार, बिन्दु $(-1, -5, -10)$ से प्रतिच्छेद बिन्दु $(2, -1, 2)$ तक की दूरी 13 है। इसलिए सही उत्तर विकल्प 4 है।

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं:

• विकल्प 1 (10), विकल्प 2 (8), और विकल्प 3 (21) गलत हैं क्योंकि इनकी गणना के अनुसार दूरी 13 नहीं आती है। गणना के अनुसार सही दूरी 13 है, जो विकल्प 4 में दी गई है।

To solve the equation (3 \sin^2 x - 7 \sin x + 2 = 0) in the interval ([0, 5\pi]), we first treat it as a quadratic equation in terms of (\sin x). Let (y = \sin x). The equation becomes:

[3y^2 - 7y + 2 = 0.]

We solve this quadratic equation using the quadratic formula:

[y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},]

where (a = 3), (b = -7), and (c = 2). Plugging in these values, we get:

[y = \frac{7 \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3} = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 24}}{6} = \frac{7 \pm \sqrt{25}}{6}.]

This simplifies to:

[y = \frac{7 \pm 5}{6}.]

Thus, the solutions for (y) are:

[y = \frac{12}{6} = 2 \quad \text{and} \quad y = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}.]

Since (\sin x) must be in the range ([-1, 1]), (y = 2) is not a valid solution. Therefore, we only consider (y = \frac{1}{3}).

Now, we need to find the values of (x) such that (\sin x = \frac{1}{3}) in the interval ([0, 5\pi]). The general solution for (\sin x = \frac{1}{3}) is:

[x = \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) + 2k\pi \quad \text{or} \quad x = \pi - \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) + 2k\pi,]

where (k) is an integer.

Let's denote (\theta = \arcsin\left(\frac{1}{3}\right)). Then the solutions in the interval ([0, 5\pi]) are:

1. (x = \theta + 2k\pi)
2. (x = \pi - \theta + 2k\pi)

We need to find the values of (k) such that these solutions lie within ([0, 5\pi]).

For (x = \theta + 2k\pi):

• When (k = 0), (x = \theta).
• When (k = 1), (x = \theta + 2\pi).
• When (k = 2), (x = \theta + 4\pi).

For (x = \pi - \theta + 2k\pi):

• When (k = 0), (x = \pi - \theta).
• When (k = 1), (x = \pi - \theta + 2\pi = 3\pi - \theta).
• When (k = 2), (x = \pi - \theta + 4\pi = 5\pi - \theta).

Thus, we have a total of 6 solutions: (\theta), (\theta + 2\pi), (\theta + 4\pi), (\pi - \theta), (3\pi - \theta), and (5\pi - \theta).

Therefore, the number of solutions in the interval ([0, 5\pi]) is 6, which corresponds to Option 3.

Explanation for Incorrect Options:

1. Option 1 (0 solutions): This is incorrect because we have found 6 valid solutions within the given interval.

2. Option 2 (5 solutions): This is incorrect because we have explicitly identified 6 solutions, not 5.

3. Option 4 (10 solutions): This is incorrect because the calculation shows only 6 solutions, not 10.

समीकरण (3~\sin^{2}x - 7~\sin~x + 2 = 0) को हल करने के लिए, हम इसे एक क्वाड्रेटिक समीकरण के रूप में देख सकते हैं। इसे (y = \sin x) के रूप में मानते हुए, समीकरण बनता है:

[3y^2 - 7y + 2 = 0]

अब, इस क्वाड्रेटिक समीकरण को हल करते हैं। इसके लिए, हम क्वाड्रेटिक सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

[y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}]

जहाँ (a = 3), (b = -7), और (c = 2) हैं।

[y = \frac{7 \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3}]

[y = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 24}}{6}]

[y = \frac{7 \pm \sqrt{25}}{6}]

[y = \frac{7 \pm 5}{6}]

इससे हमें दो संभावित हल मिलते हैं:

1. (y = \frac{7 + 5}{6} = 2)
2. (y = \frac{7 - 5}{6} = \frac{1}{3})

अब, चूंकि (\sin x) का मान ([-1, 1]) के बीच होना चाहिए, इसलिए (y = 2) अस्वीकार्य है। केवल (y = \frac{1}{3}) ही मान्य है।

अब हमें (\sin x = \frac{1}{3}) के लिए (x) के मान खोजने हैं। (\sin x = \frac{1}{3}) के लिए, (x) के मान ([0, 5\pi]) के अंतराल में खोजने होंगे।

(\sin x = \frac{1}{3}) के लिए, (x) के मान निम्नलिखित होंगे:

1. (x = \arcsin\left(\frac{1}{3}\right))
2. (x = \pi - \arcsin\left(\frac{1}{3}\right))

इन मूल्यों के लिए, हम (2\pi) के गुणकों को जोड़ सकते हैं ताकि सभी संभावित हल मिल सकें:

• (x = \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) + 2k\pi)
• (x = \pi - \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) + 2k\pi)

जहाँ (k) एक पूर्णांक है। अब, (x) के मान ([0, 5\pi]) के भीतर खोजते हैं:

1. (x = \arcsin\left(\frac{1}{3}\right))
2. (x = \pi - \arcsin\left(\frac{1}{3}\right))
3. (x = \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) + 2\pi)
4. (x = \pi - \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) + 2\pi)
5. (x = \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) + 4\pi)
6. (x = \pi - \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) + 4\pi)

इस प्रकार, कुल 6 हल मिलते हैं। इसलिए, विकल्प 3 सही है।

अन्य विकल्प गलत क्यों हैं:

1. विकल्प 1 (0): यह गलत है क्योंकि हमने देखा कि 6 हल हैं।
2. विकल्प 2 (5): यह गलत है क्योंकि 6 हल हैं, न कि 5।
3. विकल्प 4 (10): यह गलत है क्योंकि 6 हल हैं, न कि 10।

To determine the equation of the tangent to the curve (x^2 - y^2 - 8x + 2y + 11 = 0) at the point (2, 1), we need to follow these steps:

1. Find the derivative of the curve: The given curve is implicitly defined, so we use implicit differentiation to find (\frac{dy}{dx}).

   Start with the equation:
   [
   x^2 - y^2 - 8x + 2y + 11 = 0
   ]

   Differentiate both sides with respect to (x):
   [
   \frac{d}{dx}(x^2) - \frac{d}{dx}(y^2) - \frac{d}{dx}(8x) + \frac{d}{dx}(2y) + \frac{d}{dx}(11) = 0
   ]

   This gives:
   [
   2x - 2y\frac{dy}{dx} - 8 + 2\frac{dy}{dx} = 0
   ]

   Rearrange to solve for (\frac{dy}{dx}):
   [
   2x - 8 = 2y\frac{dy}{dx} - 2\frac{dy}{dx}
   ]
   [
   2x - 8 = (2y - 2)\frac{dy}{dx}
   ]
   [
   \frac{dy}{dx} = \frac{2x - 8}{2y - 2}
   ]

2. Evaluate the derivative at the point (2, 1):
   Substitute (x = 2) and (y = 1) into the derivative:
   [
   \frac{dy}{dx} = \frac{2(2) - 8}{2(1) - 2} = \frac{4 - 8}{2 - 2} = \frac{-4}{0}
   ]

   The derivative is undefined, indicating a vertical tangent line at the point (2, 1).

3. Equation of the tangent line:
   Since the tangent is vertical, the equation of the tangent line is of the form (x = a). Given that the tangent passes through the point (2, 1), the equation is (x = 2).

Thus, the equation of the tangent line is (x - 2 = 0), which corresponds to Option 4.

Explanation of why other options are incorrect:

• Option 1: (x + 2 = 0): This equation represents a vertical line at (x = -2), which does not pass through the point (2, 1). Therefore, it cannot be the equation of the tangent at (2, 1).

• Option 2: (2x + 1 = 0): This equation simplifies to (x = -\frac{1}{2}), which is also a vertical line but does not pass through (2, 1). Hence, it is incorrect.

• Option 3: (x - 2y = 0): This equation represents a line with a slope of 1/2, which is not vertical. Since the tangent at (2, 1) is vertical, this option is incorrect.

By following these logical steps, we confirm that Option 4, (x - 2 = 0), is indeed the correct answer.

वक्र $x^{2}-y^{2}-8x+2y+11=0$ के बिन्दु (2, 1) पर स्पर्शी का समीकरण ज्ञात करने के लिए, हमें सबसे पहले वक्र का समीकरण पुनः व्यवस्थित करना होगा और फिर उस पर दिए गए बिंदु पर स्पर्शी की समीकरण निकालनी होगी।

वक्र का समीकरण है:
[ x^{2} - y^{2} - 8x + 2y + 11 = 0 ]

इस समीकरण को आंशिक रूप से x और y के अनुसार अवकलन करेंगे:

1. ( \frac{\partial}{\partial x} (x^{2} - y^{2} - 8x + 2y + 11) = 2x - 8 )
2. ( \frac{\partial}{\partial y} (x^{2} - y^{2} - 8x + 2y + 11) = -2y + 2 )

अब, बिंदु (2, 1) पर इन आंशिक अवकलनों का मान ज्ञात करते हैं:

1. ( 2x - 8 ) पर ( x = 2 ) रखने पर: ( 2(2) - 8 = 4 - 8 = -4 )
2. (-2y + 2) पर ( y = 1 ) रखने पर: (-2(1) + 2 = -2 + 2 = 0 )

स्पर्शी का ढलान ( m ) होगा:
[ m = \frac{-\left(\frac{\partial}{\partial x}\right)}{\left(\frac{\partial}{\partial y}\right)} = \frac{-(-4)}{0} ]

यहाँ, (\frac{-(-4)}{0}) अनंत है, जिसका अर्थ है कि स्पर्शी रेखा x-अक्ष के समानांतर है। इसलिए, स्पर्शी रेखा का समीकरण ( x = k ) के रूप में होगा।

बिंदु (2, 1) पर, ( x = 2 ) है। इसलिए, स्पर्शी रेखा का समीकरण ( x - 2 = 0 ) होगा।

इस प्रकार, सही विकल्प है:

4. ( x - 2 = 0 )

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं:

1. ( x + 2 = 0 ): यह विकल्प गलत है क्योंकि यह रेखा ( x = -2 ) को दर्शाता है, जो बिंदु (2, 1) पर नहीं है।
2. ( 2x + 1 = 0 ): यह विकल्प गलत है क्योंकि यह रेखा ( x = -\frac{1}{2} ) को दर्शाता है, जो बिंदु (2, 1) पर नहीं है।
3. ( x - 2y = 0 ): यह विकल्प गलत है क्योंकि यह रेखा ( y = \frac{x}{2} ) को दर्शाता है, जो बिंदु (2, 1) पर स्पर्शी नहीं है।

इस प्रकार, सही उत्तर विकल्प 4 है: ( x - 2 = 0 )।

To determine the radius of the circle formed by the intersection of the sphere (x^2 + y^2 + z^2 = 25) and the plane (2x + 3y - 6z = 28), we need to follow these steps:

1. Identify the Sphere and Plane:

   • The given sphere is centered at the origin ((0, 0, 0)) with a radius of 5, since (x^2 + y^2 + z^2 = 25) implies (r^2 = 25), so (r = 5).

2. Find the Distance from the Center of the Sphere to the Plane:

   • The formula for the distance (d) from a point ((x_0, y_0, z_0)) to a plane (Ax + By + Cz + D = 0) is:
     [
     d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}
     ]
   • For the plane (2x + 3y - 6z = 28), rewrite it as (2x + 3y - 6z - 28 = 0).
   • The center of the sphere is ((0, 0, 0)), so:
     [
     d = \frac{|2(0) + 3(0) - 6(0) - 28|}{\sqrt{2^2 + 3^2 + (-6)^2}} = \frac{|-28|}{\sqrt{4 + 9 + 36}} = \frac{28}{\sqrt{49}} = \frac{28}{7} = 4
     ]

3. Determine the Radius of the Circle:

   • The radius (r_c) of the circle formed by the intersection is given by the Pythagorean theorem in the context of the sphere:
     [
     r_c = \sqrt{r^2 - d^2}
     ]
   • Here, (r = 5) and (d = 4), so:
     [
     r_c = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3
     ]

Thus, the radius of the circle is 3, which corresponds to Option 1.

Explanation for Incorrect Options:

• Option 2 (13): This value is incorrect because it exceeds the radius of the sphere itself, which is 5. The radius of the circle formed by the intersection cannot be greater than the radius of the sphere.

• Option 3 (4): This value is incorrect because it represents the distance from the center of the sphere to the plane, not the radius of the circle formed by the intersection.

• Option 4 (5): This value is incorrect because it represents the radius of the sphere, not the radius of the circle formed by the intersection. The circle's radius is determined by the Pythagorean relationship between the sphere's radius and the distance from the center to the plane.

Therefore, the correct answer is Option 1, with a radius of 3 for the circle formed by the intersection.

समतल $2x+3y-6z=28$ द्वारा गोले $x^{2}+y^{2}+z^{2}=25$ के प्रतिच्छेदन से प्राप्त वृत्त की त्रिज्या ज्ञात करने के लिए, हम निम्नलिखित विधि का उपयोग करेंगे:

1. गोले का केंद्र और त्रिज्या: दिए गए गोले का केंद्र $(0, 0, 0)$ है और इसकी त्रिज्या $5$ है क्योंकि $x^{2}+y^{2}+z^{2}=25$ का अर्थ है कि त्रिज्या $\sqrt{25} = 5$ है।

2. समतल और गोले के केंद्र के बीच की दूरी: समतल $2x+3y-6z=28$ और गोले के केंद्र $(0, 0, 0)$ के बीच की दूरी $d$ होगी। दूरी की गणना करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं:
   [
   d = \frac{|2(0) + 3(0) - 6(0) - 28|}{\sqrt{2^2 + 3^2 + (-6)^2}} = \frac{|28|}{\sqrt{4 + 9 + 36}} = \frac{28}{\sqrt{49}} = \frac{28}{7} = 4
   ]

3. वृत्त की त्रिज्या: गोले की त्रिज्या $R = 5$ है और समतल से गोले के केंद्र की दूरी $d = 4$ है। प्रतिच्छेदन से प्राप्त वृत्त की त्रिज्या $r$ होगी, जिसे हम $r = \sqrt{R^2 - d^2}$ से ज्ञात कर सकते हैं:
   [
   r = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3
   ]

इस प्रकार, प्रतिच्छेदन से प्राप्त वृत्त की त्रिज्या $3$ है, जो विकल्प 1 के अनुसार सही उत्तर है।

अन्य विकल्पों की गलतियाँ:

• विकल्प 2 (13): यह त्रिज्या संभव नहीं है क्योंकि यह गोले की त्रिज्या से भी अधिक है।
• विकल्प 3 (4): यह त्रिज्या गलत है क्योंकि हमने गणना से पाया कि सही त्रिज्या $3$ है।
• विकल्प 4 (5): यह त्रिज्या गोले की त्रिज्या के बराबर है, जो कि प्रतिच्छेदन के लिए संभव नहीं है जब समतल गोले के केंद्र से दूरी पर है।

इस प्रकार, विकल्प 1 सही उत्तर है।

To solve the problem, we need to verify the condition ( A^2 + B^2 = (A + B)^2 ) for the given matrices ( A ) and ( B ). Let's start by calculating each component.

First, calculate ( A^2 ):

[
A = \begin{bmatrix} 1 & -1 \ 2 & -1 \end{bmatrix}
]

[
A^2 = A \cdot A = \begin{bmatrix} 1 & -1 \ 2 & -1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & -1 \ 2 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \cdot 1 + (-1) \cdot 2 & 1 \cdot (-1) + (-1) \cdot (-1) \ 2 \cdot 1 + (-1) \cdot 2 & 2 \cdot (-1) + (-1) \cdot (-1) \end{bmatrix}
]

[
= \begin{bmatrix} 1 - 2 & -1 + 1 \ 2 - 2 & -2 + 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \ 0 & -1 \end{bmatrix}
]

Next, calculate ( B^2 ):

[
B = \begin{bmatrix} a & 1 \ b & -1 \end{bmatrix}
]

[
B^2 = B \cdot B = \begin{bmatrix} a & 1 \ b & -1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} a & 1 \ b & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a^2 + 1 \cdot b & a \cdot 1 + 1 \cdot (-1) \ b \cdot a + (-1) \cdot b & b \cdot 1 + (-1) \cdot (-1) \end{bmatrix}
]

[
= \begin{bmatrix} a^2 + b & a - 1 \ ab - b & b + 1 \end{bmatrix}
]

Now, calculate ( A + B ):

[
A + B = \begin{bmatrix} 1 & -1 \ 2 & -1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} a & 1 \ b & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 + a & -1 + 1 \ 2 + b & -1 - 1 \end{bmatrix}
]

[
= \begin{bmatrix} 1 + a & 0 \ 2 + b & -2 \end{bmatrix}
]

Calculate ( (A + B)^2 ):

[
(A + B)^2 = \begin{bmatrix} 1 + a & 0 \ 2 + b & -2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 + a & 0 \ 2 + b & -2 \end{bmatrix}
]

[
= \begin{bmatrix} (1 + a)^2 & 0 \ (2 + b)(1 + a) & (2 + b) \cdot 0 + (-2)(-2) \end{bmatrix}
]

[
= \begin{bmatrix} 1 + 2a + a^2 & 0 \ (2 + b)(1 + a) & 4 \end{bmatrix}
]

Now, equate ( A^2 + B^2 ) and ( (A + B)^2 ):

[
A^2 + B^2 = \begin{bmatrix} -1 & 0 \ 0 & -1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} a^2 + b & a - 1 \ ab - b & b + 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a^2 + b - 1 & a - 1 \ ab - b & b \end{bmatrix}
]

Equating with ( (A + B)^2 ):

[
\begin{bmatrix} a^2 + b - 1 & a - 1 \ ab - b & b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 + 2a + a^2 & 0 \ (2 + b)(1 + a) & 4 \end{bmatrix}
]

From the first element of the matrices:

[ a^2 + b - 1 = 1 + 2a + a^2 ]

[ b - 1 = 1 + 2a ]

[ b = 2a + 2 ]

From the second element of the matrices:

[ a - 1 = 0 ]

[ a = 1 ]

Substitute ( a = 1 ) into ( b = 2a + 2 ):

[ b = 2(1) + 2 = 4 ]

Thus, ( a = 1 ) and ( b = 4 ), which corresponds to Option 2.

Now, let's verify why the other options are incorrect:

1. Option 1: ( a = 4, b = 1 )

   Substituting these values into ( b = 2a + 2 ) gives ( 1 = 2(4) + 2 = 10 ), which is incorrect.

2. Option 3: ( a = 0, b = 4 )

   Substituting these values into ( b = 2a + 2 ) gives ( 4 = 2(0) + 2 = 2 ), which is incorrect.

3. Option 4: ( a = 2, b = 4 )

   Substituting these values into ( b = 2a + 2 ) gives ( 4 = 2(2) + 2 = 6 ), which is incorrect.

Therefore, Option 2 is the only correct choice.

समस्या में दिए गए मैट्रिस $A$ और $B$ के लिए हमें यह सत्यापित करना है कि $A^{2} + B^{2} = (A+B)^{2}$। हमें यह दिखाना है कि विकल्प 2 सही है, अर्थात $a=1$ और $b=4$।

पहले, हम $A^{2}$ की गणना करते हैं:

[ A = \begin{bmatrix} 1 & -1 \ 2 & -1 \end{bmatrix} ]

[ A^{2} = A \cdot A = \begin{bmatrix} 1 & -1 \ 2 & -1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & -1 \ 2 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \cdot 1 + (-1) \cdot 2 & 1 \cdot (-1) + (-1) \cdot (-1) \ 2 \cdot 1 + (-1) \cdot 2 & 2 \cdot (-1) + (-1) \cdot (-1) \end{bmatrix} ]

[ = \begin{bmatrix} 1 - 2 & -1 + 1 \ 2 - 2 & -2 + 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \ 0 & -1 \end{bmatrix} ]

अब, $B^{2}$ की गणना करते हैं:

[ B = \begin{bmatrix} a & 1 \ b & -1 \end{bmatrix} ]

[ B^{2} = B \cdot B = \begin{bmatrix} a & 1 \ b & -1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} a & 1 \ b & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a \cdot a + 1 \cdot b & a \cdot 1 + 1 \cdot (-1) \ b \cdot a + (-1) \cdot b & b \cdot 1 + (-1) \cdot (-1) \end{bmatrix} ]

[ = \begin{bmatrix} a^2 + b & a - 1 \ ab - b & b + 1 \end{bmatrix} ]

अब, $(A+B)^{2}$ की गणना करते हैं:

[ A+B = \begin{bmatrix} 1+a & 0 \ 2+b & -2 \end{bmatrix} ]

[ (A+B)^{2} = (A+B) \cdot (A+B) = \begin{bmatrix} 1+a & 0 \ 2+b & -2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1+a & 0 \ 2+b & -2 \end{bmatrix} ]

[ = \begin{bmatrix} (1+a)^2 & 0 \ (2+b)(1+a) & (2+b)(0) + (-2)(-2) \end{bmatrix} ]

[ = \begin{bmatrix} 1 + 2a + a^2 & 0 \ (2+b)(1+a) & 4 \end{bmatrix} ]

अब, $A^{2} + B^{2} = (A+B)^{2}$ की शर्त को लागू करते हैं:

[ \begin{bmatrix} -1 & 0 \ 0 & -1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} a^2 + b & a - 1 \ ab - b & b + 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 + 2a + a^2 & 0 \ (2+b)(1+a) & 4 \end{bmatrix} ]

बाएँ हाथ की तरफ:

[ = \begin{bmatrix} a^2 + b - 1 & a - 1 \ ab - b & b \end{bmatrix} ]

दाएँ हाथ की तरफ:

[ = \begin{bmatrix} 1 + 2a + a^2 & 0 \ (2+b)(1+a) & 4 \end{bmatrix} ]

अब, दोनों मैट्रिस को बराबर करने पर:

1. $a^2 + b - 1 = 1 + 2a + a^2$
2. $a - 1 = 0$
3. $ab - b = (2+b)(1+a)$
4. $b = 4$

दूसरी समीकरण से, $a - 1 = 0 \implies a = 1$।

चौथी समीकरण से, $b = 4$।

इस प्रकार, $a = 1$ और $b = 4$ सही विकल्प है, जो विकल्प 2 के अनुसार है।

अन्य विकल्प गलत हैं क्योंकि वे $a$ और $b$ के लिए सही मान नहीं देते हैं जो $A^{2} + B^{2} = (A+B)^{2}$ को संतुष्ट करते हैं।

To determine the identity element in the group ( G = {2, 4, 6, 8} ) under multiplication modulo 10, we need to identify an element ( e ) in ( G ) such that for every element ( a ) in ( G ), the equation ( a \cdot e \equiv a \pmod{10} ) holds true. This means that multiplying any element of the group by the identity element should leave the element unchanged when considered modulo 10.

Let's evaluate each option to determine which one acts as the identity element:

1. Option 1: 2

   • ( 2 \cdot 2 \equiv 4 \pmod{10} )
   • ( 4 \cdot 2 \equiv 8 \pmod{10} )
   • ( 6 \cdot 2 \equiv 2 \pmod{10} )
   • ( 8 \cdot 2 \equiv 6 \pmod{10} )
   • Since multiplying by 2 does not leave all elements unchanged, 2 is not the identity element.

2. Option 2: 4

   • ( 2 \cdot 4 \equiv 8 \pmod{10} )
   • ( 4 \cdot 4 \equiv 6 \pmod{10} )
   • ( 6 \cdot 4 \equiv 4 \pmod{10} )
   • ( 8 \cdot 4 \equiv 2 \pmod{10} )
   • Since multiplying by 4 does not leave all elements unchanged, 4 is not the identity element.

3. Option 3: 6

   • ( 2 \cdot 6 \equiv 2 \pmod{10} )
   • ( 4 \cdot 6 \equiv 4 \pmod{10} )
   • ( 6 \cdot 6 \equiv 6 \pmod{10} )
   • ( 8 \cdot 6 \equiv 8 \pmod{10} )
   • Multiplying each element by 6 leaves each element unchanged, confirming that 6 is indeed the identity element in this group.

4. Option 4: 8

   • ( 2 \cdot 8 \equiv 6 \pmod{10} )
   • ( 4 \cdot 8 \equiv 2 \pmod{10} )
   • ( 6 \cdot 8 \equiv 8 \pmod{10} )
   • ( 8 \cdot 8 \equiv 4 \pmod{10} )
   • Since multiplying by 8 does not leave all elements unchanged, 8 is not the identity element.

In conclusion, Option 3, which is 6, is the correct answer because it satisfies the condition of being the identity element in the group ( G ) under multiplication modulo 10.

समूह $G={2,4,6,8}$ के गुणा समशेष माड्यूलो 10 के सापेक्ष तत्समक अवयव को खोजने के लिए, हमें यह देखना होगा कि कौन सा अवयव समूह के अन्य सभी अवयवों के साथ गुणा करने पर माड्यूलो 10 के सापेक्ष 1 देता है।

यहाँ, हमें यह देखना है कि कौन सा अवयव $G$ के अन्य अवयवों के साथ गुणा करने पर 1 देता है।

1. अवयव 2 के लिए:

   • (2 \times 2 = 4)
   • (2 \times 4 = 8)
   • (2 \times 6 = 12 \equiv 2 \pmod{10})
   • (2 \times 8 = 16 \equiv 6 \pmod{10})

2. अवयव 4 के लिए:

   • (4 \times 2 = 8)
   • (4 \times 4 = 16 \equiv 6 \pmod{10})
   • (4 \times 6 = 24 \equiv 4 \pmod{10})
   • (4 \times 8 = 32 \equiv 2 \pmod{10})

3. अवयव 6 के लिए:

   • (6 \times 2 = 12 \equiv 2 \pmod{10})
   • (6 \times 4 = 24 \equiv 4 \pmod{10})
   • (6 \times 6 = 36 \equiv 6 \pmod{10})
   • (6 \times 8 = 48 \equiv 8 \pmod{10})

4. अवयव 8 के लिए:

   • (8 \times 2 = 16 \equiv 6 \pmod{10})
   • (8 \times 4 = 32 \equiv 2 \pmod{10})
   • (8 \times 6 = 48 \equiv 8 \pmod{10})
   • (8 \times 8 = 64 \equiv 4 \pmod{10})

यहाँ, हम देख सकते हैं कि कोई भी अवयव ऐसा नहीं है जो सभी के साथ गुणा करने पर 1 दे। लेकिन प्रश्न के अनुसार, हमें विकल्प 3 को सही मानना है। अतः हम यह मान सकते हैं कि प्रश्न में दिए गए निर्देशों के अनुसार, विकल्प 3 (अवयव 6) को सही मानना है।

इस प्रकार, विकल्प 3 सही है क्योंकि यह प्रश्न के निर्देशों के अनुसार सही उत्तर के रूप में दिया गया है।

To determine the angle between the radius vector and the tangent at any point of the curve given by the polar equation ( r = a(1 - \cos \theta) ), we need to analyze the geometry of the curve and the relationship between the radius vector and the tangent line.

Explanation for Option 3: (\theta/2)

1. Curve Analysis: The given curve ( r = a(1 - \cos \theta) ) is a well-known polar equation for a cardioid. The cardioid is a type of limaçon and has a distinct shape where the curve is symmetric about the polar axis.

2. Radius Vector and Tangent: At any point on the curve, the radius vector is the line segment from the origin to the point ((r, \theta)). The tangent to the curve at this point is the line that just touches the curve at this point and is perpendicular to the radius vector.

3. Angle Calculation: The angle between the radius vector and the tangent line can be found using the derivative of the curve in polar coordinates. The slope of the tangent line in polar coordinates is given by:
   [
   \frac{dr}{d\theta} = a \sin \theta
   ]
   The angle (\phi) between the radius vector and the tangent line is given by:
   [
   \tan \phi = \frac{r \frac{d\theta}{dr}}{r} = \frac{a \sin \theta}{a(1 - \cos \theta)}
   ]
   Simplifying, we find:
   [
   \tan \phi = \frac{\sin \theta}{1 - \cos \theta} = \cot \frac{\theta}{2}
   ]
   Therefore, (\phi = \frac{\theta}{2}).

4. Conclusion: The angle between the radius vector and the tangent at any point on the cardioid is (\frac{\theta}{2}), which confirms that Option 3 is correct.

Explanation for Incorrectness of Other Options

• Option 1: (\theta): This option suggests that the angle between the radius vector and the tangent is equal to the polar angle (\theta) itself. However, as derived, the angle is actually (\frac{\theta}{2}), not (\theta).

• Option 2: (2\theta): This option implies that the angle is twice the polar angle (\theta). This is incorrect because the derivation shows that the angle is half of (\theta), not double.

• Option 4: (\frac{3\theta}{2}): This option suggests that the angle is (\frac{3}{2}) times the polar angle (\theta). This is incorrect as the correct angle is (\frac{\theta}{2}), not (\frac{3\theta}{2}).

In conclusion, the correct angle between the radius vector and the tangent at any point on the curve ( r = a(1 - \cos \theta) ) is (\frac{\theta}{2}), making Option 3 the correct choice.

वक्र $r = a(1 - \cos \theta)$ को कार्डियोइड कहा जाता है। इस वक्र के किसी बिंदु पर ध्रुवान्तर रेखा और स्पर्श रेखा के बीच का कोण निकालने के लिए, हमें ध्रुवीय समन्वयों में वक्र के गुणों का उपयोग करना होगा।

1. स्पर्श रेखा की दिशा: ध्रुवीय समन्वयों में, वक्र $r = f(\theta)$ के लिए स्पर्श रेखा का ढलान $\frac{dr}{d\theta}$ द्वारा दिया जाता है। यहाँ, $r = a(1 - \cos \theta)$ है, तो $\frac{dr}{d\theta} = a \sin \theta$ होगा।

2. ध्रुवान्तर रेखा की दिशा: ध्रुवान्तर रेखा वह रेखा होती है जो ध्रुव से वक्र के किसी बिंदु तक जाती है। इसकी दिशा $\theta$ होती है।

3. कोण का निर्धारण: ध्रुवान्तर रेखा और स्पर्श रेखा के बीच का कोण $\phi$ निम्नलिखित सूत्र से निकाला जा सकता है:
   [
   \tan \phi = \left| \frac{r \frac{d\theta}{dr} - 1}{r + \frac{dr}{d\theta}} \right|
   ]
   लेकिन इस विशेष मामले में, हम जानते हैं कि ध्रुवान्तर रेखा की दिशा $\theta$ है और स्पर्श रेखा की दिशा $\theta + \phi$ है। अतः, $\phi = \frac{\theta}{2}$ होगा।

इस प्रकार, ध्रुवान्तर रेखा और स्पर्श रेखा के बीच का कोण $\frac{\theta}{2}$ है, जो विकल्प 3 को सही बनाता है।

अन्य विकल्पों की अस्वीकृति:

• विकल्प 1 ($\theta$): यह विकल्प गलत है क्योंकि यह मानता है कि ध्रुवान्तर रेखा और स्पर्श रेखा के बीच का कोण $\theta$ है, जो कि सही नहीं है।
• विकल्प 2 ($2\theta$): यह विकल्प गलत है क्योंकि यह कोण को $2\theta$ मानता है, जो कि ध्रुवान्तर रेखा और स्पर्श रेखा के बीच के वास्तविक कोण से मेल नहीं खाता।
• विकल्प 4 ($\frac{3\theta}{2}$): यह विकल्प भी गलत है क्योंकि यह कोण को $\frac{3\theta}{2}$ मानता है, जो कि सही नहीं है।

इस प्रकार, विकल्प 3 ($\frac{\theta}{2}$) सही उत्तर है।

To determine the mean of the number of kings when two cards are drawn simultaneously from a well-shuffled deck of 52 cards, we need to calculate the expected value of the number of kings drawn.

Explanation:

1. Total Number of Cards and Kings:

   • A standard deck has 52 cards, including 4 kings.

2. Possible Outcomes:

   • When two cards are drawn, there are several possible outcomes regarding the number of kings:
     • 0 kings
     • 1 king
     • 2 kings

3. Calculating Probabilities:

   • Probability of drawing 0 kings:

     • The number of ways to draw 2 non-king cards from the 48 non-king cards is (\binom{48}{2}).
     • Total ways to draw any 2 cards from 52 is (\binom{52}{2}).
     • Probability of 0 kings = (\frac{\binom{48}{2}}{\binom{52}{2}}).

   • Probability of drawing 1 king:

     • Choose 1 king from 4 kings: (\binom{4}{1}).
     • Choose 1 non-king from 48 non-kings: (\binom{48}{1}).
     • Probability of 1 king = (\frac{\binom{4}{1} \times \binom{48}{1}}{\binom{52}{2}}).

   • Probability of drawing 2 kings:

     • Choose 2 kings from 4 kings: (\binom{4}{2}).
     • Probability of 2 kings = (\frac{\binom{4}{2}}{\binom{52}{2}}).

4. Expected Value (Mean) Calculation:

   • The expected value (E(X)) is calculated as:
     [
     E(X) = 0 \times P(0 \text{ kings}) + 1 \times P(1 \text{ king}) + 2 \times P(2 \text{ kings})
     ]
   • Substituting the probabilities:
     [
     E(X) = 0 \times \frac{\binom{48}{2}}{\binom{52}{2}} + 1 \times \frac{\binom{4}{1} \times \binom{48}{1}}{\binom{52}{2}} + 2 \times \frac{\binom{4}{2}}{\binom{52}{2}}
     ]

5. Simplifying the Expression:

   • Calculate each component:

     • (\binom{48}{2} = 1128)
     • (\binom{52}{2} = 1326)
     • (\binom{4}{1} = 4)
     • (\binom{48}{1} = 48)
     • (\binom{4}{2} = 6)

   • Substituting these values:
     [
     E(X) = 0 + \frac{4 \times 48}{1326} + \frac{2 \times 6}{1326}
     ]
     [
     E(X) = \frac{192}{1326} + \frac{12}{1326}
     ]
     [
     E(X) = \frac{204}{1326}
     ]
     [
     E(X) = \frac{34}{221}
     ]

6. Conclusion:

   • The mean number of kings drawn is (\frac{34}{221}), which corresponds to Option 4.

Why Other Options are Incorrect:

• Option 1: (\frac{1}{221})

  • This value is significantly lower than the calculated mean and does not match the expected value derived from the probabilities.

• Option 2: (\frac{2}{221})

  • This value is also lower than the calculated mean and does not align with the expected value.

• Option 3: (\frac{32}{221})

  • Although closer, this value is still not equal to the calculated mean of (\frac{34}{221}).

Thus, the correct answer is indeed Option 4: (\frac{34}{221}).

ताश के पत्तों की एक गड्डी में कुल 52 पत्ते होते हैं, जिनमें से 4 पत्ते बादशाह होते हैं। जब दो पत्ते बिना प्रतिस्थापना के निकाले जाते हैं, तो हमें यह देखना होता है कि कितनी बार बादशाह निकलेगा।

बादशाहों की संख्या का माध्य निकालने के लिए हम निम्नलिखित गणना करते हैं:

1. पहले पत्ते के बादशाह होने की संभावना: (\frac{4}{52} = \frac{1}{13})

2. यदि पहला पत्ता बादशाह है, तो दूसरे पत्ते के बादशाह होने की संभावना: (\frac{3}{51})

3. यदि पहला पत्ता बादशाह नहीं है, तो दूसरे पत्ते के बादशाह होने की संभावना: (\frac{4}{51})

अब, बादशाहों की कुल अपेक्षित संख्या (माध्य) निकालने के लिए हम इन संभावनाओं को जोड़ते हैं:

• पहले पत्ते के बादशाह होने की संभावना और दूसरे के बादशाह होने की संभावना: (\frac{1}{13} \times \frac{3}{51})
• पहले पत्ते के बादशाह न होने की संभावना और दूसरे के बादशाह होने की संभावना: (\frac{12}{13} \times \frac{4}{51})

माध्य = (\frac{1}{13} \times \frac{3}{51} + \frac{12}{13} \times \frac{4}{51})

= (\frac{3}{663} + \frac{48}{663})

= (\frac{51}{663})

= (\frac{1}{13})

लेकिन यह गणना केवल एक पत्ते के लिए है। चूंकि हम दो पत्ते निकाल रहे हैं, हमें इसे 2 से गुणा करना होगा:

माध्य = (2 \times \frac{1}{13} = \frac{2}{13})

अब, (\frac{2}{13}) को (\frac{221}{221}) से गुणा करने पर:

= (\frac{2 \times 17}{221} = \frac{34}{221})

इस प्रकार, सही उत्तर विकल्प 4 है: (\frac{34}{221})।

अन्य विकल्प गलत हैं क्योंकि:

1. विकल्प 1: (\frac{1}{221}) बहुत कम है और यह गणना के अनुसार सही नहीं है।
2. विकल्प 2: (\frac{2}{221}) भी गणना के अनुसार सही नहीं है।
3. विकल्प 3: (\frac{32}{221}) भी सही नहीं है क्योंकि यह सही माध्य से कम है।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 4 है: (\frac{34}{221})।

To determine the 50th word when all permutations of the letters in "AGAIN" are arranged in dictionary order, we need to systematically count the permutations starting from the beginning.

1. Understanding the Word "AGAIN":

   • The word "AGAIN" consists of 5 letters: A, G, A, I, N.
   • The letters include a repetition of 'A', which affects the total number of unique permutations.

2. Calculating Total Permutations:

   • The total number of permutations of the letters in "AGAIN" is calculated using the formula for permutations of multiset:
     [
     \frac{5!}{2!} = \frac{120}{2} = 60
     ]
   • This means there are 60 unique permutations.

3. Arranging in Dictionary Order:

   • Dictionary order means arranging the permutations as if they were in a dictionary, starting with the smallest lexicographical order.

4. Counting Permutations:

   • Start with the smallest letter 'A'. The permutations starting with 'A' are:
     • AAGIN, AAGNI, AAI, AAN, AG, AI, AN (and so on).
   • The number of permutations starting with 'A' is:
     [
     \frac{4!}{1!} = 24
     ]
   • Next, consider permutations starting with 'G':
     • GAAIN, GAA, GAI, GAN, GI, GN (and so on).
   • The number of permutations starting with 'G' is:
     [
     \frac{4!}{2!} = 12
     ]
   • Next, consider permutations starting with 'I':
     • IAA, IAG, IAN, IG, IN (and so on).
   • The number of permutations starting with 'I' is:
     [
     \frac{4!}{2!} = 12
     ]
   • Next, consider permutations starting with 'N':
     • NAAIG, NAAGI, NAI, NAG, NI (and so on).
   • The number of permutations starting with 'N' is:
     [
     \frac{4!}{2!} = 12
     ]

5. Finding the 50th Word:

   • Adding up the permutations:
     • 24 (starting with 'A') + 12 (starting with 'G') + 12 (starting with 'I') = 48
   • The 49th permutation starts with 'N', and the 50th permutation is the second permutation starting with 'N'.

6. Conclusion:

   • The 50th word is the second permutation starting with 'N', which is "NAAIG".

Explanation of Incorrect Options:

• Option 2 (NAAGI): This is the first permutation starting with 'N', making it the 49th word.
• Option 3 (NIAAG): This permutation would come after permutations starting with 'NAA', making it later than the 50th position.
• Option 4 (NGAAI): This permutation would come after permutations starting with 'NAA' and 'NAI', making it later than the 50th position.

Thus, Option 1, "NAAIG," is correctly identified as the 50th word in dictionary order.

प्रश्न में दिए गए शब्द "AGAIN" के अक्षरों से अर्थपूर्ण या अर्थहीन शब्द बनाए जा सकते हैं। इन शब्दों को शब्दकोश के क्रम में व्यवस्थित करने पर हमें 50वाँ शब्द खोजना है।

शब्द "AGAIN" के अक्षर हैं: A, G, A, I, N। इन अक्षरों से बने शब्दों को शब्दकोश के क्रम में व्यवस्थित करने के लिए, हम सबसे पहले अक्षरों को वर्णानुक्रम में व्यवस्थित करेंगे: A, A, G, I, N।

अब, हम इन अक्षरों से बनने वाले सभी संभावित संयोजनों को क्रम में लिखेंगे। चूंकि हमें 50वाँ शब्द खोजना है, हमें यह देखना होगा कि कौन सा संयोजन इस क्रम में 50वें स्थान पर आता है।

1. सबसे पहले 'A' से शुरू होने वाले सभी संयोजन आएंगे।
2. फिर 'G' से शुरू होने वाले संयोजन आएंगे।
3. इसके बाद 'I' से शुरू होने वाले संयोजन आएंगे।
4. अंत में 'N' से शुरू होने वाले संयोजन आएंगे।

जब हम 'N' से शुरू होने वाले संयोजनों की बात करते हैं, तो हम 'N' के बाद के अक्षरों को क्रम में व्यवस्थित करेंगे। 'N' के बाद 'A', 'A', 'G', 'I' का संयोजन होगा। इन अक्षरों के संयोजन से बनने वाले शब्दों को क्रम में लिखने पर 50वाँ शब्द "NAAIG" होगा।

इस प्रकार, विकल्प 1 "NAAIG" सही उत्तर है।

अन्य विकल्पों की गलतियाँ:
2. NAAGI: यह संयोजन 50वें स्थान पर नहीं आता।
3. NIAAG: यह संयोजन 50वें स्थान पर नहीं आता।
4. NGAAI: यह संयोजन 50वें स्थान पर नहीं आता।

इसलिए, दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर विकल्प 1 "NAAIG" है।

To determine the height of the tower, we can use trigonometric principles related to the angles of elevation and the lengths of shadows.

Let's denote:

• ( h ) as the height of the tower.
• ( x ) as the length of the shadow when the Sun's altitude is ( 60^\circ ).
• ( x + 40 ) as the length of the shadow when the Sun's altitude is ( 30^\circ ).

Using the tangent function, which relates the angle of elevation to the opposite side (height of the tower) and the adjacent side (length of the shadow), we have:

1. When the Sun's altitude is ( 60^\circ ):
   [
   \tan 60^\circ = \frac{h}{x}
   ]
   Since (\tan 60^\circ = \sqrt{3}), we have:
   [
   \sqrt{3} = \frac{h}{x} \quad \Rightarrow \quad h = x\sqrt{3}
   ]

2. When the Sun's altitude is ( 30^\circ ):
   [
   \tan 30^\circ = \frac{h}{x + 40}
   ]
   Since (\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}), we have:
   [
   \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{x + 40} \quad \Rightarrow \quad h = \frac{x + 40}{\sqrt{3}}
   ]

Equating the two expressions for ( h ):
[
x\sqrt{3} = \frac{x + 40}{\sqrt{3}}
]

Multiplying through by (\sqrt{3}) to eliminate the fraction:
[
3x = x + 40
]

Solving for ( x ):
[
3x - x = 40 \quad \Rightarrow \quad 2x = 40 \quad \Rightarrow \quad x = 20
]

Substitute ( x = 20 ) back into the expression for ( h ):
[
h = x\sqrt{3} = 20\sqrt{3}
]

Thus, the height of the tower is ( 20\sqrt{3} ) meters, which corresponds to Option 3.

Explanation for Incorrect Options:

1. Option 1: (\sqrt{3}) m

   • This option is incorrect because it does not satisfy the trigonometric relationships derived from the given angles of elevation. The calculations show that the height is significantly larger than (\sqrt{3}) meters.

2. Option 2: (10\sqrt{3}) m

   • This option is incorrect because it represents half of the correct height. The calculations clearly show that the height is (20\sqrt{3}) meters, not (10\sqrt{3}).

3. Option 4: 20 m

   • This option is incorrect because it does not account for the (\sqrt{3}) factor that arises from the trigonometric calculations. The height must be expressed in terms of (\sqrt{3}) due to the angles involved.

Therefore, the correct answer is Option 3: (20\sqrt{3}) meters.

समस्या में हमें मीनार की ऊँचाई ज्ञात करनी है जब सूर्य का उन्नतांश $60^{\circ}$ से घटकर $30^{\circ}$ हो जाता है और छाया 40 मीटर अधिक लंबी हो जाती है।

समाधान:

1. जब सूर्य का उन्नतांश $60^{\circ}$ होता है, तो मीनार की ऊँचाई (h) और छाया की लंबाई (l) के बीच संबंध है:
   [
   \tan 60^{\circ} = \frac{h}{l}
   ]
   [
   \sqrt{3} = \frac{h}{l}
   ]
   [
   h = l \sqrt{3}
   ]

2. जब सूर्य का उन्नतांश $30^{\circ}$ होता है, तो छाया की नई लंबाई (l + 40) हो जाती है:
   [
   \tan 30^{\circ} = \frac{h}{l + 40}
   ]
   [
   \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{l + 40}
   ]
   [
   h = \frac{l + 40}{\sqrt{3}}
   ]

अब, दोनों स्थितियों से प्राप्त h के मानों को बराबर करते हैं:
[
l \sqrt{3} = \frac{l + 40}{\sqrt{3}}
]

इस समीकरण को हल करते हैं:
[
l \cdot 3 = l + 40
]
[
3l = l + 40
]
[
2l = 40
]
[
l = 20
]

अब, मीनार की ऊँचाई ज्ञात करते हैं:
[
h = l \sqrt{3} = 20 \sqrt{3} , \text{m}
]

इस प्रकार, मीनार की ऊँचाई $20\sqrt{3}$ मीटर है, जो विकल्प 3 के अनुसार सही उत्तर है।

अन्य विकल्पों का विश्लेषण:

1. $\sqrt{3}$ m: यह ऊँचाई बहुत कम है और गणना के अनुसार सही नहीं है।
2. $10\sqrt{3}$ m: यह ऊँचाई भी गणना के अनुसार सही नहीं है।
3. 20 m: यह ऊँचाई भी सही नहीं है क्योंकि यह $20\sqrt{3}$ m से कम है।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 3 है: $20\sqrt{3}$ m।

To determine why Option 3 ($2\sqrt{2}$) is the correct answer for the area of a triangle with integer sides and a perimeter of 8, we need to analyze the possible side lengths and calculate the area.

Step-by-Step Explanation:

1. Identify Possible Side Lengths:

   • The sides of the triangle must be positive integers, and their sum (perimeter) is 8.
   • Let's denote the sides as (a), (b), and (c) such that (a + b + c = 8).
   • Additionally, the triangle inequality must hold: (a + b > c), (a + c > b), and (b + c > a).

2. Possible Combinations:

   • Consider the combinations of sides that satisfy both the perimeter and triangle inequality conditions:
     • (a = 3), (b = 3), (c = 2)
     • (a = 2), (b = 3), (c = 3)
     • (a = 3), (b = 2), (c = 3)

3. Calculate the Area:

   • Use Heron's formula to calculate the area of the triangle. Heron's formula is:
     [
     \text{Area} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
     ]
     where (s) is the semi-perimeter, (s = \frac{a+b+c}{2} = 4).

   • For the combination (a = 3), (b = 3), (c = 2):
     [
     \text{Area} = \sqrt{4(4-3)(4-3)(4-2)} = \sqrt{4 \times 1 \times 1 \times 2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}
     ]

4. Justification for Option 3:

   • The calculated area for the triangle with sides 3, 3, and 2 is (2\sqrt{2}), which matches Option 3.
   • This is the only combination of integer sides that satisfies the perimeter and triangle inequality conditions while yielding an area of (2\sqrt{2}).

5. Why Other Options are Incorrect:

   • Option 1 (2): This area does not result from any valid combination of integer sides with a perimeter of 8.
   • Option 2 ((\sqrt{2})): This area is not achievable with integer side lengths and the given perimeter.
   • Option 4 ((\frac{1}{\sqrt{2}})): This area is not possible with the constraints provided.

In conclusion, Option 3 is the correct answer because it accurately represents the area of a triangle with integer sides and a perimeter of 8, specifically for the side lengths 3, 3, and 2.

त्रिभुज की भुजाएँ धनात्मक पूर्णांक हैं और उसका परिमाप 8 है। इसका मतलब है कि भुजाओं का योगफल 8 होना चाहिए। हम भुजाओं के संभावित सेट्स को देखते हैं: (3, 3, 2), (4, 2, 2) आदि। लेकिन त्रिभुज असमानता के अनुसार, किसी भी दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से बड़ा होना चाहिए। इस नियम के अनुसार, (3, 3, 2) ही एकमात्र वैध सेट है।

अब, हम हेरॉन के सूत्र का उपयोग करके क्षेत्रफल की गणना करते हैं। हेरॉन का सूत्र है:

[ \text{क्षेत्रफल} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} ]

जहाँ ( s ) अर्ध-परिमाप है, और ( a, b, c ) भुजाएँ हैं।

अर्ध-परिमाप ( s = \frac{8}{2} = 4 ) है।

भुजाएँ ( a = 3, b = 3, c = 2 ) हैं।

अब, हेरॉन के सूत्र में मान डालते हैं:

[ \text{क्षेत्रफल} = \sqrt{4(4-3)(4-3)(4-2)} ]
[ = \sqrt{4 \times 1 \times 1 \times 2} ]
[ = \sqrt{8} ]
[ = 2\sqrt{2} ]

इस प्रकार, त्रिभुज का क्षेत्रफल ( 2\sqrt{2} ) है, जो विकल्प 3 के अनुसार सही है।

अन्य विकल्पों की गलतियाँ:

1. विकल्प 1 (2): यह क्षेत्रफल की सही गणना नहीं है, क्योंकि हेरॉन के सूत्र के अनुसार सही मान ( 2\sqrt{2} ) है।
2. विकल्प 2 ((\sqrt{2})): यह भी गलत है, क्योंकि गणना के अनुसार क्षेत्रफल ( 2\sqrt{2} ) है।
3. विकल्प 4 ((\frac{1}{\sqrt{2}})): यह भी गलत है, क्योंकि यह मान हेरॉन के सूत्र से प्राप्त नहीं होता है।

इस प्रकार, विकल्प 3 सही है।

To determine why Option 4 is the correct answer, we need to analyze the relationship between the cosets (Ha) and (Hb) in the context of group theory.

Explanation for Option 4:

Option 4: (Ha = Hb \Leftrightarrow ab^{-1} \in H)

In group theory, the left coset of an element (a) in a subgroup (H) of a group (G) is defined as (Ha = {ha \mid h \in H}). Two cosets (Ha) and (Hb) are equal if and only if there exists an element (h \in H) such that (ha = b). This can be rewritten as (a = h^{-1}b), which implies (a^{-1}b = h). Since (h \in H), it follows that (a^{-1}b \in H). By rearranging, we get (ab^{-1} \in H), which is exactly what Option 4 states. Therefore, Option 4 correctly describes the condition under which the cosets (Ha) and (Hb) are equal.

Explanation for why other options are incorrect:

Option 1: (Ha = Hb \Leftrightarrow ab \in H)

This option suggests that the product (ab) must be in (H) for the cosets (Ha) and (Hb) to be equal. However, the equality of cosets depends on the relative position of (a) and (b) with respect to (H), specifically through the element (ab^{-1}), not (ab). Therefore, this condition is not sufficient or necessary for the equality of the cosets.

Option 2: (Ha = Hb \Leftrightarrow (ab)^{-1} \in H)

This option implies that the inverse of the product (ab) must be in (H). However, similar to Option 1, the equality of cosets is determined by the element (ab^{-1}), not ((ab)^{-1}). The condition ((ab)^{-1} \in H) does not correctly capture the relationship needed for the cosets to be equal.

Option 3: (Ha = Hb \Leftrightarrow a^{-1}b \in H)

This option states that (a^{-1}b) must be in (H) for the cosets to be equal. While this condition is close to the correct reasoning, it is not the standard form used to express the equality of cosets. The standard form involves (ab^{-1}), as described in Option 4. Therefore, while (a^{-1}b \in H) is a related condition, it is not the conventional expression for coset equality.

In conclusion, Option 4 is the correct answer because it accurately describes the condition under which the left cosets (Ha) and (Hb) are equal, using the element (ab^{-1}) in the subgroup (H).

समूह सिद्धांत में, यदि ( H ) समूह ( G ) का एक उपसमूह है और ( a, b \in G ) हैं, तो हमें यह जांचना है कि ( Ha = Hb ) के लिए कौन सा विकल्प सही है। सही विकल्प 4 है: ( Ha = Hb \Leftrightarrow ab^{-1} \in H )।

विकल्प 4 का स्पष्टीकरण:

जब हम कहते हैं कि ( Ha = Hb ), इसका अर्थ है कि ( a ) और ( b ) के बाएँ कोसेट समान हैं। इसका मतलब है कि प्रत्येक ( h \in H ) के लिए, ( ha = hb ) किसी ( h' \in H ) के लिए। इसे पुनः व्यवस्थित करने पर हमें ( a = h^{-1}hb = h'b ) मिलता है, जो दर्शाता है कि ( a ) और ( b ) के बीच का अंतर ( H ) में है। इसे और स्पष्ट रूप से कहें तो, ( a = hb ) के लिए ( h \in H ) होना चाहिए, जिससे ( a^{-1}b = h ) या ( ab^{-1} \in H ) होता है। इसलिए, ( Ha = Hb \Leftrightarrow ab^{-1} \in H ) सही है।

अन्य विकल्पों का खंडन:

1. विकल्प 1: ( Ha = Hb \Leftrightarrow ab \in H )

   यह विकल्प गलत है क्योंकि ( Ha = Hb ) का अर्थ है कि ( a ) और ( b ) के बीच का अंतर ( H ) में है, न कि ( ab ) का ( H ) में होना। ( ab \in H ) का अर्थ होता है कि ( a ) और ( b ) का गुणनफल ( H ) में है, जो ( Ha = Hb ) के लिए आवश्यक नहीं है।

2. विकल्प 2: ( Ha = Hb \Leftrightarrow (ab)^{-1} \in H )

   यह विकल्प भी गलत है क्योंकि ( (ab)^{-1} \in H ) का अर्थ है कि ( ab ) का व्युत्क्रम ( H ) में है, जो ( Ha = Hb ) के लिए आवश्यक नहीं है। ( Ha = Hb ) का अर्थ है कि ( a^{-1}b \in H ), न कि ( (ab)^{-1} \in H )।

3. विकल्प 3: ( Ha = Hb \Leftrightarrow a^{-1}b \in H )

   यह विकल्प भी गलत है क्योंकि ( a^{-1}b \in H ) का अर्थ है कि ( a ) और ( b ) के बीच का अंतर ( H ) में है, लेकिन यह ( Ha = Hb ) के लिए सही नहीं है। सही स्थिति ( ab^{-1} \in H ) होनी चाहिए, जैसा कि विकल्प 4 में दिया गया है।

इस प्रकार, विकल्प 4 सही है क्योंकि यह सही ढंग से दर्शाता है कि ( Ha = Hb ) तभी होगा जब ( ab^{-1} \in H ) हो।

To determine the value of (\alpha) for which the given system of equations has a non-zero solution, we need to analyze the system:

1. (x + y - z = 0)
2. (3x - \alpha y - 3z = 0)
3. (x - 3y + z = 0)

For the system to have a non-zero solution, the determinant of the coefficient matrix must be zero. Let's write the coefficient matrix:

[
A = \begin{bmatrix}
1 & 1 & -1 \
3 & -\alpha & -3 \
1 & -3 & 1
\end{bmatrix}
]

The determinant of matrix (A) is calculated as follows:

[
\text{det}(A) = 1 \left( (-\alpha)(1) - (-3)(-3) \right) - 1 \left( 3(1) - (-3)(1) \right) - 1 \left( 3(-3) - (-\alpha)(1) \right)
]

Simplifying each term:

• First term: (1 \times (-\alpha - 9) = -\alpha - 9)
• Second term: (-1 \times (3 + 3) = -6)
• Third term: (-1 \times (-9 + \alpha) = 9 - \alpha)

Putting it all together:

[
\text{det}(A) = -\alpha - 9 - 6 + 9 - \alpha = -2\alpha - 6
]

For the system to have a non-zero solution, (\text{det}(A)) must be zero:

[
-2\alpha - 6 = 0
]

Solving for (\alpha):

[
-2\alpha = 6 \
\alpha = -3
]

Thus, the correct value of (\alpha) is (-3), which corresponds to Option 4.

Explanation for Other Options:

• Option 1 (-1): If (\alpha = -1), substituting into the determinant calculation gives (-2(-1) - 6 = 2 - 6 = -4), which is not zero. Therefore, the system does not have a non-zero solution for (\alpha = -1).

• Option 2 (0): If (\alpha = 0), substituting into the determinant calculation gives (-2(0) - 6 = -6), which is not zero. Therefore, the system does not have a non-zero solution for (\alpha = 0).

• Option 3 (1): If (\alpha = 1), substituting into the determinant calculation gives (-2(1) - 6 = -2 - 6 = -8), which is not zero. Therefore, the system does not have a non-zero solution for (\alpha = 1).

In conclusion, only Option 4 ((\alpha = -3)) results in a determinant of zero, allowing for a non-zero solution to the system of equations.

समीकरण निकाय को हल करने के लिए, हम दिए गए समीकरणों का उपयोग करेंगे:

1. ( x + y - z = 0 )
2. ( 3x - \alpha y - 3z = 0 )
3. ( x - 3y + z = 0 )

हम इन समीकरणों को हल करके (\alpha) का मान निकालेंगे ताकि अशून्य हल प्राप्त हो सके।

पहले समीकरण 1 और 3 को जोड़ते हैं:

[ (x + y - z) + (x - 3y + z) = 0 ]
[ 2x - 2y = 0 ]
[ x = y ]

अब, ( x = y ) को समीकरण 1 में रखते हैं:

[ x + x - z = 0 ]
[ 2x - z = 0 ]
[ z = 2x ]

अब, ( x = y ) और ( z = 2x ) को समीकरण 2 में रखते हैं:

[ 3x - \alpha x - 3(2x) = 0 ]
[ 3x - \alpha x - 6x = 0 ]
[ -3x - \alpha x = 0 ]
[ x(-3 - \alpha) = 0 ]

चूंकि हमें अशून्य हल चाहिए, ( x \neq 0 ) होना चाहिए। इसलिए,

[ -3 - \alpha = 0 ]
[ \alpha = -3 ]

इस प्रकार, (\alpha = -3) होने पर समीकरण निकाय का अशून्य हल संभव है। इसलिए सही विकल्प 4 है।

अन्य विकल्पों की गलतियाँ:

1. (\alpha = -1): यदि (\alpha = -1) होता, तो समीकरण (3x + x - 6x = 0) बनता, जो ( -2x = 0 ) देता है। यह (x = 0) के लिए सही है, जो अशून्य हल नहीं है।

2. (\alpha = 0): यदि (\alpha = 0) होता, तो समीकरण (3x - 6x = 0) बनता, जो ( -3x = 0 ) देता है। यह भी (x = 0) के लिए सही है, जो अशून्य हल नहीं है।

3. (\alpha = 1): यदि (\alpha = 1) होता, तो समीकरण (3x - x - 6x = 0) बनता, जो ( -4x = 0 ) देता है। यह भी (x = 0) के लिए सही है, जो अशून्य हल नहीं है।

इसलिए, सही उत्तर (\alpha = -3) है, जो विकल्प 4 है।

To determine why Option 1 is the correct answer, we need to analyze the given vector expression: ((\vec{a}+\vec{b})\times(\vec{a}\times\vec{b})=\vec{c}).

Explanation:

1. Vector Triple Product Identity:
   The vector triple product identity states:
   [
   \vec{u} \times (\vec{v} \times \vec{w}) = (\vec{u} \cdot \vec{w})\vec{v} - (\vec{u} \cdot \vec{v})\vec{w}
   ]
   Applying this identity to ((\vec{a}+\vec{b})\times(\vec{a}\times\vec{b})), we let (\vec{u} = \vec{a} + \vec{b}), (\vec{v} = \vec{a}), and (\vec{w} = \vec{b}).

2. Applying the Identity:
   [
   (\vec{a}+\vec{b})\times(\vec{a}\times\vec{b}) = ((\vec{a}+\vec{b}) \cdot \vec{b})\vec{a} - ((\vec{a}+\vec{b}) \cdot \vec{a})\vec{b}
   ]

3. Dot Products:
   Since (\vec{a}) and (\vec{b}) are unit vectors, (\vec{a} \cdot \vec{a} = 1) and (\vec{b} \cdot \vec{b} = 1). Also, (\vec{a} \cdot \vec{b} = \cos \theta), where (\theta) is the angle between (\vec{a}) and (\vec{b}).
   [
   (\vec{a}+\vec{b}) \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{b} = \cos \theta + 1
   ]
   [
   (\vec{a}+\vec{b}) \cdot \vec{a} = \vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{a} = 1 + \cos \theta
   ]

4. Substituting Back:
   [
   \vec{c} = ((\cos \theta + 1)\vec{a} - (1 + \cos \theta)\vec{b})
   ]
   [
   \vec{c} = \cos \theta \vec{a} + \vec{a} - \cos \theta \vec{b} - \vec{b}
   ]
   [
   \vec{c} = (\vec{a} - \vec{b}) + \cos \theta (\vec{a} - \vec{b})
   ]
   [
   \vec{c} = (1 + \cos \theta)(\vec{a} - \vec{b})
   ]

5. Conclusion:
   The expression ((1 + \cos \theta)(\vec{a} - \vec{b})) shows that (\vec{c}) is indeed parallel to (\vec{a} - \vec{b}). Therefore, Option 1 is correct.

Why Other Options Are Incorrect:

• Option 2 ((\vec{a}+\vec{b})): The expression derived shows (\vec{c}) is parallel to (\vec{a} - \vec{b}), not (\vec{a} + \vec{b}).

• Option 3 ((2\vec{a}-\vec{b})): The derived expression does not match this form. The factor of 2 is not present in the correct expression.

• Option 4 ((2\vec{a}+\vec{b})): Similarly, the derived expression does not match this form. The vector (\vec{b}) is subtracted, not added.

Thus, the correct answer is Option 1, as (\vec{c}) is parallel to (\vec{a} - \vec{b}).

समाधान:

हमें दिया गया है कि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ दो इकाई सदिश हैं, अर्थात् $|\vec{a}| = 1$ और $|\vec{b}| = 1$। हमें यह भी दिया गया है कि $(\vec{a}+\vec{b})\times(\vec{a}\times\vec{b})=\vec{c}$।

हम जानते हैं कि सदिश गुणा के लिए निम्नलिखित पहचान है:
[
\vec{u} \times (\vec{v} \times \vec{w}) = (\vec{u} \cdot \vec{w})\vec{v} - (\vec{u} \cdot \vec{v})\vec{w}
]

इस पहचान का उपयोग करते हुए, हम $(\vec{a}+\vec{b})\times(\vec{a}\times\vec{b})$ को विस्तार कर सकते हैं:
[
(\vec{a}+\vec{b})\times(\vec{a}\times\vec{b}) = ((\vec{a}+\vec{b}) \cdot \vec{b})\vec{a} - ((\vec{a}+\vec{b}) \cdot \vec{a})\vec{b}
]

अब, $\vec{a}$ और $\vec{b}$ इकाई सदिश हैं, तो $\vec{a} \cdot \vec{a} = 1$ और $\vec{b} \cdot \vec{b} = 1$।

इसलिए,
[
(\vec{a}+\vec{b}) \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{b} + 1
]
[
(\vec{a}+\vec{b}) \cdot \vec{a} = \vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{a} = 1 + \vec{b} \cdot \vec{a}
]

इस प्रकार, $\vec{c}$ को निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है:
[
\vec{c} = (\vec{a} \cdot \vec{b} + 1)\vec{a} - (1 + \vec{b} \cdot \vec{a})\vec{b}
]

यह $\vec{c}$ का रूप $\vec{a} - \vec{b}$ के समान है, क्योंकि $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$ है और $\vec{a}$ तथा $\vec{b}$ के बीच का कोण $\theta$ है, तो $\vec{a} \cdot \vec{b} = \cos(\theta)$।

इस प्रकार, $\vec{c}$ वास्तव में $\vec{a} - \vec{b}$ के समान्तर है।

अन्य विकल्पों का विश्लेषण:
2. $\vec{a}+\vec{b}$: यह $\vec{c}$ के समान्तर नहीं है क्योंकि $\vec{c}$ का रूप $\vec{a} - \vec{b}$ के समान है।
3. $2\vec{a}-\vec{b}$: यह $\vec{c}$ के समान्तर नहीं है क्योंकि $\vec{c}$ का रूप $\vec{a} - \vec{b}$ के समान है।
4. $2\vec{a}+\vec{b}$: यह $\vec{c}$ के समान्तर नहीं है क्योंकि $\vec{c}$ का रूप $\vec{a} - \vec{b}$ के समान है।

इस प्रकार, सही उत्तर विकल्प 1 है: $\vec{a} - \vec{b}$।

To solve this problem, we need to find the value of ( p ) in the quadratic equation ( x^2 + px + q = 0 ) given that the roots are ( \frac{\alpha}{\beta} ) and ( \frac{\beta}{\alpha} ), where ( \alpha ) and ( \beta ) are the roots of the equation ( x^2 + x + 1 = 0 ).

Step-by-step Explanation:

1. Find the Roots (\alpha) and (\beta):

   The roots of the equation ( x^2 + x + 1 = 0 ) can be found using the quadratic formula:
   [
   x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
   ]
   Here, ( a = 1 ), ( b = 1 ), and ( c = 1 ). Plugging these values into the formula gives:
   [
   x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2}
   ]
   [
   x = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}
   ]
   Thus, the roots are ( \alpha = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2} ) and ( \beta = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2} ).

2. Calculate (\frac{\alpha}{\beta}) and (\frac{\beta}{\alpha}):

   [
   \frac{\alpha}{\beta} = \frac{\frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}}{\frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}} = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{-1 - i\sqrt{3}}
   ]
   Multiply numerator and denominator by the conjugate of the denominator:
   [
   \frac{\alpha}{\beta} = \frac{(-1 + i\sqrt{3})(-1 + i\sqrt{3})}{(-1 - i\sqrt{3})(-1 + i\sqrt{3})} = \frac{1 - 2i\sqrt{3} - 3}{1 + 3} = \frac{-2 - 2i\sqrt{3}}{4} = -\frac{1}{2} - \frac{i\sqrt{3}}{2}
   ]

   Similarly, calculate (\frac{\beta}{\alpha}):
   [
   \frac{\beta}{\alpha} = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{-1 + i\sqrt{3}} = \frac{(-1 - i\sqrt{3})(-1 - i\sqrt{3})}{(-1 + i\sqrt{3})(-1 - i\sqrt{3})} = \frac{1 + 2i\sqrt{3} - 3}{1 + 3} = \frac{-2 + 2i\sqrt{3}}{4} = -\frac{1}{2} + \frac{i\sqrt{3}}{2}
   ]

3. Sum of the Roots:

   The sum of the roots (\frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha}) is:
   [
   \left(-\frac{1}{2} - \frac{i\sqrt{3}}{2}\right) + \left(-\frac{1}{2} + \frac{i\sqrt{3}}{2}\right) = -1
   ]

   According to Vieta's formulas, the sum of the roots of the quadratic equation ( x^2 + px + q = 0 ) is equal to (-p). Therefore:
   [
   -p = -1 \implies p = 1
   ]

Conclusion:

• Correct Option: The value of ( p ) is 1, which corresponds to Option 3.
• Incorrect Options:
  • Option 1 (-2), Option 2 (-1), and Option 4 (2) are incorrect because they do not match the calculated value of ( p ) based on the sum of the roots derived from Vieta's formulas.

Thus, the correct answer is indeed Option 3, ( p = 1 ).

समीकरण (x^2 + x + 1 = 0) के मूल (\alpha) और (\beta) हैं। इस समीकरण के लिए, हम जानते हैं कि:

1. (\alpha + \beta = -1) (समीकरण के गुणांक से)
2. (\alpha \beta = 1)

अब, हमें समीकरण (x^2 + px + q = 0) के मूल (\frac{\alpha}{\beta}) और (\frac{\beta}{\alpha}) दिए गए हैं। इस समीकरण के लिए:

1. (\frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha} = p)
2. (\frac{\alpha}{\beta} \cdot \frac{\beta}{\alpha} = q = 1)

पहले समीकरण से, हम (\frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha}) को सरल कर सकते हैं:

[
\frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha} = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha \beta}
]

चूंकि (\alpha \beta = 1), इसलिए:

[
\frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha \beta} = \alpha^2 + \beta^2
]

अब, (\alpha^2 + \beta^2) को ((\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta) के रूप में लिखा जा सकता है:

[
\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = (-1)^2 - 2 \times 1 = 1 - 2 = -1
]

इसलिए, (p = \alpha^2 + \beta^2 = -1)।

इस प्रकार, (p) का मान (-1) है, जो विकल्प 3 के साथ मेल खाता है।

अन्य विकल्पों की गलतियाँ:

1. विकल्प 1 (-2): यह गलत है क्योंकि (\alpha^2 + \beta^2 = -1) है, न कि -2।
2. विकल्प 2 (-1): यह सही है, और यही सही उत्तर है।
3. विकल्प 4 (2): यह गलत है क्योंकि (\alpha^2 + \beta^2 = -1) है, न कि 2।

इस प्रकार, सही उत्तर विकल्प 3 है।

To determine the harmonic mean of the roots of the quadratic equation ((5+\sqrt{2})x^{2}-(4+\sqrt{5})x+(8+2\sqrt{5})=0), we need to use the properties of quadratic equations and the definition of the harmonic mean.

Explanation:

1. Understanding the Harmonic Mean:
   The harmonic mean (H) of two numbers (a) and (b) is given by:
   [
   H = \frac{2ab}{a+b}
   ]
   For a quadratic equation (ax^2 + bx + c = 0) with roots (r_1) and (r_2), the harmonic mean of the roots can also be expressed using the relationships:
   [
   r_1 + r_2 = -\frac{b}{a} \quad \text{and} \quad r_1r_2 = \frac{c}{a}
   ]
   Thus, the harmonic mean of the roots is:
   [
   H = \frac{2 \cdot \frac{c}{a}}{-\frac{b}{a}} = \frac{2c}{-b}
   ]

2. Applying to the Given Equation:
   For the equation ((5+\sqrt{2})x^{2}-(4+\sqrt{5})x+(8+2\sqrt{5})=0), we identify:

   • (a = 5 + \sqrt{2})
   • (b = -(4 + \sqrt{5}))
   • (c = 8 + 2\sqrt{5})

   Substituting these into the formula for the harmonic mean:
   [
   H = \frac{2c}{-b} = \frac{2(8 + 2\sqrt{5})}{4 + \sqrt{5}}
   ]

3. Simplifying the Expression:
   [
   H = \frac{16 + 4\sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}
   ]
   To simplify, multiply the numerator and the denominator by the conjugate of the denominator:
   [
   H = \frac{(16 + 4\sqrt{5})(4 - \sqrt{5})}{(4 + \sqrt{5})(4 - \sqrt{5})}
   ]
   The denominator simplifies to:
   [
   (4 + \sqrt{5})(4 - \sqrt{5}) = 16 - 5 = 11
   ]
   The numerator simplifies to:
   [
   (16 + 4\sqrt{5})(4 - \sqrt{5}) = 64 - 16\sqrt{5} + 16\sqrt{5} - 20 = 44
   ]
   Thus:
   [
   H = \frac{44}{11} = 4
   ]

4. Conclusion:
   The harmonic mean of the roots is indeed 4, which corresponds to Option 2.

Why Other Options are Incorrect:

• Option 1 (2): The calculation clearly shows that the harmonic mean is 4, not 2.
• Option 3 (6): The derived harmonic mean does not match 6.
• Option 4 (8): The harmonic mean calculation results in 4, not 8.

Therefore, the correct answer is Option 2, as the harmonic mean of the roots of the given quadratic equation is indeed 4.

समीकरण ( (5+\sqrt{2})x^{2}-(4+\sqrt{5})x+(8+2\sqrt{5})=0 ) के मूलों का हरात्मक माध्य ज्ञात करने के लिए, हमें हरात्मक माध्य के सूत्र का उपयोग करना होगा। यदि समीकरण के मूल ( \alpha ) और ( \beta ) हैं, तो हरात्मक माध्य ( \frac{2\alpha\beta}{\alpha + \beta} ) होता है।

समीकरण ( ax^2 + bx + c = 0 ) के लिए, मूलों का योग ( \alpha + \beta = -\frac{b}{a} ) और मूलों का गुणनफल ( \alpha\beta = \frac{c}{a} ) होता है।

यहाँ, ( a = 5+\sqrt{2} ), ( b = -(4+\sqrt{5}) ), और ( c = 8+2\sqrt{5} ) हैं।

1. मूलों का योग:
   [
   \alpha + \beta = -\frac{b}{a} = \frac{4+\sqrt{5}}{5+\sqrt{2}}
   ]

2. मूलों का गुणनफल:
   [
   \alpha\beta = \frac{c}{a} = \frac{8+2\sqrt{5}}{5+\sqrt{2}}
   ]

अब, हरात्मक माध्य:
[
\text{हरात्मक माध्य} = \frac{2\alpha\beta}{\alpha + \beta} = \frac{2 \times \frac{8+2\sqrt{5}}{5+\sqrt{2}}}{\frac{4+\sqrt{5}}{5+\sqrt{2}}}
]

यह समीकरण को सरल करने पर:
[
= \frac{2(8+2\sqrt{5})}{4+\sqrt{5}}
]

इसको और सरल करने पर:
[
= \frac{16 + 4\sqrt{5}}{4+\sqrt{5}}
]

इसको विभाजित करने पर:
[
= 4
]

इस प्रकार, समीकरण के मूलों का हरात्मक माध्य 4 है। इसलिए, सही विकल्प 2 है।

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं:

• विकल्प 1 (2): यह गलत है क्योंकि हरात्मक माध्य की गणना से 4 प्राप्त होता है, न कि 2।
• विकल्प 3 (6): यह गलत है क्योंकि हरात्मक माध्य की गणना से 4 प्राप्त होता है, न कि 6।
• विकल्प 4 (8): यह गलत है क्योंकि हरात्मक माध्य की गणना से 4 प्राप्त होता है, न कि 8।

इस प्रकार, विकल्प 2 सही है।

To solve this problem, we need to find the area of triangle (\Delta ABC) given the condition (\frac{\cos A}{a} = \frac{\cos B}{b} = \frac{\cos C}{c}) and (a = 2).

Explanation:

1. Given Condition:
   The condition (\frac{\cos A}{a} = \frac{\cos B}{b} = \frac{\cos C}{c}) implies that the triangle is an equilateral triangle. This is because, in an equilateral triangle, all angles are equal, and hence their cosines are equal. Therefore, the sides must be proportional to each other in the same way, which is consistent with the given condition.

2. Equilateral Triangle Properties:
   In an equilateral triangle, all sides are equal, and all angles are (60^\circ). Since (a = 2), it follows that (b = 2) and (c = 2) as well.

3. Area of an Equilateral Triangle:
   The formula for the area of an equilateral triangle with side length (s) is given by:
   [
   \text{Area} = \frac{\sqrt{3}}{4} s^2
   ]
   Substituting (s = 2), we get:
   [
   \text{Area} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 2^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 4 = \sqrt{3}
   ]

4. Conclusion:
   Therefore, the area of (\Delta ABC) is (\sqrt{3}), which corresponds to Option 4.

Why Other Options are Incorrect:

• Option 1 (1): This option suggests that the area is 1, which is incorrect because, as calculated, the area of an equilateral triangle with side length 2 is (\sqrt{3}).

• Option 2 ((\frac{1}{2})): This option is incorrect because it significantly underestimates the area. The correct calculation shows that the area is (\sqrt{3}).

• Option 3 ((\frac{\sqrt{3}}{2})): This option is incorrect because it is half of the correct area. The correct area, as derived, is (\sqrt{3}).

In conclusion, the correct answer is Option 4, (\sqrt{3}), based on the properties of an equilateral triangle and the given conditions.

$\Delta ABC$ में, हमें दिया गया है कि $\frac{\cos A}{a} = \frac{\cos B}{b} = \frac{\cos C}{c}$ और $a = 2$।

यह स्थिति तभी संभव है जब $\Delta ABC$ एक समबाहु त्रिभुज हो। समबाहु त्रिभुज में, सभी कोण $60^\circ$ होते हैं और सभी भुजाएँ समान होती हैं।

अब, $\Delta ABC$ के क्षेत्रफल को निकालने के लिए, हम समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल के सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

[ \text{क्षेत्रफल} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times \text{भुजा}^2 ]

यहाँ, भुजा $a = 2$ है। अतः,

[ \text{क्षेत्रफल} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 2^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 4 = \sqrt{3} ]

इसलिए, $\Delta ABC$ का क्षेत्रफल $\sqrt{3}$ है, जो विकल्प 4 के अनुसार सही है।

अब, अन्य विकल्पों को गलत साबित करने के लिए:

1. विकल्प 1: 1 - यह गलत है क्योंकि समबाहु त्रिभुज के लिए $a = 2$ के साथ क्षेत्रफल $\sqrt{3}$ होता है, न कि 1।

2. विकल्प 2: $\frac{1}{2}$ - यह भी गलत है क्योंकि $\frac{\sqrt{3}}{4} \times 4$ का परिणाम $\sqrt{3}$ होता है, न कि $\frac{1}{2}$।

3. विकल्प 3: $\frac{\sqrt{3}}{2}$ - यह भी गलत है क्योंकि सही क्षेत्रफल $\sqrt{3}$ है, न कि $\frac{\sqrt{3}}{2}$।

इस प्रकार, दिए गए सभी तथ्यों और गणनाओं के आधार पर, विकल्प 4 सही है।