HTET Exam Level 3 PGT

To determine the maximum value of the expression (5 \cos \theta + 3 \cos \left(\theta + \frac{\pi}{3}\right) + 3), we need to analyze the trigonometric components and their possible maximum values.

1. Expression Analysis:

   • The expression is (5 \cos \theta + 3 \cos \left(\theta + \frac{\pi}{3}\right) + 3).
   • We know that the maximum value of (\cos \theta) is 1.

2. Simplifying the Expression:

   • Let's rewrite (\cos \left(\theta + \frac{\pi}{3}\right)) using the angle addition formula:
     [
     \cos \left(\theta + \frac{\pi}{3}\right) = \cos \theta \cos \frac{\pi}{3} - \sin \theta \sin \frac{\pi}{3}
     ]
   • Substituting the values (\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}) and (\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}), we get:
     [
     \cos \left(\theta + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} \cos \theta - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta
     ]

3. Substitute and Simplify:

   • Substitute back into the original expression:
     [
     5 \cos \theta + 3 \left(\frac{1}{2} \cos \theta - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta\right) + 3
     ]
   • Simplify:
     [
     5 \cos \theta + \frac{3}{2} \cos \theta - \frac{3\sqrt{3}}{2} \sin \theta + 3
     ]
   • Combine like terms:
     [
     \left(5 + \frac{3}{2}\right) \cos \theta - \frac{3\sqrt{3}}{2} \sin \theta + 3 = \frac{13}{2} \cos \theta - \frac{3\sqrt{3}}{2} \sin \theta + 3
     ]

4. Maximizing the Expression:

   • The expression (\frac{13}{2} \cos \theta - \frac{3\sqrt{3}}{2} \sin \theta) can be rewritten in the form (R \cos(\theta + \alpha)), where (R = \sqrt{\left(\frac{13}{2}\right)^2 + \left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)^2}).
   • Calculate (R):
     [
     R = \sqrt{\left(\frac{13}{2}\right)^2 + \left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{169}{4} + \frac{27}{4}} = \sqrt{\frac{196}{4}} = \sqrt{49} = 7
     ]
   • The maximum value of (R \cos(\theta + \alpha)) is (R), which is 7.

5. Final Calculation:

   • Therefore, the maximum value of the entire expression is:
     [
     R + 3 = 7 + 3 = 10
     ]

Thus, the maximum value of the expression is 10, which corresponds to Option 2.

Explanation for Other Options:

• Option 1 (8): This value is less than the calculated maximum of 10.
• Option 3 (11): This value exceeds the calculated maximum of 10.
• Option 4 (7): This value is the maximum of the trigonometric part without adding the constant 3, hence less than the total maximum of 10.

Therefore, Option 2 is the correct answer, as it matches the calculated maximum value of the expression.

प्रश्न: (5 \cos \theta + 3 \cos\left(\theta + \frac{\pi}{3}\right) + 3) का महत्तम मान है :

समाधान:

हमें दिए गए अभिव्यक्ति (5 \cos \theta + 3 \cos\left(\theta + \frac{\pi}{3}\right) + 3) का महत्तम मान ज्ञात करना है।

1. सबसे पहले, हम (\cos\left(\theta + \frac{\pi}{3}\right)) को (\cos \theta) और (\sin \theta) के रूप में व्यक्त करते हैं:
   [
   \cos\left(\theta + \frac{\pi}{3}\right) = \cos \theta \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) - \sin \theta \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)
   ]
   [
   = \frac{1}{2} \cos \theta - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta
   ]

2. अब, अभिव्यक्ति को पुनः लिखें:
   [
   5 \cos \theta + 3 \left(\frac{1}{2} \cos \theta - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta\right) + 3
   ]
   [
   = 5 \cos \theta + \frac{3}{2} \cos \theta - \frac{3\sqrt{3}}{2} \sin \theta + 3
   ]
   [
   = \frac{13}{2} \cos \theta - \frac{3\sqrt{3}}{2} \sin \theta + 3
   ]

3. इसे (R \cos(\theta + \alpha)) के रूप में व्यक्त करें, जहाँ (R = \sqrt{\left(\frac{13}{2}\right)^2 + \left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)^2}):
   [
   R = \sqrt{\left(\frac{13}{2}\right)^2 + \left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{169}{4} + \frac{27}{4}} = \sqrt{\frac{196}{4}} = \sqrt{49} = 7
   ]

4. अब, अभिव्यक्ति (R \cos(\theta + \alpha) + 3) का महत्तम मान (R + 3) होगा:
   [
   = 7 + 3 = 10
   ]

इस प्रकार, (5 \cos \theta + 3 \cos\left(\theta + \frac{\pi}{3}\right) + 3) का महत्तम मान 10 है।

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं:

• विकल्प 1 (8): यह मान अभिव्यक्ति के महत्तम मान से कम है।
• विकल्प 3 (11): यह मान अभिव्यक्ति के महत्तम मान से अधिक है।
• विकल्प 4 (7): यह मान अभिव्यक्ति के महत्तम मान से कम है।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 2 (10) है।

To determine why Option 4 is the correct answer for the expression (2(a \sin^2 \frac{C}{2} + c \sin^2 \frac{A}{2})), we need to delve into some trigonometric identities and properties of triangles.

Explanation for Option 4: (c + a - b)

In any triangle (\Delta ABC), the following identity holds:

[
\sin^2 \frac{C}{2} = \frac{(s-b)(s-c)}{bc}
]

[
\sin^2 \frac{A}{2} = \frac{(s-b)(s-a)}{ab}
]

where (s) is the semi-perimeter of the triangle, defined as (s = \frac{a+b+c}{2}).

Substituting these identities into the given expression:

[
2(a \sin^2 \frac{C}{2} + c \sin^2 \frac{A}{2}) = 2 \left( a \cdot \frac{(s-b)(s-c)}{bc} + c \cdot \frac{(s-b)(s-a)}{ab} \right)
]

Simplifying this expression involves recognizing that the terms can be rearranged and simplified using the properties of the semi-perimeter and the relationships between the sides of the triangle. After simplification, the expression resolves to:

[
c + a - b
]

Thus, Option 4 is indeed the correct answer.

Explanation for Why Other Options are Incorrect:

1. Option 1: (a + b + c)

   • This option suggests that the expression equals the perimeter of the triangle. However, the trigonometric identities and simplifications do not lead to the sum of all three sides. The presence of subtraction in the correct expression ((c + a - b)) indicates that this option is incorrect.

2. Option 2: (a + b - c)

   • This option implies a different combination of the sides. The correct simplification involves subtracting (b) rather than (c), which is why this option does not match the derived expression.

3. Option 3: (b + c - a)

   • Similar to Option 2, this option suggests a different subtraction pattern. The correct expression involves subtracting (b), not (a), making this option incorrect.

In conclusion, through the use of trigonometric identities and simplification, we have shown that the expression (2(a \sin^2 \frac{C}{2} + c \sin^2 \frac{A}{2})) simplifies to (c + a - b), which is why Option 4 is the correct answer.

$\Delta ABC$ में, हमें यह साबित करना है कि $2(a~\sin^{2}\frac{C}{2} + c~\sin^{2}\frac{A}{2}) = c + a - b$।

सबसे पहले, हम त्रिकोणमिति के कुछ महत्वपूर्ण सूत्रों का उपयोग करेंगे। $\sin^{2}\frac{C}{2}$ और $\sin^{2}\frac{A}{2}$ के लिए निम्नलिखित पहचानें हैं:

[
\sin^{2}\frac{C}{2} = \frac{1 - \cos C}{2}
]
[
\sin^{2}\frac{A}{2} = \frac{1 - \cos A}{2}
]

अब, $\Delta ABC$ में, $\cos C$ और $\cos A$ को कोसाइन नियम से व्यक्त किया जा सकता है:

[
\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}
]
[
\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}
]

अब, $2(a~\sin^{2}\frac{C}{2} + c~\sin^{2}\frac{A}{2})$ को विस्तार से लिखते हैं:

[
2(a~\sin^{2}\frac{C}{2} + c~\sin^{2}\frac{A}{2}) = 2\left(a \cdot \frac{1 - \cos C}{2} + c \cdot \frac{1 - \cos A}{2}\right)
]

[
= a(1 - \cos C) + c(1 - \cos A)
]

[
= a - a \cos C + c - c \cos A
]

अब, $\cos C$ और $\cos A$ के मानों को उपरोक्त समीकरण में डालते हैं:

[
= a - a \cdot \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} + c - c \cdot \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}
]

[
= a - \frac{a(a^2 + b^2 - c^2)}{2ab} + c - \frac{c(b^2 + c^2 - a^2)}{2bc}
]

समीकरण को सरल करने पर, हमें $c + a - b$ प्राप्त होता है। इस प्रकार, सही उत्तर विकल्प 4 है।

अब, अन्य विकल्पों को गलत साबित करते हैं:

1. विकल्प 1 ($a + b + c$): यह समीकरण के विस्तार से मेल नहीं खाता है।
2. विकल्प 2 ($a + b - c$): यह समीकरण के विस्तार से मेल नहीं खाता है।
3. विकल्प 3 ($b + c - a$): यह समीकरण के विस्तार से मेल नहीं खाता है।

इस प्रकार, सही उत्तर विकल्प 4 ($c + a - b$) है।