The length of a chord at a distance of 6 cm from the center of a circle of radius 10 cm is :

Question

Accepted Answer

वृत्त की त्रिज्या 10 सेमी है और जीवा वृत्त के केंद्र से 6 सेमी की दूरी पर स्थित है। हमें जीवा की लंबाई ज्ञात करनी है।

वृत्त के केंद्र से जीवा पर लंब खींचने पर, यह लंब जीवा को दो बराबर भागों में विभाजित करता है। इस स्थिति में, हम एक समकोण त्रिभुज का निर्माण कर सकते हैं, जिसमें:

- वृत्त की त्रिज्या (10 सेमी) हाइपोटेन्यूस है।
- केंद्र से जीवा पर लंब (6 सेमी) एक पैर है।
- जीवा का आधा हिस्सा दूसरा पैर है।

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:

$$ \text{हाइपोटेन्यूस}^2 = \text{पहला पैर}^2 + \text{दूसरा पैर}^2 $$

$$ 10^2 = 6^2 + \left(\frac{\text{जीवा की लंबाई}}{2}\right)^2 $$

$$ 100 = 36 + \left(\frac{\text{जीवा की लंबाई}}{2}\right)^2 $$

$$ 64 = \left(\frac{\text{जीवा की लंबाई}}{2}\right)^2 $$

$$ \frac{\text{जीवा की लंबाई}}{2} = 8 $$

इसलिए, जीवा की लंबाई = $ 8 \times 2 = 16 $ सेमी

इस प्रकार, विकल्प 4 (16 सेमी) सही उत्तर है।

अन्य विकल्पों की गलतियाँ:

1. विकल्प 1 (12 सेमी): यदि जीवा की लंबाई 12 सेमी होती, तो जीवा का आधा हिस्सा 6 सेमी होता। लेकिन यह केंद्र से जीवा पर लंब के बराबर होता, जो कि संभव नहीं है क्योंकि हाइपोटेन्यूस (10 सेमी) सबसे लंबा होना चाहिए।

2. विकल्प 2 (14 सेमी): यदि जीवा की लंबाई 14 सेमी होती, तो जीवा का आधा हिस्सा 7 सेमी होता। यह भी संभव नहीं है क्योंकि यह हाइपोटेन्यूस (10 सेमी) से छोटा नहीं होता।

3. विकल्प 3 (18 सेमी): यदि जीवा की लंबाई 18 सेमी होती, तो जीवा का आधा हिस्सा 9 सेमी होता। यह भी संभव नहीं है क्योंकि यह हाइपोटेन्यूस (10 सेमी) से छोटा नहीं होता।

इसलिए, विकल्प 4 (16 सेमी) ही सही उत्तर है।